Показать ещё...
Основные свойства пространства были изложены еще в "Началах" Эвклида в третьем веке до нашей эры. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Изложение Эвклид начинает с определений и перечисления постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, каждая из которых доказывается на основании принятых постулатов, аксиом и предыдущих теорем. На протяжении более чем двух тысяч лет "Начала" являлась образцом логической строгости. По ним учились все математики до настоящего времени. Школьная геометрия и теперь в основном излагается по Эвклиду. Однако с точки зрения современной математики в "Началах" содержатся существенные недостатки. В частности, Эвклид не выделяет основных понятий. Он стремится определить все (понятия. Именно потому часть определений "Начал" оказалась логически бездействующей. В них совершенно отсутствуют так называемые аксиоимы порядка и непрерывности. Эвклид вводит понятие равенства фигур на основе движений, но аксиомы движений у него также отсутствуют. Из всех постулатов и аксиом Эвклида пятый (постулат отличается громоздкостью изложения. В нем утверждается, что если прямая линия пересекается с двумя другими прямыми линиями, образуя внутренние (односторонние) углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются с той стороны, где сумма меньше двух прямых углов. С выходом "Начал" встала проблема пятого постулата – доказать его на основании остальных четырех постулатов и девяти аксиом. Эта проблема, по существу, была поставлена еще до Эвклида. Не случайно поэтому постулат о параллельных занимал в списке последнее место и при выводе теорем в первой книгe его употребление отодвигалось по возможности далее. Эвклид стремился сначала обойтись без постулата о параллельных, надеясь доказать его и перевести из постулатов в теоремы. Проблемой пятого постулата математики занимались более двух тысяч лет. Впервые проблему решил в 1826 году великий русский математик Н.И.Лобачевский. Он принял вместо пятого постулата допущение, согласно которому нa плоскости через точку Л, не лежащую на прямой а, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с а, Дальнейшие рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой в настоящее время геометрией Лобачевского. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет меньше двух прямых, а подобные неравные фигуры отсутствуют. Отношение длины окружности к диаметру меняется от окружности к окружности и остается всегда больше я. Даже из приведенных примеров видно, что геометрия Лобачевского сильно отличается от эвклидовой геометрии. Исследования Н.И.Лобачевского привели к коренной ломке прежних представлений о пространстве. Они показали, что наряду с геометрией Эвклида, считавшейся единственной геометрической системой, имеет место другая, логически безупречная система. Эти исследования привели математиков к дальнейшим абстракциям в свойствах геометрических понятий, строгому доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского и получению полного списка аксиом геометрии. Вопрос об аксиоматическом обосновании геометрии был впервые решен Гильбертом в 1899 году. Получение аксиом эвклидовой геометрии, из которых логическим путем следовали бы все теоремы, является одной из основных задач оснований геометрии. Эта совокупность всех аксиом называется системой аксиом. Подвергая анализу доказательства различных теорем в геометрии, мы убеждаемся, что они базируются на аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах. Можно убедиться, что последние, в свою очередь, основываются на предшествующих теоремах, определениях и аксиомах, положенных в основу. В результате мы придем к аксиомам как к простейшим отправным предложениям. Аналогичное положение имеет место для определений понятий. Всякое понятие определяется через ранее введенные 'понятая, которые, в свою очередь, снова определяются через более простые понятия. Такая редукция привадит нас в конце концов к понятиям, которые не сводятся к более простым и представляют собой неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия называются основными понятиями, Они также описываются системой аксиом. Система аксиом Гильберта описывает восемь основных понятий. Основные понятия – точки, прямые, плоскости – называются основными образами, Понятия инцидентности (синонимы – принадлежности, лежать на, проходить через) точки и прямой, точки и плоскости, а также понятия "лежать между" ли просто "между" для трех точек, инцидентных прямой, конгруентности (равенства) отрезка отрезку и угла углу – называются основными отношениями. Аксиомы Гильберта эвклидовой геометрии распределяются на пять групп. Первая груша аксиом описывает основное отношение р1 инцидентности точки и прямой, а также основное отношение р2 инцидентности точки и плоскости. Вторая группа аксиом описывает основное отношение р3 "между", связанное с тремя точками, инцидентными прямой. Третья группа аксиом характеризует основные отношения р4, р5 соответственно конгруентности отрезка отрезку и угла углу. Четвертая группа аксиом посвящена свойствам непрерывности расположения точек на прямой, пятая группа – вопросу параллельности прямых. В других системах аксиом эвклидовой геометрии принимаются другие основные понятия. Ниже проводятся аксиомы гильбертовой аксиоматики. Егоров Иван Петрович Известный отечественный математик и педагог. Родился в селе Большая Садовка (ныне Пензенская обл.). Окончил Казанский университет (1939), работал в Пензенском государственном педагогическом институте (ПГПИ). Также преподавал в Горьковском педагогическом институте и университете, в Мордовском университете. В 1945 г. стал кандидатом физико-математических наук, в 1956 г. защитил докторскую диссертацию, с 1957 г. — профессор.
И. П. Егоров — автор трудов по алгебре и дифференциальной геометрии, учебных пособий по неевклидовой геометрии. Возглавляя кафедру высшей математики ПГПИ, он создал Пензенскую математическую школу по движениям в обобщенных пространствах. С 1960 г. в институте функционировала аспирантура под его руководством. Более 70 его научных работ получили широкую известность и признание не только в СССР, но и за рубежом, способствовав появлению новых исследований в США, Японии, Румынии и других странах. Заслуженный деятель науки РСФСР (1970), дважды избирался депутатом Верховного Совета СССР. Награжден орденом Трудового Красного Знамени. |
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |