Дано изложение метода решения различных задач электростатики, связанных с макроскопическими телами произвольной формы. Искомый потенциал ищется в виде разложения по системе собственных функций, являющихся, в свою очередь, регулярными решениями уравнения Лапласа в отсутствие внешнего электрического поля. Этим методом найдены общие выражения для тензора дипольной поляризуемости тела, для функции Грина, а также для потенциалов краевых (граничных) задач Дирихле и Неймана. Рассмотрен ряд точно решаемых примеров (шар, сфероиды, клин, конус и др.), для каждого из которых найдена полная система собственных функций. Изложенный подход может быть использован и для других физических и математических задач, требующих решения уравнения Лапласа.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ...............................................5
Глава I. Собственные функции и собственные
значения ................................................... 7
§ 1. Локализованные состояния ..............................7
§ 2. Поверхностные собственные функции..................13
§ 3. Зарядовые (монопольные) состояния...................20
§ 4. Соотношение полноты..................................25
§ 5. Тензор поляризуемости ................................ 30
§ 6. Функция Грина ........................................ 40
§ 7. Система N тел ........................................ 44
§ 8. Задача двух тел ........................................58
§ 9. Двумерный случай .....................................70
Литература к Главе I .......................................80
Глава II. Краевые задачи....................................81
§ 1. Постановка краевых задач .............................81
§ 2. Внутренняя задача Дирихле ...........................86
§ 3. Внешняя задача Дирихле ..............................95
§ 4. Внутренняя задача Неймана ..........................100
§ 5. Внешняя задача Неймана .............................115
Литература к Главе II .....................................126
Глава III. Тела конечного размера.........................127
§ 1. Тело сферической формы .............................127
§ 2. Сплюснутый сфероид .................................141
§ 3. Вытянутый сфероид .................................. 150
§ 4. Включение круговой формы ..........................159
3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Включение эллиптической формы ....................165
§ 6. Пара круговых включений ............................173
§ 7. Пара соприкасающихся кругов ....................... 184
§ 8. Пара пересекающихся кругов .........................197
Литература к Главе III ....................................212
Глава IV. Области неограниченного размера............213
§ 1. Предварительные замечания ..........................213
§ 2. Область, занимающая полупространство .............219
§ 3. Диэлектрический клин (Б = 2) .......................227
§ 4. Диэлектрический клин (Б = 3) .......................245
§ 5. Диэлектрический конус ...............................257
Литература к Главе IV ....................................270
Приложение А. Ядра уравнений (1.2.8)—(1.2.9) .......... 271
Приложение В. Функция Грина оператора Лапласа----275
Приложение С. Функции Лежандра ......................289
Приложение О. Функция Макдональда мнимого
порядка...................................................299
Приложение Е. Система собственных функций для
двумерного клина с закруглением ...................307
Приложение Г. Система собственных функций для
кругового цилиндра ....................................313
Балагуров Борис Яковлевич
Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института биохимической физики имени Н. М. Эмануэля Российской академии наук. Окончил факультет общей и прикладной физики Московского физико-технического института (МФТИ), физик-теоретик. Автор более 80 статей, опубликованных в ведущих физических журналах (ЖЭТФ, ФТТ, ФТП и др.). Основная область научных интересов — теория твердого тела (сегнетоэлектричество, ферромагнетизм, фазовые переходы, физика композиционных материалов).
