URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Перевод с французского
Id: 21588
 
391 руб.

Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Перевод с французского. Изд.2

URSS. 2004. 392 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00781-X.

 Аннотация

Эта книга, написанная выдающимся математиком Анри Картаном, содержит изложение его лекций по курсу "Математика II" в Парижском университете. В них входит дифференциальное исчисление, теория дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, теория дифференциальных форм и построенная на ее основе теория многомерных интегралов, а также первоначальные сведения по вариационному исчислению в дифференциальной геометрии. Изложение элементарно, хотя и ведется на современном научном уровне.

Книга принесет большую пользу студентам и преподавателям высших учебных заведений (в том числе и технических), в которых читается расширенный курс математики.

Современная трактовка условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений, вариационных задач, метода подвижного репера и дифференциальной геометрии кривых и поверхностей представит большой интерес для механиков, физиков и инженеров, использующих в своей работе математические методы.


 Оглавление

Предисловие редактора перевода

Часть I. Дифференциальное исчисление

Глава 1. Дифференциальное исчисление в банаховых пространствах
 § 1.Обзор основных понятий, относящихся к банаховым пространствам и непрерывным линейным отображениям
  1.1.Норма на векторном пространстве Е
  1.2.Примеры банаховых пространств
  1.3.Нормально сходящиеся ряды в банаховом пространстве
  1.4.Непрерывные линейные отображения
  1.5.Композиция непрерывных линейных отображений
  1.6.Изоморфизм нормированных векторных пространств; эквивалентные нормы на нормированных векторных пространствах
  1.7.Примеры пространств L (Е; F)
  1.8.Полилинейные непрерывные отображения
  1.9.Естественная изометрия L (E, F; G)L (E; L (F;G))
 § 2.Дифференцируемые отображения
  2.1.Определение дифференцируемого отображения
  2.2.Производная сложной функции
  2.3.Линейность операции дифференцирования
  2.4.Производные некоторых функций частного вида
  2.5.Функции со значениями в произведении банаховых пространств
  2.6.Случай, когда U -- открытое множество в произведении банаховых пространств
  2.7.Объединение случаев, изученных в п. 2.5. и 2.6
  2.8.Заключительное замечание: сравнение R-дифференцируемости и С-дифференцируемости
 § 3.Теорема о конечных приращениях
  3.1.Формулировка основной теоремы
  3.2.Частные случаи основной теоремы
  3.3.Теорема о конечных приращениях для функций, определенных на открытых множествах банахова пространства
  3.4.Еще одна теорема о конечных приращениях
  3.5.Упражнения
  3.6.Первое приложение теоремы о конечных приращениях: сходимость последовательности дифференцируемых функций
  3.7.Второе приложение теоремы о конечных приращениях: связь между частной дифференцируемостью и дифференцируемостью
  3.8.Третье приложение теоремы о конечных приращениях: понятие строго дифференцируемой функции
 § 4.Локальное обращение отображения класса С1. Теорема о неявных функциях
  4.1.Диффеоморфизмы класса С1
  4.2.Теорема о локальном обращении
  4.3.Доказательство теоремы о локальном обращении: сведения к частному случаю
  4.4.Доказательство предложения 4.3.1
  4.5.Доказательство теоремы 4.4.1
  4.6.Теорема о локальном обращении в случае пространства конечной размерности
  4.7.Теорема о неявных функциях
 § 5.Производные высших порядков
  5.1.Вторая производная
  5.2.Случай, когда Е = Е1 X... X Еп
  5.3.Последовательные производные
  5.4.Примеры n раз дифференцируемых функций
  5.5.Формула Тейлора: частный случай
  5.6.Формула Тейлора: общий случай
 § 6.Полиномы
  6.1.Однородные полиномы степени n
  6.2.Полиномы, не обязательно однородные
  6.3.Последовательные "разности" полиномов
  6.4.Случай, когда Е и F -- нормированные векторные пространства
 § 7.Ограниченные разложения
  7.1.Определения
  7.2.Случай, когда функция f дифференцируема n раз в точке a
  7.3.Операции над ограниченными разложениями
  7.4.Композиция двух ограниченных разложений
  7.5.Вычисление последовательных производных сложной функции
 § 8.Локальные максимумы и минимумы
  8.1.Первое необходимое условие для локального минимума
  8.2.Условие второго порядка для локального минимума
  8.3.Достаточное условие для строгого локального минимума
 Упражнения
Глава 2. Дифференциальные уравнения
 § 1.Основные теоремы и определения
  1.1.Дифференциальное уравнение первого порядка
  1.2.Дифференциальные уравнения n-го порядка
  1.3.Приближенные решения
  1.4.Пример: линейное дифференциальное уравнение
  1.5.Случай, когда правая часть удовлетворяет условию Липшица; основная лемма
  1.6.Применение основной леммы: теорема единственности
  1.7.Теорема существования в случае, когда правая часть удовлетворяет условию Липшица
  1.8.Случай, когда f локально удовлетворяет условию Липшица
  1.9.Случай линейного дифференциального уравнения
  1.10.Зависимость от начальных данных
  1.11.Случай, когда дифференциальное уравнение зависит от параметра
 § 2.Линейные дифференциальные уравнения
  2.1.Общее решение
  2.2.Линейное однородное уравнение
  2.3.Случай, когда размерность пространства Е конечна
  2.4.Линейное уравнение "с правой частью"
  2.5.Линейное однородное дифференциальное уравнение и-го порядка
  2.6.Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка "с правой частью"
  2.7.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
  2.8.Уравнение с постоянными коэффициентами: случай, когда размерность пространства Е конечна
  2.9.Линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами
 § 3.Различные вопросы
  3.1.Однопараметрические группы линейных автоморфизмов
  3.2.Образующая однопараметрической группы
  3.3.Вопросы дифференцируемости
  3.4.Вопросы дифференцируемости: дифференцируемость по начальному значению u
  3.5.Доказательство теоремы 3.4.2
  3.6.Дифференцируемость по параметру, от которого зависит правая часть дифференциального уравнения
  3.7.Дифференцируемость высшего порядка
  3.8.Дифференциальное уравнение второго порядка
  3.9.Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной
  3.10.Дифференциальные уравнения, "не разрешенные" относительно y'
 § 4.Первые интегралы и линейные уравнения в частных производных
  4.1.Определение первых интегралов дифференциальной системы
  4.2.Существование первых интегралов
  4.3.Неоднородное линейное уравнение в частных производных
  4.4.Примеры
 Упражнения

Часть II. Дифференциальные формы. Элементарные применения к вариационному исчислению, теории кривых и поверхностей

Глава 3. Дифференциальные формы
 § 1.Знакопеременные полилинейные отображения
  1.1.Определение знакопеременных полилинейных отображений
  1.2.Группы перестановок
  1.3.Свойства знакопеременных полилинейных отображений
  1.4.Умножение знакопеременных полилинейных отображений
  1.5.Свойства внешнего умножения
  1.6.Внешнее произведение n линейных форм
  1.7.Случай, когда пространство E конечномерно
 § 2.Дифференциальные формы
  2.1.Определение дифференциальных форм
  2.2.Операции над дифференциальными формами
  2.3.Операция внешнего дифференцирования
  2.4.Свойства операции внешнего дифференцирования
  2.5.Основное свойство внешнего дифференцирования
  2.6.Дифференциальные формы на конечномерном пространстве
  2.7.Операции над дифференциальными формами в канонической записи
  2.8.Замена переменных в дифференциальных формах
  2.9.Свойства отображения phi*
  2.10.Операция phi* в канонической записи
  2.11.Транзитивность замены переменных
  2.12.Условия, при которых дифференциальная форма имеет вид d alpha
  2.13.Доказательство теоремы Пуанкаре
 § 3.Криволинейный интеграл от дифференциальной формы первой степени
  3.1.Пути класса С1
  3.2.Криволинейный интеграл
  3.3.Замена параметра
  3.4.Случай, когда omega -- дифференциал функции
  3.5.Замкнутые дифференциальные формы первой степени
  3.6.Примитивная от замкнутой формы вдоль пути
  3.7.Гомотопия двух путей
  3.8.Односвязные открытые множества
 § 4.Интегрирование дифференциальных форм степени, большей 1
  4.1.Дифференцируемое разбиение единицы
  4.2.Компакт с краем в плоскости R2
  4.3.Интеграл дифференциальной 2-формы по компакту с краем
  4.4.Теорема Стокса на плоскости
  4.5.Доказательство теоремы 4.4.1 (теоремы Стокса)
  4.6.Замена переменных в двойном интеграле
  4.7.Многообразия в пространстве R n
  4.8.Ориентация многообразия
  4.9.Интегрирование дифференциальной 2-формы на двумерном ориентируемом компактном многообразии класса C1
  4.10.n-кратные интегралы
  4.11.Дифференциальные формы на многообразии M C R n
  4.12.Элемент р-мерного объема на многообразии M размерности p (M С R n)
 § 5.Максимум и минимум числовой функции на многообразии
  5.1.Условия первого порядка
  5.2.Условия второго порядка
 § 6.Теорема Фробениуса
  6.1.Постановка задачи
  6.2.Первая теорема существования
  6.3.Вторая теорема существования
  6.4.Завершение доказательства второй теоремы существования (теоремы 6.3.1)
  6.5.Основная теорема
  6.6.Интерпретации в терминах дифференциальных форм
 Упражнения
Глава 4. Элементы вариационного исчисления
 § 1.Постановка задачи
  1.1.Пространство кривых класса C1
  1.2.Функционал, определяемый кривой
  1.3.Пример
  1.4.Задача на минимум
  1.5.Другой вид условий экстремума
  1.6.Вычисление f'(phi)-и для экстремалей
 § 2.Изучение уравнения Эйлера. Существование экстремалей. Примеры
  2.1. Уравнение Эйлера в случае E = R n
  2.2.Примеры
  2.3.Уравнения Лагранжа в механике
  2.4.Возвращение к общему случаю: случай, когда F (t, x, y) не зависит от t
  2.5.Случай, когда функция F (x, y) есть однородный полином второй степени от y
  2.6.Геодезические кривые на многообразиях
  2.7.Задачи на экстремум для кривых, лежащих на многообразии
  2.8.Преобразование предыдущего условия
 § 3.Двумерные задачи
  3.1.Постановка задачи
  3.2.Преобразование условия экстремума
 Упражнения
Глава 5. Применение метода подвижного репера в теории кривых и поверхностей
 § 1.Подвижный репер
  1.1.Определение дифференциальных форм omegai и omegaij
  1.2.Соотношения, которым удовлетворяют формы omegai и omegaij
  1.3.Ортонормированные реперы
  1.4.Репер Френе ориентированной кривой в R3
  1.5.Репер Дарбу ориентированной кривой C, лежащей на ориентированной поверхности S в R3
  1.6.Вычисление геодезической кривизны нормальной кривизны и геодезического кручения
 § 2.Трехпараметрическое семейство реперов, связанное с поверхностью в пространстве R3
  2.1.Многообразие реперов ориентированной поверхности
  2.2.Уравнения движения репера, связанного с ориентированной поверхностью
  2.3.Элемент площади поверхности
  2.4.Вторая основная квадратичная форма поверхности S
  2.5.Вычисление нормальной кривизны и геодезического кручения в данном направлении
  2.6.Главные направления. Линии кривизны
  2.7.Дифференциальная форма геодезической кривизны
  2.8.Использование поля реперов
  2.9.Параллельный перенос вдоль кривой
  2.10.Связь между полной кривизной и параллельным переносом
  2.11.Вычисление полной кривизны поверхности с помощью первой основной формы
 Упражнения
Предметный указатель

 Предисловие редактора перевода

В этой книге излагаются лекции по курсу "Математика II", прочитанному Анри Картаном на факультете наук Парижского университета. Книга состоит из пяти глав. В первых двух главах сообщаются основные факты дифференциального исчисления и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Глава 3 содержит теорию дифференциальных форм и ее применения к многомерным интегралам и условиям интегрируемости систем дифференциальных уравнений. Две последние главы посвящены элементам вариационного исчисления и методу подвижного репера в теории кривых и поверхностей.

Первая часть книги "Дифференциальное исчисление", включающая главы 1 и 2, и вторая ее часть "Дифференциальные формы", включающая главы 3--5, изданы во Франции двумя отдельными книгами. Однако такое их разделение носит искусственный характер, поскольку во второй части имеются многочисленные ссылки на первую, и, вообще, чтение второй части без первой затруднительно. Поэтому по совету автора в русском издании обе части соединены в одну книгу, и в ней установлена единая нумерация глав.

Точные формулировки определений и теорем автор во всех случаях предпочитает обращению к смутной интуиции и расплывчатым идеям. Если не считать немногочисленных ясно оговоренных исключений, в тексте приведены доказательства всех сформулированных утверждений. Это, на наш взгляд, значительно облегчает чтение книги и позволяет рекомендовать ее в качестве учебного пособия.

Каждая глава сопровождается задачами, составленными К.Бюттен, Ф.Ридо и Дж. Л.Верли. Эти задачи должны помочь читателю овладеть предметом. Решив их, он сможет также удостовериться в том, что действительно понял и усвоил изложенные теоретические понятия.

Первая часть книги переведена Б.К.Калякиным, а вторая -- А.Н.Тюриным.

Автор адресует свою книгу студентам, изучившим курс "Математика I", читаемый во французских университетах. У нас книга будет доступна читателям, имеющим подготовку по курсам математического анализа и алгебры в объеме программы первых двух семестров университетов. Для изучения второй главы книги желательно иметь хотя бы первоначальные представления о методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

В заключение я хочу поблагодарить профессора Анри Картана за внимание, проявленное к переводу его книги на русский язык, а также за присланные исправления к французскому тексту. Они учтены нами при подготовке данного перевода.

Б.А.Фукс

 Об авторе

Анри Поль Картан

Выдающийся французский математик, сын знаменитого математика Эли Картана. Родился 8 июля 1904 года. Окончил Высшую нормальную школу в Париже (1926), профессор Парижского университета (1940--1969). Один из организаторов общества математиков, выпускавшего труды под псевдонимом Н.Бурбаки. С 1974 года член Парижской академии наук.

Основные работы Анри Картана относятся к теории аналитических функций многих переменных, топологии и гомологической алгебре. Ежегодный семинар, который А.Картан проводит в Высшей нормальной школе, посвящен изложению новейших результатов в этих разделах математики, а также в алгебраической геометрии и теории автоморфных функций.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце