URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Кранц С. Изменчивая природа математического доказательства. ДОКАЗАТЬ НЕЛЬЗЯ ПОВЕРИТЬ
Id: 207912
 
425 руб. Бестселлер!

Изменчивая природа математического доказательства. ДОКАЗАТЬ НЕЛЬЗЯ ПОВЕРИТЬ
"The proof is in the pudding" by Steven G. Krantz

2016. 320 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-906828-70-5.

 Аннотация

Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени понятие математического доказательства. Некоторые иллюстративные и интересные математические результаты приведены с доказательствами и поясняющими примерами. Рассмотрен вклад в историю доказательства многих великих математиков. Легкий и увлекательный стиль автора делает изложение доступным широкому кругу читателей.

Для преподавателей математики, студентов и всех, интересующихся математическими науками.


 ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................... 5

Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Глава 1. Что такое доказательство и с чем его едят? . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. Кто такой математик? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Понятие доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Как работает математик? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Основания логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1. Закон исключенного третьего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2. Модус понендо поненс и его друзья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Из чего же сделано доказательство? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Цель доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7. Логические основания математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8. Платонизм или кантианство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9. Экспериментальная природа математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10. Роль гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10.1. Прикладная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.11. Математическая неопределенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.12. Публикация и распространение математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.13. Заключительные размышления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Глава 2. Античность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1. Евдокс и концепция теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2. Геометр Евклид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1. Специалист в теории чисел Евклид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3. Пифагор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Глава 3. Средние века и акцент на вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1. Влияние ислама на математику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2. Развитие алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1. Аль-Хорезми и основания алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Исследования нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4. Идея бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Глава 4. Заря нового времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1. Эйлер и глубина интуиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Дирихле и эвристическийбазис строгого доказательства . . . . . . . . . . . 79

4.2.1. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3. Золотая пора девятнадцатого столетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Глава 5. Гильберт и двадцатый век . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1. Давид Гильберт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2. Биркгофф, Винер и развитие американской математики . . . . . . . . . . . . . 88

5.3. Л. Э. Я. Брауэр и доказательство от противного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4. Обобщенная теорема о бутерброде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.4.1. Классическийбутерброд с ветчиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.4.2. Обобщенныйбутерброд с ветчиной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

5.5. Суета вокруг доказательств от противного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

5.6. Эррет Бишоп и конструктивный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

5.7. Николя Бурбаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

5.8. Сриниваса Рамануджан и новыйвзгляд на доказательство . . . . . . . . . .124

5.9. Легенда о Поле Эрдёше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

5.10. Поклонение Полу Халмошу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

5.11. Путаница и парадоксы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.11.1. Парадокс Бертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.11.2. Парадокс Банаха—Тарского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.11.3. Задача Монти Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

5.11.4. Аксиома выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Глава 6. Испытание четырьмя красками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

6.1. Робкое начало . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

Глава 7. Доказательства, построенные компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . .151

7.1. Краткая история вычислителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

7.2. В чем разница между математикойи компьютерными дисциплинами 161

7.3. Доказательство теорем и проверка программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

7.4. Как компьютер может исследовать набор аксиом для получения

утверждений и доказательств новых теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

7.5. Как компьютер порождает доказательство нового результата . . . . . . . .168

Глава 8. Компьютер помогает преподавать и доказывать . . . . . . . . . . . .172

8.1. Программа Geometer’s Sketchpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

8.2. Системы компьютерной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

8.3. Численный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

8.4. Компьютерные изображения и визуализация доказательств . . . . . . . . . .179

8.5. Коммуникация в мире математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

Глава 9. Современная математическая жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

9.1. Мир, в котором мы живем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

9.2. Математические институты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

9.3. Математическая коммуникация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

Глава 10. За пределами компьютеров: социология математического

доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

10.1. Классификация конечных простых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

10.2. Гипотеза Бибербаха — доказательство Луи де Бранжа . . . . . . . . . . . . . . .205

10.3. Как Ву Йи Хсианг решил задачу Кеплера об упаковке сфер . . . . . . .208

10.4. Программа геометризации Тёрстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

10.5. Атака Григория Перельмана на гипотезу Пуанкаре и программу

геометризации Тёрстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

Глава 11. Доказательства, ускользающие из рук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

11.1. Гипотеза Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

11.2. Гипотеза Гольдбаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

11.3. Гипотеза простых близнецов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

11.4. Стивен Вольфрам и Новая наука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

11.5. Бенуа Мандельброт и фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

11.6. Роджер Пенроуз и «Новый ум короля» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

11.7. Задача P/NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

11.7.1. Сложность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252

11.7.2. Сравнение полиномиальнойи экспоненциальнойсложности . .253

11.7.3. Полиномиальная сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

11.7.4. Утверждения, которые можно проверить за полиномиальное

время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

11.7.5. Недетерминистские машины Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

11.7.6. Основания NP-полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

11.7.7. Полиномиальная эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

11.7.8. Определение NP-полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

11.8. Эндрю Уай лс и Великая теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

11.9. Бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264

11.10. Калей доскоп неправильно понятых доказательств . . . . . . . . . . . . . . . . . .266

11.10.1. Разочарование и непонимание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

Глава 12. Джон Хорган и «Смерть доказательства?» . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

12.1. Тезис Хоргана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

12.2. Останется ли «доказательство» ключевым знаком математического

прогресса? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

Глава 13. На посошок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

13.1. Что важного в доказательствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

13.2. Почему важно, чтобы понятие доказательства развивалось . . . . . . . . . .281

13.3. Что будут называть доказательством через 100 лет? . . . . . . . . . . . . . . .283

Алфавитный список авторов с краткими биографиями . . . . . . . . . . . . . . .285

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304


 Отрывок

PDF

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце