URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Егоров И.П. Об обобщенных пространствах
Id: 208137
 
109 руб.

Об обобщенных пространствах. Изд.стереотип.

URSS. 2016. 32 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-03606-1.

 Аннотация

Цель данного издания --- помочь читателю создать общие представления о римановых пространствах и пространствах аффинной связности. Эти пространства имеют многочисленные приложения в различных разделах математики и теоретической физики.

В первой части речь идет об определении эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В ней дается также определение геометрии с помощью группы преобразований. Во второй части рассматриваются римановы пространства и пространства аффинной связности и кратко освещаются некоторые результаты о движениях в указанных пространствах.

Книга будет интересна математикам-геометрам, преподавателям и студентам физико-математических вузов, всем, кто желает ознакомиться с теорией обобщенных пространств, чтобы позже продолжить более глубокое изучение.


 Оглавление

Введение. Основные понятия
Система аксиом эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского
Реализации. О требованиях к системе аксиом и формализации геометрии
Геометрия и группы преобразований
О дифференцируемых многообразиях
Римановы пространства
О движениях в римановых пространствах
Пространства аффинной связности
О пространствах общей теории относительности
О других обобщенных пространствах
Заключение
Литература

 Основные понятия

Основные свойства пространства были изложены еще в "Началах" Эвклида в третьем веке до нашей эры. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Изложение Эвклид начинает с определений и перечисления постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, каждая из которых доказывается на основании принятых постулатов, аксиом и предыдущих теорем.

На протяжении более чем двух тысяч лет "Начала" являлась образцом логической строгости. По ним учились все математики до настоящего времени. Школьная геометрия и теперь в основном излагается по Эвклиду.

Однако с точки зрения современной математики в "Началах" содержатся существенные недостатки. В частности, Эвклид не выделяет основных понятий. Он стремится определить все (понятия. Именно потому часть определений "Начал" оказалась логически бездействующей. В них совершенно отсутствуют так называемые аксиоимы порядка и непрерывности. Эвклид вводит понятие равенства фигур на основе движений, но аксиомы движений у него также отсутствуют.

Из всех постулатов и аксиом Эвклида пятый (постулат отличается громоздкостью изложения. В нем утверждается, что если прямая линия пересекается с двумя другими прямыми линиями, образуя внутренние (односторонние) углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются с той стороны, где сумма меньше двух прямых углов. С выходом "Начал" встала проблема пятого постулата -- доказать его на основании остальных четырех постулатов и девяти аксиом.

Эта проблема, по существу, была поставлена еще до Эвклида. Не случайно поэтому постулат о параллельных занимал в списке последнее место и при выводе теорем в первой книгe его употребление отодвигалось по возможности далее. Эвклид стремился сначала обойтись без постулата о параллельных, надеясь доказать его и перевести из постулатов в теоремы.

Проблемой пятого постулата математики занимались более двух тысяч лет. Впервые проблему решил в 1826 году великий русский математик Н.И.Лобачевский. Он принял вместо пятого постулата допущение, согласно которому нa плоскости через точку Л, не лежащую на прямой а, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с а, Дальнейшие рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой в настоящее время геометрией Лобачевского. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет меньше двух прямых, а подобные неравные фигуры отсутствуют. Отношение длины окружности к диаметру меняется от окружности к окружности и остается всегда больше я. Даже из приведенных примеров видно, что геометрия Лобачевского сильно отличается от эвклидовой геометрии.

Исследования Н.И.Лобачевского привели к коренной ломке прежних представлений о пространстве. Они показали, что наряду с геометрией Эвклида, считавшейся единственной геометрической системой, имеет место другая, логически безупречная система. Эти исследования привели математиков к дальнейшим абстракциям в свойствах геометрических понятий, строгому доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского и получению полного списка аксиом геометрии.

Вопрос об аксиоматическом обосновании геометрии был впервые решен Гильбертом в 1899 году. Получение аксиом эвклидовой геометрии, из которых логическим путем следовали бы все теоремы, является одной из основных задач оснований геометрии. Эта совокупность всех аксиом называется системой аксиом. Подвергая анализу доказательства различных теорем в геометрии, мы убеждаемся, что они базируются на аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах. Можно убедиться, что последние, в свою очередь, основываются на предшествующих теоремах, определениях и аксиомах, положенных в основу. В результате мы придем к аксиомам как к простейшим отправным предложениям. Аналогичное положение имеет место для определений понятий. Всякое понятие определяется через ранее введенные 'понятая, которые, в свою очередь, снова определяются через более простые понятия. Такая редукция привадит нас в конце концов к понятиям, которые не сводятся к более простым и представляют собой неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия называются основными понятиями, Они также описываются системой аксиом.

Система аксиом Гильберта описывает восемь основных понятий. Основные понятия -- точки, прямые, плоскости -- называются основными образами, Понятия инцидентности (синонимы -- принадлежности, лежать на, проходить через) точки и прямой, точки и плоскости, а также понятия "лежать между" ли просто "между" для трех точек, инцидентных прямой, конгруентности (равенства) отрезка отрезку и угла углу -- называются основными отношениями. Аксиомы Гильберта эвклидовой геометрии распределяются на пять групп.

Первая груша аксиом описывает основное отношение р1 инцидентности точки и прямой, а также основное отношение р2 инцидентности точки и плоскости. Вторая группа аксиом описывает основное отношение р3 "между", связанное с тремя точками, инцидентными прямой. Третья группа аксиом характеризует основные отношения р4, р5 соответственно конгруентности отрезка отрезку и угла углу. Четвертая группа аксиом посвящена свойствам непрерывности расположения точек на прямой, пятая группа -- вопросу параллельности прямых.

В других системах аксиом эвклидовой геометрии принимаются другие основные понятия. Ниже проводятся аксиомы гильбертовой аксиоматики.


 Об авторе

Егоров Иван Петрович
Известный отечественный математик и педагог. Родился в селе Большая Садовка (ныне Пензенская обл.). Окончил Казанский университет (1939), работал в Пензенском государственном педагогическом институте (ПГПИ). Также преподавал в Горьковском педагогическом институте и университете, в Мордовском университете. В 1945 г. стал кандидатом физико-математических наук, в 1956 г. защитил докторскую диссертацию, с 1957 г. — профессор.

И. П. Егоров — автор трудов по алгебре и дифференциальной геометрии, учебных пособий по неевклидовой геометрии. Возглавляя кафедру высшей математики ПГПИ, он создал Пензенскую математическую школу по движениям в обобщенных пространствах. С 1960 г. в институте функционировала аспирантура под его руководством. Более 70 его научных работ получили широкую известность и признание не только в СССР, но и за рубежом, способствовав появлению новых исследований в США, Японии, Румынии и других странах. Заслуженный деятель науки РСФСР (1970), дважды избирался депутатом Верховного Совета СССР. Награжден орденом Трудового Красного Знамени.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце