|
|
|
| Предисловие к тому "Дифференциальные уравнения" |
| 1 | Приближенные методы решения дифференциальных уравнений |
| | § 1. | Зависимость решения от начальных условий и параметров |
| | | 1.1. | Об оценке погрешности приближенного решения |
| | | 1.2. | Об отыскании производных от решений по параметру |
| | | Примеры |
| | § 2. | Аналитические приближенные методы |
| | | 2.1. | Метод степенных рядов |
| | | 2.2. | Метод малого параметра |
| | | Примеры |
| | § 3. | Численные методы решения дифференциальных уравнений |
| | | 3.1. | Метод Эйлера k-го порядка |
| | | 3.2. | Метод Рунге–Кутта 4-го порядка |
| | | 3.3. | Метод Штермера |
| | | Примеры |
| | Упражнения для самостоятельной работы |
| 2 | Устойчивость и фазовые траектории |
| | § 1. | Устойчивость |
| | | 1.1. | Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость |
| | | 1.2. | Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова |
| | | 1.3. | Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова |
| | | 1.4.Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения a0lambdan + a1lambdan-1 + ... + an-1lambda + an = 0, a0 > 0, с действительными коэффициентами |
| | | Примеры |
| | § 2. | Особые точки |
| | | 2.1. | Определение особых точек и их классификация |
| | | 2.2. | Практические приемы исследования особых точек |
| | | Примеры |
| | § 3. | Фазовая плоскость |
| | | 3.1. | Основные понятия |
| | | 3.2. | Построение фазового портрета |
| | | 3.3. | Предельные циклы |
| | | 3.4. | Признаки отсутствия предельных циклов |
| | | 3.5. | Признаки наличия предельных циклов |
| | | Примеры |
| | Упражнения для самостоятельной работы |
| 3 | Метод интегральных преобразований Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений |
| | § 1. | Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства |
| | | 1.1. | Оригинал и изображение |
| | | 1.2. | Свойства преобразования Лапласа |
| | | Примеры |
| | § 2. | Свертка функций. Теоремы разложения |
| | | 2.1. | Определение свертки |
| | | 2.2. | Теорема умножения (Э.Бореля) |
| | | 2.3. | Обобщенная теорема умножения (А.М.Эфроса) |
| | | 2.4. | Формулы Дюамеля |
| | | Примеры |
| | § 3. | Обратное преобразование Лапласа |
| | | 3.1. | Формула обращения Римана–Меллина |
| | | 3.2. | Сведения из теории функций комплексного переменного |
| | | 3.3. | Теоремы разложения |
| | | Примеры |
| | § 4. | Линейные дифференциальные уравнения и системы |
| | | 4.1. | Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами |
| | | 4.2. | Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами |
| | | 4.3. | Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля |
| | | Примеры |
| | § 5. | Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения |
| | | 5.1. | Интегральные уравнения типа свертки |
| | | 5.2. | Интегральные уравнения второго рода |
| | | 5.3. | Интегральные уравнения первого рода |
| | | 5.4. | Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля |
| | | Примеры |
| | § 6. | Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными |
| | | Примеры |
| | Упражнения для самостоятельной работы |
| Ответы |
| Предметный указатель |
Предисловие к тому "Дифференциальные уравнения"
Предлагаемая вниманию читателей книга по замыслу авторов призвана
способствовать глубокому усвоению теории обыкновенных дифференциальных
уравнений с помощью подробно решенных нетривиальных примеров и задач.
Своеобразие предмета теории дифференциальных уравнений – его обширность
и тесная связь с теорией пределов, теорией функций, дифференциальным и
интегральным исчислениями, теорией рядов и другими разделами математики –
определяет соответствующую специфику ее метода. Суть этой специфики состоит
в том, что метод теории дифференциальных уравнений есть метод математического
анализа. В связи с этим теорию дифференциальных уравнений не без оснований
считают дальнейшим обобщением и развитием математического анализа на класс
неявных функций, заданных уравнениями, содержащими независимую переменную,
функцию и ее производные. Так, интегральное исчисление функции одной переменной
фактически есть теория интегрирования в элементарных функциях простейшего
класса дифференциальных уравнений вида y' = f(x).
Пособие охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям
для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики.
Каждый параграф книги снабжен необходимым минимумом теоретических сведений,
используемых при решении соответствующих примеров. Кроме того, в книге
разобраны нетрадиционные для такого рода пособий примеры по теории
продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных
первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных
уравнений, на применение признаков существования предельных циклов на фазовой
плоскости. Каждая глава снабжена упражнениями для самостоятельной работы.
Книга содержит порядка семисот подробно решенных примеров и задач, взятых из
следующих учебников и сборников задач по дифференциальным уравнениям:
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 9-е изд. М.: URSS, 2006.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. 6-е изд. М.: URSS, 2006.
Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. 6-е изд. М.: URSS, 2006.
Гудименко Ф.С., Павлюк I.А., Волкова В.О. Збiрник задач з
диференцiальних рiвнянь. К., 1972.
Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике, т. II,
1958.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1973.
Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф.,
Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике. М., 1972.
Мартыненко В.С. Операционное исчисление. К., 1968.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи и примеры с подробными решениями. 5-е изд. М.: URSS, 2005.
Ляшко I.I., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференциальнi
рiвняння. К., 1981.
Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збiрник задач з диференцiальних та
iнтегральних рiвнянь. К., 1997.
 Боярчук Алексей Климентьевич Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.
 Головач Григорий Петрович Родился в 1940 г. на Черниговщине. Окончил механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко. С 1966 г. работает на кафедре математики и теоретической радиофизики Киевского университета. Кандидат физико-математических наук, доцент. Основные научные работы относятся к вычислительной математике. Является соавтором монографии «Приближенные методы решения операторных уравнений» (на украинском языке), учебных пособий «Сборник задач по дифференциальным и интегральным уравнениям» (на украинском языке), «Математический анализ в примерах и задачах», а также многотомного «Справочного пособия по высшей математике».
|
|
|
|
