URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Якоби К.Г.Я. Лекции по динамике. Перевод с немецкого
Id: 20378
 
334 руб.

Лекции по динамике. Перевод с немецкого. Изд.2

URSS. 2004. 272 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00689-9.

 Аннотация

Вниманию читателя предлагается книга блестящего представителя немецкой математической школы Карла Якоби (1804--1851), представляющая собой изложение курса лекций, прочитанных автором в Кенигсбергском университете. В первых лекциях излагаются основные принципы механики; далее автор развивает теорию "множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений и применяет ее к решению ряда механических задач. Затем подробно излагаются и применяются к ряду задач метод интегрирования уравнения в частных производных первого порядка, известный как метод Якоби---Гамильтона, и теория эллиптических координат. Заключительные лекции посвящены классическим методам интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка.

Книга рекомендуется специалистам --- математикам и механикам, а также преподавателям, аспирантам и студентам математических вузов.


 Оглавление

Карл Густав Якоб Якоби
Первая лекция. Введение
Вторая лекция. Дифференциальные уравнения движения. Их символическая форма. Силовая функция
Третья лекция. Принцип сохранения движения центра тяжести
Четвертая лекция. Принцип сохранения живой силы
Пятая лекция. Принцип сохранения площадей
Шестая лекция. Принцип наименьшего действия
Седьмая лекция. Дальнейшее изучение принципа наименьшего действия. Множители Лагранжа
Восьмая лекция. Интеграл Гамильтона и вторая Лагранжева форма уравнений динамики
Девятая лекция. Гамильтонова форма уравнений движения
Десятая лекция. Принцип последнего множителя. Распространение Эйлеровских множителей на случай трех переменных. Составление последнего множителя в этом случае
Одиннадцатая лекция. Обзор трех свойств определителей, которыми пользуются в теории последнего множителя
Двенадцатая лекция. Множитель системы дифференциальных уравнений с произвольно большим числом переменных
Тринадцатая лекция. Функциональные определители, их применение к составлению уравнения в частных производных для множителя
Четырнадцатая лекция. Вторая форма уравнения, определяющего множитель. Множители ступенчатой приведенной системы дифференциальных уравнений. Множитель при использовании частных интегралов
Пятнадцатая лекция. Множитель системы дифференциальных уравнений с производными высшего порядка. Применение к свободной системе материальных точек
Шестнадцатая лекция. Примеры разыскания множителя, притяжение точки к неподвижному центру в среде, оказывающей сопротивление, и в пустом пространстве
Семнадцатая лекция. Множитель для уравнений движения несвободной системы в первой Лагранжевой форме
Восемнадцатая лекция. Множитель для уравнений несвободной системы в Гамильтоновой форме
Девятнадцатая лекция. Гамильтоновы уравнения в частных производных и их распространие на изопериметрические задачи
Двадцатая лекция. Доказательство того, что интегральные уравнения, выведенные из полного решения Гамильтонова уравнения в частных производных, действительно удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнение Гамильтона для случая свободного движения
Двадцать первая лекция. Исследование случая, когда t не входит явно
Двадцать вторая лекция. Лагранжев метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, приложение к механическим задачам, которые зависят только от двух искомых отрезков, свободное движение точки на плоскости и кратчайшая линия на поверхности
Двадцать третья лекция. Приведение уравнения в частных производных для тех задач, в которых имеет место принцип сохранения центра тяжести
Двадцать четвертая лекция. Движение планет вокруг солнца, решение в полярных координатах
Двадцать пятая лекция. Решение той же задачи путем введения расстояний планеты от двух неподвижных точек
Двадцать шестая лекция. Эллиптические координаты
Двадцать седьмая лекция. Геометрическое значение эллиптических координат на плоскости и в пространстве. Квадратура поверхности эллипсоида. Вычисление длин его линий кривизны
Двадцать восьмая лекция. Кратчайшая линия на трехосном эллипсоиде. Задача проектирования карт.
Двадцать девятая лекция. Притяжение точки к двум неподвижным центрам
Тридцатая лекция. Теорема Абеля
Тридцать первая лекция. Общие исследования, относящиеся к уравнениям в частных производных первого порядка. Различные формы условий интегрируемости
Тридцать вторая лекция. Прямой вывод наиболее общей формы условий интегрируемости. Введение функций H, которые, будучи приравнены произвольным постоянным, определяют р как функцию q
Тридцать третья лекция. О совместных решениях двух линейных уравнений в частных производных
Тридцать четвертая лекция. Применение, предшествующего исследования к интегрированию уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, к случаю механических задач. Теорема о третьем интеграле, выводимом из двух данных интегралов дифференциальных уравнений динамики
Тридцать пятая лекция. Два класса интегралов, получаемых по методу Гамильтона для задач механики, определение для них значений выражений (phi, psi).
Тридцать шестая лекция. Теория возмущения
Приложение

 Карл Густав Якоб Якоби

Период конца 18-го столетия и первой половины 19-го века является одним из самых блестящих и плодотворных периодов в истории математики, К этому периоду относятся работы таких гениальных математиков, как Лагранж, Гаусс, Абель, Галуа. Вокруг упомянутых корифеев математической мысли группируется целая плеяда блестящих математиков, и среди них одно из первых мест бесспорно принадлежит Якоби, с именем которого связан целый ряд крупнейших открытий в области анализа, механики и теории чисел.

Карл Густав Якоб Якоби родился 10 декабря 1804 года в Потсдаме и среднее образование получил в местной гимназии. Об его математической эрудиции в то время можно судить по тому факту, что в старших классах гимназии он, вместо обычной программы, занимался изучением эйлеровского Intrpductio in analysis infinitorum. Окончив гимназический курс неполных 16-ти лет от роду, Якоби поступил в берлинский университет и там, помимо занятий математикой, уделял много времени изучению философии и древних языков. К окончанию университетского курса Якоби пришлось сделать выбор между математикой и филологией, и он после некоторого колебания решил посвятить себя изучению точных наук. Первые работы Якоби относятся к области высшей алгебры. Вопрос о разложении функций на алгебраические дроби служил темой его докторской диссертации, защищенной им в 1825 году. В следующем году кенигсбергский университет пригласил Якоби к чтению лекций сначала в качестве доцента, а затем и экстраординарного профессора. С кенигсбергским университетом, ординарным профессором которого Якоби стал с 1831 года, связан 17-ти летний период его жизни. Здесь он читал свои выдающиеся лекции, привлекавшие многочисленных слушателей не только со всех сторон Германии, но и из заграницы. По отзывам современников лекции Якоби отличались не только глубиной и оригинальностью содержания, но также и мастерским изложением. Выдающийся научный авторитет Якоби создал целую школу математиков, влияние которой можно проследить до настоящего времени. В Германии его непосредственными учениками были Кирхгофф, Клебш и Гессе; из заграничных ученых особенно следует упомянуть Лиувилля и Эрмита, занимавшихся под руководством Якоби в 40-х годах прошлого столетия. В Кенигсберге Якоби прожил почти безвыездно до 1843 года, но в этом году, почувствовав ухудшение своего здоровья, он по совету врачей провел 6 месяцев в Италии. Возвратившись с юга в Германию, Якоби поселился в Берлине, где и прожил до 1851 года, читая лекции в берлинском университете и состоя членом прусской академии наук. Смерть Якоби последовала 18 февраля 1851 года в результате заболевания оспой.

По размаху и глубине своей научной деятельности Якоби принадлежит к числу тех немногих математиков, которые оставили след своего гения почти во всех областях чистой и прикладной математики. Первые крупные открытия Якоби, сразу создавшие ему славу одного из первых математиков своего времени, относятся к теории эллиптических функций. Занявшись под влиянием Лежандра, с которым он состоял в долголетней переписке, изучением эллиптических интегралов, Якоби почти одновременно с Абелем поставил задачу об обращении этих интегралов и открыл главное свойство эллиптических функций -- их двоякую периодичность. Теорию этих функций Якоби изложил в своем знаменитом сочинении "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" (1829 г.), не потерявшем своего значения и до настоящего времени. В этом сочинении Якоби показал какую роль при изучении высших трансцендентных функций играют бесконечные ряды, за которыми потомство закрепило название "функций тэта Якоби". Кроме теории эллиптических функций, Якоби сделал крупнейшие открытия в области вариационного исчисления, теории чисел, дифференциальных уравнений и в особенности в теории интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка, где им указаны несколько основных методов интегрирования систем этих уравнений, известных под названием "методов Якоби". С интегрированием дифференциальных уравнений в частных производных весьма тесно связаны исследования Якоби в механике систем материальных точек. После издания "Mecanique analytique" Лагранжа эта область механики привлекала много исследователей, среди которых особенно выделяются имена Пуассона и Гамильтона. Со своей стороны Якоби не только посвятил этой области ряд выдающихся исследований но, придавая ей большое значение, прочел в зимнем семестре 1842/43 г. в кенигсбергском университете цикл лекций, записанных Борхардтом и изданных первым изданием в 1866 году Клебшем под названием "Лекции по динамике". Полный перевод этих лекций Научно-техническое издательство и предлагает вниманию читателя. При переводе была поставлена цель, как можно точнее передать текст, сохранив по мере возможности особенности языка и характер изложения подлинника.

Краткое содержание "Лекций по динамике" следующее: Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики: принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию "множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеровского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью "последнего множителя" всю систему n независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием "метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод применяется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка.

Несмотря на свою почти столетнюю давность лекции Якоби не потеряли своего значения и до настоящего времени; многое из них уже давно вошло в учебники по анализу и механике. Несомненно, что еще долгие годы эти замечательные лекции будут привлекать к себе читателя, ищущего не легкого изложения предмета, а желающего извлечь пользу из изучения сочинения, в котором богатство и глубина содержания, критическое отношение к разбираемым темам, оригинальность и мастерство в изложении сочетались в одно стройное целое.

Н.Кошляков

 Введение (первая лекция)

Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения из особой формы этих уравнений. В "Аналитической механике" можно найти все, что касается задачи составления и преобразования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Упомянутая задача едва поставлена; единственно, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных -- метод приближений, который покоится на особенной форме дифференциальных уравнений, встречающихся в механике.

Среди большого количества задач, ставящихся в механике, мы будем рассматривать только те, которые относятся к системе n материальных точек, т.е. п тел, размерами которых можно пренебречь и массу которых предполагают находящейся в центре тяжести. Далее мы будем рассматривать только те задачи, при которых движение зависит только от взаимного расположения точек, а не от их скорости. Благодаря этому исключаются все задачи, при которых принимается в расчет сопротивление.

Сначала мы установим дифференциальные уравнения движения такой системы, а затем укажем приложимые к ней принципы. Этими принципами являются:

1. Принцип сохранения движения центра тяжести.

2. Принцип сохранения живой силы.

3. Принцип сохранения площадей.

4. Принцип наименьшего действия или, лучше сказать, наименьшей затраты силы.

Первые три из этих принципов дают интегралы составленной системы дифференциальных уравнений; последний не дает никакого интеграла, но дает символическую формулу, которая объединяет систему дифференциальных уравнений. Однако этот принцип не менее важен, чем остальные и Лагранж вначале даже вывел из него все свои результаты в механике. Позже, когда он захотел их строго обосновать, он отказался от принципа наименьшего действия и принял за основание своих выводов принцип виртуальных скоростей.

Таким образом, принцип наименьшего действия, бывший источником всех новых результатов, был трактован, как недостаточный.

Я присоединил новый принцип механики, который согласуется с принципами сохранения живой силы и сохранения площадей в том отношении, что тоже дает интеграл, но в остальном он совершенно другой природы. Во-первых, он является более общим, чем они, так как он имеет место всякий раз, когда дифференциальные уравнения содержат одни координаты; во-вторых, в то время, как те принципы дают первые интегралы в форме: функция от координат и их производных равна некоторой постоянной, т.е. интегралы, из дифференцирования которых проистекают уравнения, обращающиеся при использовании данных дифференциальных уравнений тождественно в нуль, -- новый принцип дает последний интеграл в предположении, что предыдущие интегралы известны. Именно, если сделать предположение, что задача механики свелась к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то, согласно с этим принципом, можно найти множитель этого уравнения.

Таким образом в тех случаях, когда остальные принципы сводят задачу к дифференциальному уравнению первого порядка, новый принцип решает ее полностью. Сюда принадлежит задача притяжения точки неподвижным центром, причем закон притяжения произволен; далее следует притяжение к двум неподвижным центрам, в предположении, что имеет место притяжение по закону Ньютона, и наконец, вращение вокруг точки тела, не подверженного действию внешних сил. При притяжении к двум неподвижным центрам, кроме применения старых принципов, совершенно необходим еще интеграл, найденный Эйлером особым искусственным приемом; при помощи этого интеграла задача сводится к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными. Но это уравнение крайне сложно и его интегрирование есть одно из величайших мастерских творений Эйлера. При помощи нового принципа множитель этого уравнения получается сам собой.

Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют место принцип живой силы и принцип наименьшего действия. Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильтон называет характеристической функцией.

Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно и туманно, вследствие того, что он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное исследование показывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне.

Мы введем для определенности следующие термины: интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или интегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных -- решениями. Далее, для системы дифференциальных уравнений мы будем различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралами пусть будут те первые интегралы, которые имеют форму: функция от координат и их производных равна постоянной, и ее производная при использовании данной системы дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов; интегральными уравнениями называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы и площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегральные уравнения.

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнений задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения принимают при посредстве характеристической функции, но он ничего не сделал для разыскания этой последней. Этим мы и займемся и с помощью полученных результатов изучим: притяжение к неподвижному центру, притяжение к двум неподвижным центрам и движение точки, не подверженной силе тяжести, по трехосному эллипсоиду (определение этого движения совпадает с нахождением кратчайшей линии на эллипсоиде).

Соотношение, открытое Гамильтоном, дает новые заключения относительно метода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследующем: интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат известное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельном случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчки, то благодаря этому изменяются только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета движется но эллипсу вокруг солнца и получает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гиперболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается та же. Если такие толчки происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто постоянные изменяются непрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точности изображают действие возмущающих сил. Эта теория вариации постоянных представится в течение нашего исследования в новом свете.

Принцип сохранения живой силы охватывает большой класс задач, ж которым в частности принадлежит задача трех тел или более общая задача движения n тел, которые взаимно притягиваются.

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводим все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения п взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т.е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет *) занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж; для большего числа переменных Пфафф представил, хотя и имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений; после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше; эту систему снова интегрируют и т.д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно с этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел задачу к более трудной, так как по Пфаффу интегрирование уравнения в частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к другой может быть произведено в обратном порядке, как это имеет место в рассматриваемом случае. В таких приведениях важно соотношение, которое устанавливается между двумя задачами. Соотношение, о котором здесь идет речь, указывает, что всякое достижение в теории уравнений в частных производных ведет за собой также и достижение в механике.

Более глубокое изучение дифференциальных уравнений механики показывает, что число интегрирований всегда может быть сведено к половине первоначального их числа, в то время как вторая половина заменяется квадратурами. Существует замечательная теорема, которая показывает, что между интегралами имеет место качественное различие. Именно, в то время как некоторые интегралы имеют значение только как квадратуры, существуют другие, которые содержат в себе все остальные.

Эта теорема формулируется следующим образом: "Если, кроме интеграла, данного принципом живой силы, известны еще два интеграла уравнений динамики, то из этих двух можно получить третий". Примером тому служат так называемые теоремы площадей относительно трех координатных плоскостей; если две из них имеют место, то третья выводится из них.

Если по приведенной общей теореме из двух интегралов найден третий, то из этого последнего и одного из прежних находится четвертый и т.д., пока не вернемся к одному из данных. Существуют интегралы, которые при этой операции исчерпывают всю систему интегральных уравнений, в то время как для других цикл замыкается раньше. Смысл этой основной теоремы, известной уже в течение 30 лет, был в сущности скрыт. Она была открыта Пуассоном и была также известна Лагранжу, который пользовался ею как вспомогательной теоремой во второй части "Аналитической механики", появившейся только после его смерти. Но этой теореме придавалось всегда совершенно иное значение; она должна была только показывать, что в некотором разложении известные члены не зависят от времени, и увидеть в ней ее теперешнее значение было не так легко. В этой теореме заложен в то же время фундамент для интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.


 Об авторе

Карл Густав Якоб Якоби (1804--1851)

Видный немецкий математик, член Берлинской академии наук (1836), член-корреспондент (1830) и почетный член (1833) Петербургской академии наук. Младший брат выдающегося физика и электротехника Б.С.Якоби. Закончил Берлинский университет и в 1825 году защитил докторскую диссертацию, затем 17 лет проработал в Кенигсбергском университете, а в 1843 году вернулся в Берлин.

Карл Якоби -- автор многих открытий в области теории чисел, алгебры, вариационного исчисления, интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений; один из создателей теории эллиптических функций. Он ввел в употребление функциональные определители и указал на их роль при замене переменных в кратных интегралах и при решении уравнений с частными производными. В его честь получивший широкое применение в математике функциональный определитель специального вида был назван якобианом. Кроме того, К.Якоби исследовал класс ортогональных многочленов, являющихся обобщением многочленов Лежандра; ввел и изучил тэта-функции и некоторые другие трансцендентные функции; исследовал дифференциальные уравнения динамики, указав ряд новых методов их решения.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце