Кососимметричные дифференциальные формы обладают возможностями, которых нет ни в одном математическом формализме. Они могут описывать сопряженность различных операторов и объектов (производных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений и т.д.). Это обусловлено тем, что они, в отличие от дифференциальных уравнений, имеют дело с дифференциалами и дифференциальными выражениями (а не с производными). В настоящее время развита теория кососимметричных дифференциальных форм, которые названы внешними дифференциальными формами (см. библиографию работ [1–5]). Понятие "внешние дифференциальные формы" было введено Э.Картаном [1]. Э.Картан, исследуя условия интегрируемости дифференциальных уравнений и систем уравнений в полных дифференциалах, открыл инвариантные свойства подынтегральных выражений в кратных интегралах, и раскрыл их самостоятельное значение. Он назвал их внешними дифференциальными формами, так как они подчиняются правилам внешнего умножения Грассмана – условиям кососимметричности. (Существование интегральных инвариантов было установлено А.Пуанкаре при исследовании общих уравнений динамики). Внешние дифференциальные формы – это кососимметричные дифференциальные формы, которые определены на дифференцируемых многообразиях, т.е. на многообразиях с замкнутыми метрическими формами. Замкнутые внешние формы являются сопряженными объектами и, соответственно, инвариантами, и поэтому теория внешних форм лежит в основе существующих инвариантных теорий поля. Замкнутые внешние формы позволяют понять внутренние связи существующих теорий поля, их общие свойства, их единство. Однако при этом возникает вопрос, как получаются замкнутые внешние формы, которые соответствуют теориям поля. В данной работе показано, что из дифференциальных уравнений математической физики, описывающих физические процессы в материальных средах, получаются кососимметричные дифференциальные формы, которые, в отличие от внешних форм, определены на деформирующихся многообразиях, т.е. на многообразиях с незамкнутыми метрическими формами. Такие кососимметричные дифференциальные формы, которые были названы автором эволюционными (так как они обладают эволюционными свойствами), не могут быть инвариантными. Но они обладают уникальным свойством: они могут генерировать замкнутые внешние формы, которые являются инвариантами. Это раскрывает связь между математической физикой, основанной на дифференциальных уравнениях, и инвариантными теориями поля. Такая связь позволяет понять проблемы общей теории поля. Эволюционные формы имеют принципиальное значение для математической физики и теорий, описывающих физические поля. Процесс получения замкнутых внешних форм из эволюционных форм описывает эволюционные процессы, которые происходят в материальных средах и приводят к возникновению физических структур, образующих физические поля. Это раскрывает механизм генерации физических полей материальными средами. Кроме того, это позволяет понять механизм развития неустойчивости в материальных средах и механизм такие процессов, как турбулентность, возникновение волн, вихрей, рождение безмассовых частиц и т.д. Теория внешних и эволюционных дифференциальных форм позволяет обосновать принципы, лежащие в основе теорий поля и найти подход к построению общей теории поля. Внешние и эволюционных кососимметричные дифференциальные формы описывают дискретные переходы, квантовые скачки, генерацию различных структур. Переход от эволюционных форм к замкнутым внешним формам описывает переход от несопряженных операторов к сопряженным. Значение кососимметричных дифференциальные форм для математической физики и теорий поля связано с тем, что их свойства соответствуют законам сохранения. При этом замкнутые внешние формы, как известно, соответствуют законам сохранения для физических полей – точным законам сохранения, а эволюционные формы, как будет показано в данной работе, соответствуют законам сохранения для материальных сред – балансным законам сохранения энергии, количества движения, момента количества движения и массы. В данной работе будет показано, что законы сохранения для материальных сред играют регулирующую роль в эволюционных процессах, приводящих к формированию физических полей. Существование кососимметричных дифференциальных форм, обладающих эволюционными свойствами, было установлено автором при исследовании проблем устойчивости и генерации различных физических структур. Работа над этими проблемами показала, что существует уникальный математический аппарат кососимметричных дифференциальных форм, который позволяет раскрыть механизм эволюционных процессов. Некоторые исторические данные. В XVII веке Лейбниц ввел понятие дифференциала и разработал (совместно с Ньютоном) дифференциальное и интегральное исчисление. Это способствовало бурному развитию математики и послужило началом развития математической физики. Дифференциальные уравнения позволили описать многие физические процессы и явления и решить многие физические проблемы. Однако, с начала XX века тесная связь теории дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений с физикой стала ослабевать. В математической физике столкнулись с проблемой инвариантного (независимого от выбора систем координат) описания физических явлений. Это привело к тому, что в физике стали развиваться формализмы, основанные на тензорных, групповых, вариационных методах, на теориях симметрий, преобразований и т.д., в основе которых заложено требование инвариантности. Это особенно проявилось в разделах физики, которые связаны с теориями поля. Интерес к дифференциальным и интегральным методам исследования в этих областях значительно ослаб. Появление внешних дифференциальных форм показало, что дифференциальные уравнения позволяют получать инвариантные методы исследования физических явлений. Оказалось, что внешние дифференциальные формы обладают инвариантными, групповыми, тензорными, структурными и другими свойствами, имеющими большое функциональное и прикладное значение. Внешние дифференциальные формы нашли широкое применение в дифференциальной геометрии и в алгебраической топологии. К сожалению, в физике теория внешних дифференциальных форм оказалась невостребованной, несмотря на то, что рядом авторов, например, таких как Дж.Уилер, Б.Шутц, С.Новиков и др., было показано, что внешние дифференциальные формы позволяют проводить исследования в разных разделах физики. Роль внешних дифференциальных форм в физике связана с тем, что замкнутые внешние дифференциальные формы отражают свойства законов сохранения и потенциалов. Свойства замкнутых внешних дифференциальных форм явно или неявно проявляются практические во всех формализмах теорий поля, таких как гамильтоновый формализм, тензорные подходы, групповые методы, уравнения квантовой механики, теория Янга–Миллса и т.д. Внешние дифференциальные формы объединяют алгебраические и геометрические подходы в физике. Операторы теории внешних дифференциальных форм лежат в основе дифференциальных и интегральных операторов теории поля. Внешние дифференциальные формы позволяют увидеть общее, что существует в разных разделах физики. И тем не менее в настоящее время нет формализма в теории поля, основанного на свойствах внешних дифференциальных форм. Это можно объяснить несколькими причинами. Во-первых, к тому времени, когда была создана теория внешних дифференциальных форм, практически во всех разделах физики уже были разработаны свои математические инвариантные методы исследования. Эти методы изучаются во всех обязательных курсах по физике, в то время как теория внешних дифференциальных форм изучается практически только в специальных курсах по дифференциальной геометрии и топологии. И, во-вторых, невостребованность теории внешних дифференциальных форм в физике, можно объяснить еще и тем, что несмотря на универсальные возможности, она, казалось бы, не позволяет получить принципиально новые для каждого данного раздела физики результаты. Поэтому не было большого стимула создавать новый формализм, основанный на свойствах внешних дифференциальных форм. Но оказалось, что совместно с новыми, эволюционными, дифференциальными формами внешние дифференциальные формы позволяют получить принципиально новые физические результаты, которые невозможно получить в рамках ни одного из существующих формализмов. В первых трех главах данной работы описываются свойства внешних и эволюционных форм и особенности их математического аппарата. В четвертой главе показана роль замкнутых внешних форм в теориях поля. Так как эта роль связана с законами сохранения, то обсуждаются вопросы, связанные с законами сохранения, с их понятиями в физике, механике, в термодинамике. В данной главе показано, что свойства замкнутых внешних форм лежат в основе всех существующих инвариантных теориях поля и являются базисом единой теории поля. В пятой главе обсуждается связь эволюционных форм с уравнениями законов сохранения для материальных сред. В главах 6–8 показано, что эволюционные и внешние формы позволяют описать эволюционные процессы в материальных средах, которые сопровождаются возникновением физических структур, образующих физические поля. Такие процессы связаны с неравновесностью материальных сред и появлением наблюдаемых образований, таких как волны, вихри, турбулентные пульсации и т.д. Это в частности раскрывает и механизм возникновения турбулентности. Описываются свойства физических структур, механизм формирования физических полей и многообразий. В девятой главе на основе полученных результатов анализируются основы общей теории поля. Еще раз акцентируется внимание на законах сохранения. Обосновывается причинность физических процессов и явлений. Результаты анализа конкретных материальных сред и физических полей с помощью теории внешних и эволюционных форм приведены в десятой главе. Анализируется гамильтоновый формализм, начала термодинамики, механизм развития газодинамической неустойчивости и возникновения турбулентности, уравнения электромагнитного поля, и рассматривается механизм формирования псевдометрических и метрических пространств. Петрова Людмила Ивановна Окончила механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук. Работает старшим научным сотрудником на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Принимала участие в работе многих конференций: по физике (механика сплошных сред, гравитация, теория поля), математике (уравнения математической физики, дифференциальная геометрия, симметрия). Занималась проблемами турбулентности, устойчивости, формирования физических полей и многообразий.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 21.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |