Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ.
Книга ВТОРАЯ: Функциональные ряды. Линейные и метрические пространства. Аффинные преобразования и группы преобразований. Элементы математической логики. Кн.2 № 128. Изд. стереотип.

Оглавление

Вместо заключения – диалог авторов

– Ну вот и окончилось наше путешествие по некоторым интересным разделам математики.

– И поскольку мы исполняли обязанности гидов, уместно поинтересоваться: не осталось ли у кого-то каких-либо вопросов?

– Позволь мне спросить первому: как ты думаешь, кто вместе с нами дошел до конца? Кому оказалось полезным знакомство с математикой, лишенной формул и строгих доказательств, место коих заняли шутки и побасенки? Кто заинтересован в подобных книгах?

– Во-первых, мне кажется, преподаватели. Элементы высшей математики сейчас проникают даже в школьный курс. Школьникам надо излагать ее иначе, чем студентам. Как говорил Паскаль, "предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным".

– А можно воздействовать такими книгами непосредственно и на самих учеников, особенно если математика подавалась им в изрядно пересушенном виде и потому казалась скучноватой. Привлеченные яркой оболочкой занимательности, эти читатели попутно станут усваивать и математическое содержание, которое до сих пор казалось им горьким.

– Я вспомнил бы еще про тех, которым математика сейчас нужна в гораздо большем объеме, чем излагалось в школе и вузах, где они учились. Это биологи, лингвисты, социологи – короче, все те, кто пытается перевести свою специальность на математические рельсы. Где брать этим людям первые уроки математики? Из серьезных учебников? Не слишком ли высока эта ступенька для первого шага? Должны существовать книги, играющие роль промежуточной ступеньки.

– И их должно быть тем больше, чем интенсивнее происходит математизация знания. А ведь она ширится и ускоряется на наших глазах. Уже давно замечено, что из всех наук наиболее быстро развиваются точные. Вот почему прочие науки стремятся перейти в разряд точных.

– Мне вспомнилось по этому поводу высказывание Дарвина: "У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных".

– А я хотел бы привести слова другого биолога, хотя и менее известного, чем Дарвин. Это Фабр, автор книг о жизни насекомых Про математику он говорил, что это "удивительная учительница в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и давать ясность. Но она, – продолжал далее ученый, – тот деликатный цветок, который произрастает не на всякой почве и распускается так, что никто не знает, как".

– Имеется в виду, что никто не знает, каким образом некоторая область знания становится точной? К сожалению, исчерпывающих рекомендаций на этот счет, действительно, не существует. И если мы с тобой продолжим разговор на эту тему, мы сможем повторить лишь самые общие соображения.

– Согласен. Но если мы не сумеем порекомендовать представителю любой специальности, что именно следует делать ради математизации его науки, давай хотя бы предостережем его от того, чего не следует делать.

– По крайней мере, разберем некоторые хронические заблуждения, касающиеся математики. Ну например, многим кажется, будто развитие каждой математической дисциплины начинается с провозглашения аксиом, невесть откуда взявшихся. А потом на них выстраивается все дальнейшее. Напротив! Четкая формулировка аксиом той или иной математической дисциплины завершает целый этап ее развития, оформляет достигнутые результаты. Как говорил Энгельс, "принципы – не исходный пункт исследования, а его конечный результат".

– Некоторые считают, что вся геометрия началась с "Начал" Эвклида. А ведь до этой книги были открытия Фалеса, Пифагора, Гиппократа, систематизированные Эвклидом. Причем его систематизация была кое в чем несовершенной, как выяснилось в прошлом веке. К исходу девятнадцатого столетия и была создана аксиоматика геометрии, в основном приемлемая по тогдашним канонам строгости. Она завершила, таким образом, двадцатипятивековой этап в развитии элементарной геометрии.

– Но логично спросить: если точная наука начинается не с аксиом, то с чего же?

– Об этом могла бы рассказать история таких классических точных наук, как механика, термодинамика, оптика, электродинамика. Все начинается с накопления экспериментальных фактов, установления устойчивых связей между явлениями, обычно называемых законами. Возьми хотя бы ту же электродинамику. Закон Ампера, закон Фарадея, закон Био–Савара – сколько их было открыто, покуда не появились уравнения Максвелла, своеобразные аксиомы электродинамики, из которых вытекали открытые до тех пор законы электромагнитного поля.

– Но, очевидно, ценность уравнений Максвелла этим не исчерпывается. В самом деле, хороша ли та теория, которая лишь по-новому излагает уже известное?

– Разумеется, нет! Теория и строится и развивается ради получения новых знаний о природе. Аксиомы ценны тем, что из них логическим путем выводятся утверждения, предсказывающие неизвестные ранее явления. Так было и в электродинамике: тот же Максвелл, анализируя свои знаменитые уравнения, пришел к заключению, что существуют электромагнитные волны, что свет имеет электромагнитную природу... Его гипотезы потом блестяще подтвердились экспериментами. Великий принцип математики, заключенный в ее дедуктивном методе, в способности вывести все свои утверждения из немногих аксиом, поистине вооружил физиков как бы новым органом чувств, который позволяет им предвидеть и постигать то, что они не могут увидеть и вообразить.

– Да, по-видимому, это хороший образец для любой науки, желающей стать точной. Хотелось бы выделить принципиальные моменты этого становления. По мере того как экспериментаторы накапливают опытные факты, теоретики вырабатывают элементарные основополагающие понятия, немногочисленные, но очень емкие в том смысле, что наблюдаемые факты могут быть интерпретированы как конкретные проявления этих понятий. В механике к их числу принадлежит понятие материальной точки, в электродинамике – понятие напряженности электрического и магнитного поля...

– И еще один принципиальный момент: анализ способов рассуждения, которые применяются в данной науке. Из них вырабатываются те принципы вывода, по которым из аксиом будут получаться следствия.

– Здесь, по-моему, дело обстоит намного легче. Логика во всех науках одна. Очень хорошо, если найденные в той или иной науке законы допускают количественную формулировку. Тогда для их выражения нужно лишь выбрать подходящий математический аппарат, а все дальнейшее идет по соответствующим правилам преобразования формул.

– Я не согласен со словом "выбрать". Это значит – взять готовое. Такой путь, конечно, возможен и разумен. Математика создала богатый арсенал методов, доказавших свою эффективность и в механике, и в термодинамике, и в оптике...

– И часто случается, что одно и то же уравнение позволяет описать очень далекие по своему физическому смыслу явления. Одна и та же формула, например, выражает и закон взаимодействия двух электрических зарядов, и закон притяжения двух масс. Я не удивлюсь, если математический аппарат термодинамики пригодится, например, в какой-то лингвистической теории.

– Но может случиться и так, что готового аппарата для новой развивающейся науки на математических складах не найдется. Тогда его придется строить с нуля. Кстати, это пойдет на пользу самой математике, пополнит ее арсенал. Необходимость творчества может выявиться в самых непредвиденных местах. Вот, скажем, ты уверен, что во всех науках логика одна и та же – с ее извечным "да – нет", "истина – ложь". Но вспомни, как ты голосуешь на собраниях. У тебя не две, а три возможности: "за", "против", "воздержался". И недаром разрабатываются многозначная логика и еще более диковинные логические теории. Вполне возможно, что какая-то наука, становясь точной, примет на вооружение такую логическую систему, которая до сих пор еще не находила применения в точных науках. Ведь закономерности в каждой области знания свои.

– Иными словами, превращение той или иной науки в точную – это процесс, идущий из самой ее глубины, а не бездумное заимствование уже известного математического аппарата и отработанной терминологии.

– Такое, к сожалению, встречается нередко. В иных книгах, написанных под девизом математизации науки, по существу, нет ничего, кроме нагромождения формул да жонглирования эффектными словечками: инвариант, многомерность, изоморфизм...

– Искривленное пространство, векторное поле и прочая, и прочая.

– Математизация не в этом. Не боясь повториться, я бы вновь попытался подчеркнуть два существеннейших ее положения. Первое – это обобщение уже достигнутого той или иной наукой и выделение нескольких основных утверждений, если угодно, аксиом, содержащих точное и полное описание взаимосвязей между элементарными понятиями данной науки и одновременно служащих определениями этих понятий Второе – это закрепление принципов вывода, согласно которым всякое утверждение данной науки логически вытекало бы из ее аксиом.

– Все это, конечно, очень просто порекомендовать, но очень трудно выполнить. Проблем тут возникает немало. Располагает ли данная наука необходимыми для описанной процедуры основополагающими понятиями? Если располагает и на их основе удалось сформулировать некоторую систему аксиом, то полна ли эта система, т.е. можно ли, исходя из нее, вывести любое утверждение данной науки, хотя бы любое из уже известных? Если же система неполна, то как ее пополнить? Такое пополнение рано или поздно окажется неизбежным с открытием новых фактов... Вот что должно заботить специалиста, желающего видеть свою дисциплину в ряду точных наук.

– А что касается формул, это уж как получится.

– Вот на этой фразе, оправдывающей название нашей книги, давай и закончим.

Об авторах

Пухначев Юрий Васильевич

Кандидат физико-математических наук, доцент (1979), заведующий отделом журнала «Наука и жизнь» (1970–1989), научный консультант журнала «Наука и жизнь» (с 1989 г.), член Союза журналистов (с 1974 г.). Неоднократно награждался дипломами общества «Знание» (1978, 1980, 1988). Основатель и первый президент Ассоциации колокольного искусства России (1989), заслуженный работник культуры Российской Федерации (2003). Автор книг «Загадки звучащего металла» (М.: URSS), «Математика без формул» (М.: URSS; совм. с Ю. П. Поповым), «Семь семинаров по математическому анализу» (М.: URSS). С 1988 г. вел на телеканале «Российские университеты» циклы телепередач «Диалог с компьютером», «Терминал», «Открытый мир», «Рубежи будущего».

Попов Юрий Петрович

Член-корреспондент РАН (1997). Профессор факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, а также профессор Московского физико-технического института. Окончил с отличием аэромеханический факультет МФТИ в 1964 г. После окончания аспирантуры пришел на работу в Институт прикладной математики АН СССР (ныне ИПМ им. М. В. Келдыша Российской академии наук). В 1971 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1979 г. — докторскую; с 1981 г. — профессор. В 1975 г. Ю. П. Попов становится ученым секретарем Института, в 1980 г. — заместителем директора, в 1999 г. — директором ИПМ им. М. В. Келдыша РАН; с 2008 г. — советник РАН. Лауреат Государственной премии СССР, премии Совета Министров СССР. Автор свыше 250 научных работ, в основном в области разработки математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов, а также их применения в магнитной и газовой динамике, гравитационной газодинамике и астрофизике, управляемом термоядерном синтезе и др.