Менский М.Б. Метод индуцированных представлений:
Пространство-время и концепция частиц. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Теория групп и их представлений давно доказала свою полезность в квантовой теории. В этой книге рассматривается один из важнейших разделов современной теории представлений групп и его приложение к самой, пожалуй, фундаментальной области квантовой теории. Имеется в виду теория индуцированных представлений групп и приложение ее к задаче построения релятивистской квантовой механики или теории элементарных частиц.

В математике техника индуцирования из подгруппы оказалась полезной для исследования и конструирования представлений достаточно сложных (в частности, некомпактных) групп. За последнее десятилетие постепенно была осознана и особая роль индуцированных представлений в квантовой теории. При ближайшем рассмотрении оказалось, что многие важные квантовомеханические понятия естественным образом формулируются на языке индуцированных представлений (оператор импульса, оператор положения Ньютона–Вигнера и др.). Анализ, проведенный Макки, позволяет понять причину этого.

Сейчас, по-видимому, настало время для того, чтобы на основе техники индуцирования не только переформулировать известные положения, но и попытаться получить новые результаты, более глубоко осмыслить квантовую теорию. Во второй части книги делается такая попытка. Показывается, что последовательное использование систем импримитивности и техники индуцирования позволяет построить релятивистскую квантовую механику свободных и взаимодействующих частиц, опираясь почти исключительно на свойства симметрии пространства-времени и не используя по существу классический прообраз квантовой теории.

Рассмотрены три различных модели пространства-времени: пространство-время Галилея с абсолютным временем, пространство-время Минковского и пространство-время де Ситтера. В каждом из этих случаев пространство-время обладает симметрией, описываемой десятипараметрической группой, и требование инвариантности квантовой теории относительно соответствующей группы оказывается настолько сильным, что почти полностью определяет эту теорию. Из трех рассмотренных моделей пространство де Ситтера, по-видимому, точнее всего описывает геометрию реального мира. Между тем квантовая теория в пространстве де Ситтера обнаруживает черты, необычные па сравнению с теорией в пространстве Минковского, главной из которых является то, что понятие энергии в значительной мере теряет физический смысл, а различия в описании частиц и античастиц и операция зарядового сопряжения приобретают геометрическую интерпретацию.

Специфика развиваемого подхода сказывается в том, что теория частиц формулируется полностью в терминах частиц и переходов между различными их состояниями (в духе Фейнмана). Не возникает необходимости пользоваться понятием квантованного поля и связанным с этим понятием сравнительно сложным математическим аппаратом. По всей вероятности, квантовая теория частиц, сформулированная в терминах амплитуд перехода, является лишь частным случаем квантовой теории полей. Однако в некоторых отношениях она, по-видимому, имеет преимущества перед теорией полей и, во всяком случае, поясняет ее с новой точки зрения, что всегда оказывается плодотворным.

С технической стороны главную роль в новой формулировке теории частиц играет теорема о переплетении индуцированных представлений. С принципиальной точки зрения важно было понять связь между наблюдаемыми (реальными) и виртуальными состояниями элементарной частицы. Дело в том, что наблюдатель, отождествляющий частицу, наблюдает ее в течение очень большого (практически бесконечного) интервала времени и в большой пространственной области. А во взаимодействиях частица выступает как объект, локализованный в одной точке пространства-времени: взаимодействие является локальным. Переходы между этими двумя формами существования элементарных частиц, совершаемые по определенным законам, описываются диаграммами Фейнмана, и различные комбинации этих переходов приводят к реально наблюдаемым физическим процессам.

В основе книги лежит курс лекций, который автор читает на физическом факультете МГУ с 1970 г. Хотя для книги материал значительно переработан, но во многих случаях оказалось необходимым сохранить лекционный стиль для того, чтобы иметь возможность осветить широкий круг вопросов, имеющих отношение к основному предмету.

Книга адресована в основном физикам-теоретикам, и это было определяющим при выборе чисто математического материала и уровня строгости при его изложении. Автор старался опускать или излагать предельно сжато то, что можно найти в многочисленных книгах по теории групп, написанных для физиков, и в то же время подробнее осветить те вопросы, которые в подобных книгах либо не затрагиваются, либо упоминаются вскользь. К ним относится прежде всего понятие однородного пространства, пространства переплетения представлений и собственно теория индуцированных представлений.

Для того чтобы книга была доступна по возможности более широкой аудитории, технические сложности, связанные с математически строгим доказательством теорем, опускаются. Отчасти это компенсируется замечаниями, позволяющими читателю понять суть этих сложностей и при желании самому или с помощью математической литературы восстановить строгие доказательства. Стиль изложения рассчитан на то, чтобы подготовить читателя к чтению серьезной математической литературы. На протяжении всей книги дискретные элементы непрерывных групп опускаются, т.е. рассматриваются универсальные накрывающие связных компонент соответствующих групп. Как правило, это особо не оговаривается. Задачи играют в тексте двоякую роль. Некоторые из них служат иллюстрациями излагаемого материала, другие же содержат результаты, на которые опирается изложение, так что составляют неотъемлемую часть текста. Пункты и параграфы, отмеченные в тексте звездочками, могут быть пропущены при первом чтении.

Приведенный в конце книги список литературы ни в какой мере не претендует на полноту. В основном он содержит литературу, непосредственно использованную при написании настоящей книги. При необходимости читатель может воспользоваться библиографией, содержащейся в цитируемых книгах и статьях. Статья Коулмана [59] и популярная книга Макки [82] написаны для физиков и могут быть рекомендованы как прекрасная вспомогательная литература по материалу первой части книги. Для облегчения пользования списком литературы ему предпосланы литературные указания, которые, впрочем, также не являются исчерпывающими.

Для всех физических величин используется естественная система единиц, в которой h = 1, а в релятивистской теории, кроме этого, еще с = 1. Это значит, что в релятивистской теория имеется только одна независимая единица (например, сантиметр), все же остальные выражаются через нее. Так, масса, энергия и импульс выражаются в обратных сантиметрах. В нерелятивистской теории имеются две независимые единицы (сантиметр, секунда). В этом случае, например, импульс выражается в обратных сантиметрах, а энергия – в обратных секундах. В любой момент можно вернуться к обычным единицам, введя в формулы числа h и t таким образом, чтобы размерности всех величин стали обычными. Например, если в показателе экспоненты стоит выражение mt (произведение массы на время), та при переходе к обычным единицам нужно заменить его на mc²/t, так как эта комбинация безразмерна, как и должно быть для показателя степени.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою глубокую признательность тем, кто участвовал в обсуждении излагаемых здесь вопросов на разных стадиях работы над материалом. Много лет назад, в начале этой работы, большую стимулирующую роль играли обсуждения на научных семинарах, руководимых акад. В.С.Владимировым и проф. М.К.Поливановым. На последнем этапе чрезвычайно полезными были дискуссии с Г.Л.Ставраки и Г.А.Вилковыским. Автор особенно благодарен проф. В.Г.Кадышевскому, прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний. Освобождением от многих утомительных операций при подготовке рукописи автор обязан Т.В.Менской.

Об авторе