URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики
Id: 206669
 
499 руб.

Математические аспекты классической и небесной механики. Изд.стереотип.

URSS. 2016. 416 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-354-01527-6.

 Аннотация

В книге изложены основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Обсуждаются математические модели движения механических систем, изложены различные аспекты теории понижения порядка систем с симметриями, содержится обзор наиболее общих и эффективных методов интегрирования уравнений движения, исследованы явления качественного характера, препятствующие полной интегрируемости гамильтоновых систем, описаны вариационные методы нахождения периодических и асимптотических движений, представлена общая теория тензорных инвариантов уравнений динамики и, наконец, изложены наиболее результативные разделы классической механики: теория возмущений и теория колебаний. Результаты общего характера проиллюстрированы многочисленными примерами из небесной механики и динамики твердого тела.

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных работников - математиков, механиков, физиков, представителей родственных специальностей.


 Оглавление

Оглавление
Вместо вступительной статьи
Предисловие авторов
Глава 1. Основные принципы классической механики
 1.Ньютонова механика
  1.1.Пространство, время, движение
  1.2.Принцип детерминированности Ньютона--Лапласа
  1.3.Принцип относительности
  1.4.Принцип относительности и силы инерции
  1.5.Основные динамические величины. Законы сохранения
 2.Лагранжева механика
  2.1.Предварительные замечания
  2.2.Вариации и экстремали
  2.3.Уравнения Лагранжа
  2.4.Уравнения Пуанкаре
  2.5.Движение со связями
 3.Гамильтонова механика
  3.1.Симплектическая структура и уравнения Гамильтона
  3.2.Производящие функции
  3.3.Симплектическая структура кокасательного расслоения
  3.4.Задача $n$ точечных вихрей
  3.5.Действие в фазовом пространстве
  3.6.Интегральные инварианты
  3.7.Приложения к динамике идеальной жидкости
 4.Вакономная механика
  4.1.Задача Лагранжа
  4.2.Вакономная механика
  4.3.Принцип детерминированности
  4.4.Уравнения Гамильтона в избыточных координатах
 5.Гамильтонов формализм со связями
  5.1.Задача Дирака
  5.2.Двойственность
 6.Реализация связей
  6.1.Различные способы реализации связей
  6.2.Голономные связи
  6.3.Анизотропное трение
  6.4.Присоединенные массы
  6.5.Присоединенные массы и анизотропное трение
  6.6.Малые массы
Глава 2. Задача n тел
 1.Задача двух тел
  1.1.Орбиты
  1.2.Аномалии
  1.3.Столкновения и регуляризация
  1.4.Геометрия задачи Кеплера
 2.Столкновения и регуляризация
  2.1.Необходимое условие устойчивости
  2.2.Одновременные столкновения
  2.3.Парные столкновения
  2.4.Особенности решений задачи $n$ тел
 3.Частные решения
  3.1.Центральные конфигурации
  3.2.Гомографические решения
  3.3.Приведенный потенциал и относительные равновесия
  3.4.Периодические решения в случае тел одинаковой массы
 4.Финальные движения в задаче трех тел
  4.1.Классификация финальных движений по Шази
  4.2.Симметрия прошлого и будущего
 5.Ограниченная задача трех тел
  5.1.Уравнения движения. Интеграл Якоби
  5.2.Относительные равновесия и области Хилла
  5.3.Задача Хилла
 6.Эргодические теоремы небесной механики
  6.1.Устойчивость по Пуассону
  6.2.Вероятность захвата
 7.Динамика в пространствах постоянной кривизны
  7.1.Обобщенная задача Бертрана
  7.2.Законы Кеплера
  7.3.Небесная механика в пространствах постоянной кривизны
  7.4.Теория потенциала в пространствах постоянной кривизны
Глава 3. Группы симметрий и понижение порядка
 1.Симметрии и линейные интегралы
  1.1.Теорема Н"7F етер
  1.2.Симметрии в неголономной механике
  1.3.Симметрии в вакономной механике
  1.4.Симметрии в гамильтоновой механике
 2.Приведение систем с симметриями
  2.1.Понижение порядка (лагранжев аспект)
  2.2.Понижение порядка (гамильтонов аспект)
  2.3.Примеры: свободное вращение твердого тела и задача трех тел
 3.Относительные равновесия и бифуркация интегральных многообразий
  3.1.Относительные равновесия и приведенный потенциал
  3.2.Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества
  3.3.Бифуркационное множество в плоской задаче трех тел
  3.4.Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
Глава 4. Вариационные принципы и методы
 1.Геометрия областей возможности движения
  1.1.Принцип стационарности укороченного действия
  1.2.Геометрия окрестности границы
  1.3.Риманова геометрия областей возможности движения с краем
 2.Периодические траектории натуральных механических систем
  2.1.Вращения и либрации
  2.2.Либрации в неодносвязных областях возможности движения
  2.3.Либрации в односвязных областях и гипотеза Зейферта
  2.4.Периодические колебания многозвенного маятника
 3.Периодические траектории необратимых систем
  3.1.Системы с гироскопическими силами и многозначные функционалы
  3.2.Приложения обобщенной геометрической теоремы Пуанкаре
 4.Асимптотические решения. Приложение к теории устойчивости движения
  4.1.Существование асимптотических движений
  4.2.Функция действия в окрестности неустойчивого равновесия
  4.3.Теорема о неустойчивости
  4.4.Составной маятник с колеблющейся точкой подвеса
  4.5.Гомоклинические движения, близкие к цепочкам гомоклинических движений
Глава 5. Интегрируемые системы и методы интегрирования
 1.Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамильтоновых систем
  1.1.Квадратуры
  1.2.Полная интегрируемость
  1.3.Нормальные формы
 2.Вполне интегрируемые системы
  2.1.Переменные действие--угол
  2.2.Некоммутативные наборы интегралов
  2.3.Примеры вполне интегрируемых систем
 3.Некоторые методы интегрирования гамильтоновых систем
  3.1.Метод разделения переменных
  3.2.Метод $L{\mathcode `|="707C\prm \char "7C}A$ пары
 4.Интегpиpуемые неголономные системы
  4.1.Диффеpенциальные уpавнения с инваpиантной меpой
  4.2.Некоторые решенные задачи неголономной механики
Глава 6. Теория возмущений интегрируемых систем
 1.Усреднение возмущений
  1.1.Принцип усреднения
  1.2.Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай
  1.3.Процедура исключения быстрых переменных. Резонансный случай
  1.4.Усреднение в одночастотных системах
  1.5.Усреднение в системах с постоянными частотами
  1.6.Усреднение в нерезонансной области
  1.7.Влияние отдельного резонанса
  1.8.Усреднение в двухчастотных системах
  1.9.Усреднение в многочастотных системах
  1.10. Усреднение при переходе через сепаратрису
 2.Усреднение в гамильтоновых системах
  2.1.Применение принципа усреднения
  2.2.Процедуры исключения быстрых переменных
 3.Теория КАМ
  3.1.Невозмущенное движение. Условия невырожденности
  3.2.Инвариантные торы возмущенной системы
  3.3.Системы с двумя степенями свободы
  3.4.Диффузия медленных переменных в многомерных системах и ее экспоненциальная оценка
  3.5.Диффузия без экспоненциально малых эффектов
  3.6.Разные варианты теоремы об инвариантных торах
  3.7.Теория КАМ для маломерных торов
  3.8.Вариационный принцип для инвариантных торов. Канторо-торы
  3.9.Приложения теории КАМ
 4.Адиабатические инварианты
