|
Оглавление
Предисловие
К 150-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского работники Казанского университета выпустили сборник статей, посвященных великому русскому ученому. В этом сборнике был помещен очерк одного из видных советских геометров Петра Алексеевича Широкова (1895–1944), составляющий содержание этой книги. Очерк представляет собой очень сжатое, но тщательно выполненное изложение начал геометрии Лобачевского, и его можно рекомендовать для первого ознакомления с замечательной геометрической системой, носящей имя ее творца. Для понимания первых шести глав книги достаточно знания элементарной математики. Некоторые дополнительные сведения (аксиомы Паша, Дедекинда, Кантора и другие; формулы, относящиеся к гиперболическим функциям, сферической тригонометрии и т.д.) даны в подстрочных примечаниях. Только последние две небольшие главы требуют дополнительных знаний из специальных отделов математики и при первом чтении могут быть пропущены. Но чтобы по существу воспринять геометрию Лобачевского и понять ее значение, необходимо предварительно ознакомиться с историей ее открытия, в первую очередь – с знаменитой задачей о параллельных линиях. Это задача оставалась нерешенной в течение двух тысяч лет, пока гениальное открытие Лобачевского не дало ей неожиданное разрешение и не повернуло развитие геометрии и всей математики по новому пути. Яркое изложение этих вопросов читатель найдет в очерках В.Ф.Кагана "Лобачевский и его геометрия"1), которые рекомендуется прочесть перед книгой Широкова. Доступность книги Широкова вовсе не означает, что она читается без труда. При чтении потребуется большое напряжение: факты геометрии Лобачевского слишком необычны для того, кто с ними впервые встречается. Придется отказаться от привычных геометрических представлений, которые на первых порах будут противоречить логическим выводам. Постепенно эти трудности будут преодолеваться, и, войдя в новый "неевклидов" мир, читатель не только формально воспримет новые образы, но и "увидит" их – приобретет неевклидову интуицию. После книги Широкова можно перейти к другим, более обстоятельным изложениям геометрии Лобачевского. Введение
В настоящее время существует много самых разнообразных методов изложения геометрии Лобачевского. Не говоря уже о различных способах изложения, которые базируются на тех или иных интерпретациях пространства Лобачевского при помощи геометрических образов в пространстве Евклида, мы имеем несколько способов вывода формул гиперболической тригонометрии, основанных на самых разнообразных приемах и методах геометрического исследования. В предлагаемой вниманию читателя книге дается один из наиболее простых способов, близкий к тому, которым пользовался Лобачевский при систематическом изложении своей геометрии. Как известно, в основе геометрии, как и каждой математической дисциплины, лежит система аксиом (постулатов), из которых развертывается построение этой науки. Мы не будем приводить их списка отчасти изНза краткости настоящего очерка, отчасти и потому, что простое перечисление аксиом, без детальных указаний, каким образом из них могут быть получены хотя бы простейшие теоремы геометрии (а в этом и заключается наибольший интерес при изучении аксиоматического обоснования геометрии), дает мало поучительного для читателя. Не производя анализа аксиом, мы будем пользоваться простейшими, известными по учебникам элементарной геометрии теоремами, не зависящими от пятого постулата Евклида, на котором основана обычная теория параллельных линий со всеми ее дальнейшими применениями. Сам Лобачевский, уделяя много внимания вопросам анализа простейших понятий и обоснования геометрии, ни в одном из своих исследований по неевклидовой геометрии не дает перечня аксиом, ограничиваясь обычно кратким указанием на те простейшие теоремы элементарной геометрии, не зависящие от постулата Евклида, которыми он пользуется в дальнейшем. Лишь только в сочинении "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных " он дает систематическое доказательство теорем, не зависящих от пятого постулата, но также не выделяет явно системы аксиом. Не приводя подробного перечисления этих теорем, укажем только на следующие основные факты и теоремы, принадлежащие, по терминологии Бояи, к "абсолютной геометрии", т.е. к геометрии, не зависящей от того или иного решения вопроса о теории параллельных линий: теоремы о равенстве треугольников, учение о прямом угле, о смежных и вертикальных углах, простейшие свойства перпендикуляров и наклонных (на плоскости и в пространстве), теорема о внешнем угле треугольника, критерии равенства трехгранных углов – все это теоремы "абсолютной геометрии", не зависящие от постулата Евклида. Ими мы будем все время пользоваться в дальнейшем изложении. В этой книге дается краткий очерк основ геометрии Лобачевского, поэтому мы будем приводить только самые основные теоремы, причем в доказательствах часто будем опускать детали изложения, предоставляя более подробное развитие доказательств читателю. Об авторе
 Широков Петр Алексеевич Выдающийся отечественный математик. Доктор физико-математических наук, профессор. Родился в Казани. В 1918 г. окончил Казанский университет. С 1923 г. преподаватель (доцент) при кафедре математики того же университета, с 1930 г. — профессор. В 1933 г. назначен заведующим кафедрой математики Казанского университета, а с 1937 г., после ее разделения на несколько специальных кафедр, заведует кафедрой геометрии. В 1927 г. на математическом съезде в Москве познакомился с крупнейшим отечественным математиком Н. Г. Чеботаревым и организовал его приглашение в Казань. В 1936 г. получил степень доктора физико-математических наук — без защиты диссертации, благодаря своему авторитету в математическом мире.
Основные научные исследования П. А. Широкова относились к неевклидовой геометрии, тензорному анализу и тензорной дифференциальной геометрии римановых пространств. Он решил ряд проблем геометрии и механики пространств Лобачевского и Римана, изучал пространства, обладающие некоторыми свойствами пространств постоянной кривизны, выделил новые важные типы — приводимые, симметрические и А-пространства (келеровы многообразия). Автор фундаментального руководства по тензорному исчислению. Он также руководил геометрическим семинаром, многие участники которого стали выдающимися математиками-геометрами — Б. Л. Лаптев, А. З. Петров, И. П. Егоров, А. П. Заборская, В. Г. Копп, Г. С. Бархин и другие. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||