КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Специальные курсы
Id: 217359
 

Математика для технических вузов: Специальные курсы. Изд.4

URSS. 2017. 640 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-3607-4.
Книги с пометкой "В печати" можно добавлять к заказу. Их стоимость и доставка не учитываются в общей стоимости заказа. Когда они поступят в продажу, мы обязательно уведомим Вас.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным главам математики для технических вузов и является естественным продолжением общего курса математики этого же автора, хотя и читается независимо. Книга содержит следующие главы: теория поля, теория аналитических функций, операционное исчисление, линейная алгебра, тензоры, вариационное исчисление, интегральные уравнения и обыкновенные дифференциальные уравнения. Изложение проводится с позиций современной прикладной математики с максимальным использованием интуиции и аналогий, со специальным вниманием к качественному и количественному описанию фактов.

Пособие рассчитано на студентов вузов, преподавателей, инженеров и научных работников в области технических наук. Оно может быть полезным также физикам и другим специалистам, имеющим дело с прикладной математикой.


Оглавление

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию...................• * 7 Глава I. Теория поля......................... 9 § 1. Оператор Гамильтона ...................... 9 1. Операции первого порядка (10). 2. Правила действий (11). 3. Инте« тральные формулы (12). 4. Операции второго порядка (13). 5. Разрывные поля (14). § 2. Специальные типы полей..................... 16 1. Потенциальные поля (16). 2. Безвихревое поле в миогосвязной области (17). 3. Соленоидальные поля (19). 4. Примеры (21). 5. Ньютонов потенциал (23). 6. Построение векторного поля по заданным ротору и дивергенции (25). Глава II. Теория аналитических функций.............. ♦ . 27 § 1. Дифференцирование и отображения................27 1. Производная (27). 2. Условия Коши—Римана (28). 3. Сопряженные гармонические функции (29). 4. Геометрический смысл производной (30). 5. Конформные отображения (31). 6. Линейные отображения (3 2). 7. Рас- ширенная комплексная плоскость (33). 8. Дробно-линейное отображение (34). 9. Степенные отображения (37). 10. Многозначные функции а точки разветвления (39). 11. Отображение &у=-|- ^ 2+-^ (42). 12. Показательное и связанные с ним отображения (45). 13. Поверхность Римана (47). 14. Приложение к теории плоских полей (48). 15. Примеры (50). 16. Краевые задачи и конформные отображения (52). 17. Общие замечания о конформных отображениях (56). 18. Применение метода малого параметра (58). § 2. Интегрирование и степенные ряды................61 1. Интеграл (61). 2. Интеграл от аналитической функции (62). 3. Ряды Лорана (63). 4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (65). 5. Ряд Тейлора (67). 6. Аналитические отображения и принципы максимума (70). 7. Аналитическое продолженье (72). 8. Варианты (74). § 3. Особые точки и нули ......................78 I. Изолированные особые точки (78). 2. Полюс (79). 3. Теорема Коши о вычетах (81). 4. Применение к несобственным интегралам (83). 5. Интегральные формулы Пуассона (91). 6. Поведение функции на бесконечности (94). 7. Логарифмические вычеты (95). 8. Теорема Руше (96). 9. Зависимость нулей от параметра (98). 10. Нули многочленов (100). II. Результант двух многочленов (104). 12. Мероморфные функции (105). 13. Формула Кристоффеля—Шварца (108). 14. Понятие об эллиптических функциях (111). § 4. Асимптотические разложения...................114 1. Введение (114). 2. Свойства (116). 3. Интеграл типа Фурье (118). 4. Интеграл с параметром в вещественном показателе (122). 5. Метод перевала (125). 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава III. Операционное исчисление..................129 § 1. Общая теория..........................129 1. Преобразование Лапласа (129). 2. Образы простых функций (130). 3. Основные свойства преобразования Лапласа (133). 4. Обратное преобразование Лапласа (136). 5. Разложение прообраза в сумму (139). 6. Численное определение прообраза (142). § 2. Приложения...........................144 1 Основная идея (144) 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (145) 3. Разностные и дифференциально-разностные уравнения (149). 4. Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения (150). 5. Уравнения с частными производными (151) § 3. Варианты ............................155 1. Дискретное преобразование Лапласа (155). 2. Преобразование Фурье растущих функций (157). 3. Другие интегральные преобразования на бесконечном интервале (158). 4. Интегральные преобразования на конечном интервале (162) Г лава IV. Линейная алгебра......................164 § 1. Сопряженные отображения....................165 1. Прямая сумма (165) 2. Инвариантные подпространства (166). 3. Сопряженные отображения (167). 4. Разложение, связанное с сопряженными отображениями (168). 5. Отображение пространства в себя (169) 6. Самосопряженное отображение (1 70) 7. Экстремальное свойство собственных значений (1 71). § 2. Квадратичные формы.......................174 1. Введение (174) 2. Закон инерции квадратичных форм (175) 3. Метод Якбби и теорема Сильвестра (1 76). 4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду (178) § 3. Структура линейного отображения................179 1 Отображение с единственным собственным вектором (179). 2. Отображение с единственным собственным значением (182). 3. Общий случай (183). 4. Отображение вещественного пространства (186). 5. Применение к вычислению функций от матриц (188) 6. Другое представление отображения вещественного пространства (190). 7. Структура перестановочных отображений (191). § 4. Некоторые численные методы...................192 1. Метод Гаусса (192) 2. Норма матрицы и обусловленность системы (194). 3. Метод улучшения невязки (196) 4. Спектр симметрической матрицы (197). 5. Метод Якоби (198). 6. Вычисление старшего собственного значения путем итераций (199). 7. Вычисление последующих собственных значений (201). 8. Матрицы с неотрицательными элементами (202). 9. Метод А. Н. Крылова (203). 10. Метод малого параметра (204). 1 1. Метод непрерывного продолжения (205). § 5. Задачи линейного программирования...............207 1. Основная задача (207). 2. Примеры (208). 3. Геометрические замечания (210). 4 Геометрический смысл основной задачи (212). 5. Стандартный вид основной задачи (214) 6. Метод последовательного улучшения решения (215), 7. Приложение к мттричным играм (219). 8. Варианты (225). Глава V. Тензоры...........................228 § 1. Тензорная алгебра........................229 1. Примеры (229). 2. Евклидовы тензоры, общее определение (231). 3. Действия над тензорами (232). 4. Тензоры 2-го ранга (234). 5. Примеры из механики (235). 6. Общие аффинные тензоры (237). 7. Аффинные тензоры в евклидовом пространстве (239). 8. Индефинитные метрические формы (240). 9. Замечание о размерностях (243). § 2. Тензорные поля.........................244 1. Поле евклидова тензора (244). 2. Поступательный перенос вектора в криволинейных координатах (245). 3. Ковариянтное дифференцирование (248). 4. Поле на многообразии евклидова пространства (251). 5. Внутренняя геометрия и римановы пространства (253). ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава VI. Вариационное исчисление........... § 1. Первая вариация и необходимые условия экстремума 257 257 I. Примеры задач вариационного исчисления (257). 2. Функционал (259). 3. Функциональные пространства (261). 4. Вариация функционала (264). 5. Уточнение (267). 6. Необходимое условие экстремума (269). 7. Уравнение Эйлера (270). 8. Примеры (273). 9. Функционалы с производными высшего порядка (2 75). 10. Функционалы от нескольких функций (2 75). II. Функционалы от функций нескольких переменных (2 77). 12. Условный экстремум с интегральными связями (279). 13. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями (282). 14. Задачи, сводящиеся к задачу Лагранжа (285). 15. Задачи с подвижными концами на плоскости (286). 16. Условия трансверсальности (288). 17. Задачи с подвижными концами 3 пространстве (290). 18. Трансверсальность для функций нескольких переменных (292). 19. Высвобождающие связи (293). 20. Разрывные задачи (295). § 2. Вторая вариация и достаточные условия экстремума.......297 1. Вариации высших порядков (297). 2. Условия экстремума в терминах второй вариации (299). 3. Необходимые условия Лежандра (300). 4. Квадратичный функционал (301). 5. Условия Якоби (304). 6. Геодезические линии (307). 7. Условия сильного экстремума (309). 8. Вариационная теория собственных значений (311). 9. О существовании минимума (315). 10. Основное условие минимума (317). 11. Зависимость собственных значений от функционала (320). § 3. Канонические уравнения и вариационные принципы........322 I. Канонические уравнения (322). 2. Первые интегралы (32 3). 3. Канонгче-ские преобразования (324). 4. Контактные преобразования (326). 5. Теорема Нётер (328). 6. Случай функций нескольких переменных (330). 7. Уравнение Гамильтона — Якоби (332). 8. Плоскость Лобачевского (334К 9. Вариационные принципы (336). 10. Принцип Гамильтона в простейшем случае (338). II. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы (340). 12. Принцип Гамильтона для сплошных сред. Струна (343). 13. Стержень и пластинка (345). 14. Общая схема вариационного подхода к физическим полям (34 8). 15. Уравнения движения упругой сред01 (351). 16. Дисси-пативные системы (352). 17. Принцип минимума потенциальной энергии (354). 18. Примеры (355). 19. Запас устойчивости (357). 20. Вариационные принципы в конформных отображениях (359). § 4. Прямые методы..........................360 1. Метод Ритца для квадратичного функционала (361). 2. Применение к решению краевых задач (366). 3. Метод счетного множества переменных (367). 4. Метод Ритца для функционалов от функций нескольких переменных (369). 5. Метод Трефтца (373). 6. Метод Ритца для собственных значений (374). 7. Метод Ритца для неквадратичных функцисчалов (376). 8. Метод наименьших квадратов Г379). 9. Метод Канторовича (380). 10. Метод Эйлера (382). Глава VII. Интегральные уравнения..................384 § 1. Введение.............................384 1. Примеры (384). 2. Основные классы интегральных уравнений (386). 3. Еще о пространстве Гильберта (387). § 2. Теория Фредгольма........................389 1. Уравнения с вырожденными ядрами (389). 2. Общий случай (394). 3. Применение бесконечных систем алгебраических уравнений (398). 4. Применение численного интегрирования (401). 5. Уравнения с малыми ядрами (404). 6. Принцип сжимающих отображений (407). 7. Возмущение ядра (409). 8. Характер решений (411). 9. Уравнения Вольтерра 2-го рода (413). 10. Уравнения со слабой особенностью (414). 11. Уравнения с вполне непрерывными операторами (416). 12. Уравнения с положительными ядрами (417). § 3. Уравнения с симметричными ядрами...............418 1. Аналогия с конечномерными уравнениями (418). 2. Разложение ядра по собственным функциям (419). 3.'Следствия (421). 4. Переход от несимметричного ядра к симметричному (425). 5. Экстремальное свойство характеристических чисел (427). 6. Уравнения с самосопряженными операторами (430). § 4. Некоторые специальные классы уравнений............433 1. Уравнения Вольтерра 1-го рода (433). 2. Уравнения Фредгольма 1-го рода б симметричным ядром (435). 3. Понятие о некорректных задачах (437), 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Уравнения Фредгольма 1-го рода, общий случай (437). б. Применение производящих функций (439). 6. Уравнение Вольтерра с разностным ядром (443). 7. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на оси (445). 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси (450). § 5. Сингулярные интегральные уравнения...............454 1. Сингулярные интегралы (455). 2. Формулы обращения (458) 3. Непосредственное применение формул обращения (4 59). 4. Переход к краевой задаче, простой пример (461). 5. Общий замкнутый контур (463). 6. Незамкнутый контур (467). 7. Приведение к бесконечной системе алгебраических уравнений (469). § 6. Нелинейные интегральные уравнения...............471 1. Переход к конечным уравнениям (471) 2. Метод итераций (473). 3. Метод малого параметра (475). 4. Применение теории симметричных ядер (476). 5. Применение теории неподвижных точек (478). 6. Вариационные методы (480). 7. Уравнения с параметром (481). 8. Разветвление решений (482). Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения.....• . . 487 § 1. Линейные уравнения и системы..................487 1. Общие свойства (487). 2. Периодические системы (491). 3. Уравнение Хилла (494). 4. Параметрический резонанс (498). 5. Гамильтоновы системы (499). 6 Неоднородные системы (501). 7. Почти-периодические функции (503). 8. Асимптотическое разложение решений при I -* оо (505). 9. Еще об асимптотическом поведении решений (508). 10. Осцилляция решений уравнений второго порядка (511) 11. Системы, зависящие от параметра (514). 12. Точки поворота (518). § 2. Автономные системы.......................520 1. Общие понятия (520). 2. Предельное поведение траекторий (522). 3. Точки покоя на плоскости, линейные системы (523) 4. Общий случай (527). 5. Циклы на плоскости (530). 6. Вращение векторною поля (533). 7. Точки покоя в пространстве (536). 8. Циклы в пространстве (539). 9. Структурно устойчивые системы (541). 10. Разрывные системы (542). 1 1. Системы на многообразиях (545) 12. Системы с интегральным инвариантом (547). 13. Эргодичность (549). § 3. Устойчивость решений......................553 1. Введение (553). 2. Уравнения первого порядка (555). 3. Метод функций Ляпунова (556). 4. Устойчивость по первому приближению (560) 5. Особые случаи (564) 6. Специальные классы механических систем (569). 7. Системы автоматического регулирования (575). 8. Техническая устойчивость (580). § 4. Нелинейные колебания......................581 1. Введение (581). 2. Свободные колебания автономной консервативной системы с одной степенью свободы (587). 3. Вынужденные колебания системы с малой нелинейностью, основной случай (592). 4. Особые случаи (594) 5. Субгармонические колебания (599). 6. Еще о вынужденных колебаниях (600). 7. Автоколебания (602). 8. Релаксационные колебания (605). 9. Пограничный слой (607) 10. Непериодические колебания (610) 11 Асимптотические разложения по Н. М. Крылову — Н. Н. Боголюбову (615) 12. Системы с дискретным временем (617). Литература..............................621 Алфавитный указатель........................626

Об авторе
Мышкис Анатолий Дмитриевич
Известный отечественный математик. Окон­чил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный ра­ботник высшей школы. Заслуженный соросовский профессор. Дей­ствительный член Академии нелинейных наук. Область научных интересов: дифференциальные уравнения (обыкновенные и с част­ными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. А. Д. Мышкис был официальным руководителем 36 защи­щенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. Был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций. Является автором и соавтором 17 книг, выдержавших 43 издания на 10 языках, 332 научных статей, 2 авторских свидетельств, 6 официально зарегистрированных рукописей, 67 методических публикаций, 304 информационных заметок, 13 статей в газетах и журнале; был редактором и переводчиком 16 книг.