  4.1.Адиабатическая инвариантность переменной "действие" в одночастотных системах
  4.2.Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоновых систем
  4.3.Адиабатические фазы
  4.4.Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического/ инварианта
  4.5.Точность сохранения адиабатического инварианта
  4.6.Вечное сохранение адиабатических инвариантов
  4.7.Адиабатические инварианты в системах с переходами через сепаратрису
Глава 7. Неинтегрируемые системы
 1.Гамильтоновы системы, мало отличающиеся от интегрируемых
  1.1.Метод Пуанкаре
  1.2.Рождение изолированных периодических решений -- препятствие к интегрируемости
  1.3.Приложения метода Пуанкаре
 2.Расщепление асимптотических поверхностей
  2.1.Условия расщепления
  2.2.Расщепление асимптотических поверхностей -- препятствие к интегрируемости
  2.3.Некоторые приложения
 3.Квазислучайные колебания
  3.1.Отображение последования
  3.2.Символическая динамика
  3.3.Отсутствие аналитических интегралов
 4.Неинтегрируемость в окрестности положения равновесия (метод К. Зигеля)
 5.Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов
  5.1.Ветвление решений -- препятствие к интегрируемости
  5.2.Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами
 6.Топологические и геометрические препятствия к полной интегрируемости натуральных систем
  6.1.Топология пространства положений интегрируемой системы
  6.2.Геометрические препятствия к интегрируемости
  6.3.Многомерный случай
  6.4.Эргодические свойства динамических систем с многозначными гамильтонианами
Глава 8. Теория малых колебаний
 1.Линеаризация
 2.Нормальные формы линейных колебаний
  2.1.Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы
  2.2.Теоремы Рэлея--Фишера--Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи
  2.3.Нормальные формы квадратичных гамильтонианов
 3.Нормальные формы гамильтоновых систем около равновесия
  3.1.Приведение к нормальной форме
  3.2.Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрестности равновесия при резонансе
  3.3.Устойчивость равновесий гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах
 4.Нормальные формы гамильтоновых систем около замкнутых траекторий
  4.1.Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами
  4.2.Приведение системы с периодическими коэффициентами к нормальной форме
  4.3.Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе
 5.Устойчивость равновесия в потенциальном поле
  5.1.Теорема Лагранжа--Дирихле
  5.2.Влияние диссипативных сил
  5.3.Влияние гироскопических сил
Глава 9. Тензорные инварианты уравнений динамики
 1.Тензорные инварианты
  1.1.Вмороженные поля направлений
  1.2.Интегральные инварианты
  1.3.Интегральный инвариант Пуанкаре--Картана
 2.Инвариантные формы объема
  2.1.Уравнение Лиувилля
  2.2.Условие существования инвариантной меры
  2.3.Применение метода малого параметра
 3.Тензорные инварианты и проблема малых знаменателей
  3.1.Отсутствие новых линейных интегральных инвариантов и вмороженных полей направлений
  3.2.Приложение к гамильтоновым системам
  3.3.Приложение к стацинарным течениям вязкой жидкости
 4.Системы на трехмерных многообразиях
 5.Интегральные инварианты второго порядка и многозначные интег-ралы
 6.Тензорные инварианты квазиоднородных систем
  6.1.Метод Ковалевской--Ляпунова
  6.2.Условия существования тензорных инвариантов
 7.Общая теория вихрей
  7.1.Уравнение Ламба
  7.2.Многомерная гидродинамика
  7.3.Инвариантные формы объема для уравнений Ламба
Комментарий к списку литературы
Рекомендуемая литература
Литература
Именной указатель
Предметный указатель

 Предисловие авторов

В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлений затронуты в значительно меньшей степени, авторы стремились изложить в первую очередь "рабочий" аппарат классической механики. Этот аппарат содержится, в основном, в главах 1, 3, 5 и 6.

Глава 1 посвящена основным математическим моделям классической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем. Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике.

В главе 3 обсуждаются группы симметрий механических систем и отвечающие им законы сохранения. Там же изложены различные аспекты теории понижения порядка систем с симметриями, часто использующейся в приложениях.

Глава 4 посвящена вариационным принципам и методам классической механики. Они позволяют, в частности, получить нетривиальные результаты о существовании периодических траекторий. Особое внимание уделено случаю, когда область возможности движения имеет непустую границу. Указаны приложения вариационных методов к теории устойчивости движения.

Глава 5 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравнений движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указаны разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих "золотой фонд" классической динамики. Материал этой главы используется в главе 6, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики -- теории возмущений. Основная задача теории возмущений -- исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый "принцип усреднения") возникли в небесной механике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 5 и 6 примыкает глава 7, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравнений движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в главе 6. Классическим вопросам небесной механики посвящена вторая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, классификация финальных движений задачи 3-х тел, содержится анализ столкновений и вопросы регуляризации в общей задаче $n$ гравитирующих точек, различные предельные варианты этой задачи. С точки зрения теории возмущений задача $n$ тел обсуждается в главе 6. Элементы теории колебаний механических систем изложены в главе 8.

Последняя глава 9 посвящена тензорным инвариантам уравнений динамики. Это тензорные поля в фазовом пространстве, инвариантные относительно фазового потока. Они играют существенную роль как в теории точного интегрирования уравнений движения, так и при их качественном анализе.

Книга значительно расширена по сравнению с ее предыдущими изданиями (ВИНИТИ, 1985 г.; Шпрингер, 1988, 1993, 1997 гг.). Добавлены гл.4 о вариационных принципах и методах (п.4.5 в ней написан С.В.Болотиным), гл.9 о тензорных инвариантах уравнений динамики, гл.2 о динамике в пространствах постоянной кривизны, пп.1.10 и 4.7 гл.6 о переходах через сепаратрису, п.3.5 гл.6 о диффузии без экспоненциально малых эффектов (написан Д.В.Трещевым), п.3.7 гл.6 о теории КАМ для маломерных торов (написан М.Б.Севрюком), п.4.3 гл.6 об адиабатических фазах, п.6.3 гл.7 о топологических препятствиях к интегрируемости в многомерном случае, п.6.4 гл.7 об эргодических свойствах динамических систем с многозначными гамильтонианами, п.5.3 гл.8 о влиянии гироскопических сил на устойчивость. Существенно расширены п.1.7 гл.6 о влиянии отдельного резонанса, п.3.4 гл.6 о диффузии медленных переменных (при участии С.В.Болотина и Д.В.Трещева). Сделан ряд других добавлений. В этой работе очень большую помощь оказали С.В.Болотин, М.Б.Севрюк и Д.В.Трещев, которым авторы выражают свою глубокую признательность.

Наш текст, конечно, не претендует на полноту. Он также не является учебным пособием по теоретической механике: в нем практически отсутствуют подробные доказательства. Основное назначение нашей работы -- познакомить читателя с классической механикой в целом -- как с классическими, так и с самыми современными ее аспектами. Необходимые доказательства, а также более подробные сведения читатель найдет в книгах и оригинальных работах по этому предмету, указанных в конце данного издания.


 Об авторе

Арнольд Владимир Игоревич
Выдающийся математик, академик АН СССР (РАН). Родился в Одессе, в семье известного математика и методиста И. В. Арнольда. В 1959 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук (1963). До 1987 г. работал в университете; с 1965 г. — профессор. С 1986 г. работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова. В 1990 г. был избран действительным членом Академии наук СССР (с 1991 г. — Российская академия наук). Президент Московского математического общества (1996). Член многочисленных иностранных академий и научных обществ, лауреат многих отечественных и зарубежных премий в области математики, обладатель ряда почетных докторских степеней в зарубежных университетах.

В. И. Арнольд — автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений, функционального анализа, теоретической механики, теории динамических систем, теории катастроф. В 20 лет, будучи учеником выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова, он показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта (1957). Он был одним из создателей теории Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ-теории), ветви теории динамических систем, изучающей малые возмущения почти периодической динамики в гамильтоновых системах и родственных им случаях. Автор десятков теорем, лемм, гипотез, задач и т. д., применимых в самых разных областях математики; основатель большой научной школы. Многие из его учебников и монографий были неоднократно переизданы и переведены на различные языки мира.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце