Гавриков М.Б., Таюрский А.А. Функциональный анализ и вычислительная математика

Оглавление

Из предисловия

Эта книга возникла из курса лекций, который авторы много лет читали студентам-математикам старших курсов факультета "Фундаментальных наук" МГТУ им.Н.Э.Баумана и посвящена применению методов и идей функционального анализа в вычислительной математике.

Традиционные приложения функционального анализа в методах вычислений сводятся к обоснованию известных алгоритмов, например, методов конечных элементов, Ритца, конечных суперэлементов и т.д. Много интересных примеров содержится в одноимñнной монографии Коллатц Л. "Функциональный анализ и вычислительная математика" – М.: Мир, 1969. К сожалению, указанное традиционное применение функционального анализа к вычислительной математике мало чего даñт практике вычислений. В настоящей книге речь пойдñт о другом формате отношений функционального и численного анализа, хотя и она содержит обоснование некоторых алгоритмов с помощью конструкций и теорем функционального анализа (см. обоснование методов Бабенко и коллокаций численного решения краевых задач из § 20).

Поясним на примере, о чñм пойдñт речь. Допустим, разностным методом приближñнно решается краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной области. Для этого в области выбирается разностная сетка точек, на которой аппроксимируются производные, входящие в оператор Лапласа, и дифференциальная задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. Затем рассматриваются различные, в основном итерационные, методы решения полученной системы алгебраических уравнений, список которых в настоящее время внушителен: методы Якоби, простой итерации, верхней и нижней релаксации, двух- и трñхслойный чебышñвские методы, методы сопряжñнных градиентов и минимальных невязок, метод переменных направлений, многосеточный метод Федоренко и т.д. и т.п. Здесь задача вычислителя состоит в выборе метода, обеспечивающего максимальную точность решения систем алгебраических уравнений при минимальном количестве арифметических операций. При этом приходится учитывать особенности разностной аппроксимации, обусловленные сложной геометрией границы области, неравномерностью разностной сетки в расчñтной области и пр. Кроме того, по найденному решению системы алгебраических уравнений посредством некоторой интерполяции необходимо восстановить решение дифференциального уравнения во всей области и оценить погрешность приближñнного решения, скажем, в чебышñвской норме. В данном случае на равномерной сетке погрешность имеет асимптотический порядок h² = h₁²+h₂², h –> 0, где h₁, h₂ – шаги разностной сетки по пространственным направлениям.

Мы описали примерный план действий грамотного вычислителя по приближñнному решению разностным методом задачи Дирихле. Причñм эта программа по понятным причинам должна работать для более или менее произвольных граничных условий и правых частей (а если есть, то и коэффициентов) дифференциального уравнения. Последнее замечание означает, что предложенный алгоритм обязан приближñнно вычислять любое неизвестное решение дифференциальной задачи из некоторого известного функционального класса W, который в конечном итоге определяется теоремами существования и единственности краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в предположении, что правая часть и граничное условие удовлетворяют заданным ограничениям. Именно в этом месте мы переходим от исследования одной функции к исследованию совокупности W функций, и возникает потребность в функциональном анализе. Рассматриваемый разностный метод численного решения задачи Дирихле позволяет аппроксимировать любую функцию из W элементом некоторой конечномерной плоскости, размерность которой равна количеству узлов N разностной сетки в расчñтной области...

Об авторах

Гавриков Михаил Борисович

Родился в 1952 г. в Москве. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1975 г. и аспирантуру МГУ в 1985 г. В 1990 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по теории дифференциальных уравнений. C 1985 г. работает в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. В настоящее время — в должности старшего научного сотрудника. С 2001 г. работает в Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана. Опубликовал свыше 100 научных работ по математической физике и вычислительной математике. Автор (совместно с О. В. Локуциевским) монографии «Начала численного анализа» (1995). Имеет 11 авторских свидетельств и патентов.

Таюрский Алексей Александрович

Родился в 1984 году в пос. Хандыга, республика Саха (Якутия). Окончил Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана в 2007 году и аспирантуру Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН в 2013 году. В 2014-м защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. C 2009-го работает в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. В настоящее время — в должности научного сотрудника. Область научных интересов: вычислительная математика, численные методы, математическая физика. Автор более 10 научных работ.