URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда
Id: 201233
 
299 руб. Бестселлер!

Специальные числа натурального ряда. Изд.стереотип.

URSS. 2015. 240 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-05059-3.

 Аннотация

Настоящая книга содержит строгое систематическое изложение основ теории некоторых специальных чисел натурального ряда: фигурных чисел, чисел Мерсенна и Ферма, совершенных и дружественных чисел, чисел Пифагора и Каталана. Описана история возникновения и основные этапы научного исследования указанных классов натуральных чисел; представлены доказательства большинства классических утверждений, связанных с изучаемыми объектами, рассмотрен ряд их менее известных (но зачастую не менее интересных) свойств и практических приложений. Помимо теоретической части, каждый раздел содержит обширный список задач, от простейших до весьма сложных, решение которых может послужить стимулом к самостоятельным научным исследованиям в соответствующей области.

Пособие предназначено для преподавателей и студентов высших учебных заведений, прежде всего математических факультетов педагогических вузов, для учителей профильных школ, а также для всех, кого интересуют арифметические проблемы, привлекает красота и многовековая история теории чисел.


 Содержание

Обозначения
Введение
Глава 1. Фигурные числа
 1.1.История вопроса
 1.2.Определение и формулы плоских фигурных чисел
 1.3.Интересные закономерности плоских фигурных чисел
 1.4.Нахождение квадратных чисел, являющихся треугольными
 1.5.Задача Эйлера о количестве содержания данного числа во всех многоугольных числах
 1.6.Центральные многоугольные числа
 1.7.Пространственные фигурные числа
 1.8.О роли фигурных чисел в математике
 1.9.Задачи
 Литература к главе 1
Глава 2. Числа Мерсенна и Ферма
 2.1.Простые числа. Способы проверки простоты числа
 2.2.Формулы простых чисел
 2.3.Числа Ферма. История вопроса
 2.4.Простейшие свойства чисел Ферма
 2.5.Методы проверки простоты чисел Ферма
 2.6.Числа Ферма. Нерешенные проблемы
 2.7.Числа Мерсенна. История вопроса
 2.8.Элементарные свойства чисел Мерсенна
 2.9.Определение простоты чисел Мерсенна
 2.10.Числа Мерсенна. Нерешенные проблемы
 2.11.Задачи
 Литература к главе 2
Глава 3. Совершенные и дружественные числа
 3.1.История вопроса
 3.2.Арифметические функции tau (n) и sigma (n)
 3.3.Четные совершенные числа. Формула Евклида--Эйлера
 3.4.Нечетные совершенные числа
 3.5.Простейшие свойства совершенных чисел
 3.6.Избыточные и недостаточные числа
 3.7.Обобщения понятия совершенного числа
 3.8.Дружественные числа. Правила Сабита и Эйлера
 3.9.Свойства дружественных чисел
 3.10.Обобщения дружественных чисел
 3.11.Задачи
 Литература к главе 3
Глава 4. Числа Пифагора
 4.1.История вопроса
 4.2.Примитивные пифагоровы тройки
 4.3.Методы генерации пифагоровых троек
 4.4.Арифметические свойства пифагоровых треугольников
 4.5.Значения сторон пифагоровых треугольников
 4.6.Пифагоровы треугольники с общими элементами
 4.7.Пифагоровы треугольники-близнецы
 4.8.Пифагоровы треугольники, стороны которых являются квадратами
 4.9.Пифагоровы треугольники и точки плоскости
 4.10.Героновы треугольники
 4.11.Пифагоровы четверки
 4.12.Великая теорема Ферма
 4.13.Задачи
 Литература к главе 4
Глава 5. Числа Каталана
 5.1.История вопроса
 5.2.Определение чисел Каталана
 5.3.Свойства чисел Каталана
 5.4.Задачи, приводящие к числам Каталана
 5.5.Последовательность Каталана и другие специальные комбинаторные числа
 5.6.Треугольник Каталана
 5.7.Задачи
 Литература к главе 5
Литература

 Введение

Понятие числа является одним из основополагающих понятий не только арифметики и теории чисел, но и математики в целом. Изучение любого раздела математической науки невозможно без использования тех или иных свойств классических числовых систем; идея числа проходит красной нитью как через все школьное математическое образование, так и через высшее математическое образование. Без знания классических числовых систем не может обойтись ни один образованный человек, в то же время процесс знакомства с построением этих систем отражает, в сжатом и очищенном виде, все основные процессы, исторически происходившие в математике (аксиоматический метод, алгебраические структуры и т.д.).

Специфика проблем, связанных с изучением и систематизацией свойств тех или иных чисел -- простота формулировок, непосредственная связь с элементарной математикой, глубокие исторические корни в сочетании с богатством, фундаментальностью и разнообразием математического содержания, опирающегося на весь аппарат классической математической науки, -- позволяет использовать задачи такого рода в качестве одного из наиболее продуктивных источников для построения новых математических курсов.

С этой точки зрения хороши любые числа (вспомним, например, историю чисел pi, e, sqrt(2)), но по ряду причин на первый план выступают так называемые специальные числа натурального ряда: фигурные числа, Пифагоровы и Героновы тройки, совершенные и дружественные числа, магические квадраты, числа Фибоначчи, треугольник Паскаля, числа Мерсенна, числа Ферма, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана и др.

Темы, связанные с этими объектами, отличают прозрачность и естественность определений и простейших результатов, облегчающие первоначальное знакомство с предметом и поддерживающие интерес к нему.

Другим отличительным признаком является недостаток (а иногда и почти полное отсутствие) специальной литературы, разброс информации по различным, не связанным между собой источникам. В этой ситуации работа по сбору информации об изучаемом объекте приобретает самостоятельное значение, являясь частью общей исследовательской работы по теме, а значимость полученной коллекции математических фактов и утверждений возрастает.

Кроме того, специальные числа натурального ряда, как правило, обладают широким спектром свойств, от простейших до весьма сложных, для доказательства которых используется практически весь арсенал арифметики и теории чисел: теория делимости, теория сравнений, символ Лежандра, показатели и первообразные корни, элементы теории цепных дробей и др. Это позволяет познакомить заинтересованных теоретико-числовыми вопросами читателей с основными методами элементарной и аналитической теории чисел, естественным образом применяя их для решения возникающих на том или ином этапе практических проблем.

Связь с фундаментальными фактами теоретической арифметики, богатая история, разнообразные практические применения обеспечивают естественную корелляцию изучаемых вопросов со школьным курсом математики, востребованность соответствующих разработок для современной профильной школы. С другой стороны, данная тематика весьма продуктивна для организации индивидуальной исследовательской работы студентов в условиях уровневого высшего образования, прежде всего в рамках подготовки выпускных квалификационных работ бакалавра и магистерских диссертаций, позволяя в ходе проведения исследований остановиться на этапе, доступном именно данному студенту: кто-то ограничится изучением и систематизацией найденной информации, кто-то докажет сформулированные в специальной литературе, но не доказанные там утверждения, а кто-то, опираясь на полученный багаж знаний, освоив методы, применяемые для серьезного научного анализа исследуемых объектов, получит новые результаты и в дальнейшем продолжит научную работу в этой области.

Остановимся, например, на проблеме фигурных чисел. Появившись в древней Индии и Вавилоне в ходе решения практических задач, они привлекли пристальное внимание пифагорейцев, которые увлекались числами, связанными с геометрическими образами. В дальнейшем фигурными числами занимались многие известные математики, в том числе Никомах, Диофант, Боэций, Кардано, Штифель, Баше де Мезирак, Ферма, Декарт, Валлис, Эйлер, Лежандр, Лагранж, Гаусс, Коши и др. Венцом теории многоугольных чисел является доказанная Коши (1815) теорема Ферма: любое натуральное число представимо в виде суммы n n-угольных чисел. Конечно, определение и простейшие свойства многоугольных чисел можно найти не только в любом математическом справочнике, различных математических энциклопедиях и энциклопедических словарях, но и в многочисленных научно-популярных изданиях, сборниках занимательных задач и т.п., однако систематического изложения теории фигурных чисел нет в специальной математической литературе ни на русском, ни на английском языке: так, на поиск оригинального доказательства Коши мы потратили три года, обнаружив его только в полном собрании сочинений Коши на французском языке, сохранившемся в библиотеке Академии наук Тайваня. В некотором смысле этот пробел заполняет достаточно полная информация в Интернете, однако представленное в нем перечисление фактов ни в коей мере не может компенсировать отсутствия строгих математических доказательств.

Теория чисел Мерсенна и Ферма является естественной частью теории простых чисел -- чисел, которые трудно назвать специальными, но без которых невозможно представить себе ни одно более или менее серьезное теоретико-числовое исследование. В рамках изучения любого класса простых чисел мы естественным образом выходим на такие фундаментальные проблемы, как формулы простых чисел, критерии простых чисел или способы проверки простоты числа, знакомимся с классическими результатами и современными исследованиями аналитической теории чисел.

Очень известный класс специальных чисел образуют совершенные и дружественные числа. Несмотря на то что соответствующая теория достаточно локальна и в своем классическом варианте представляет в основном исторический интерес, имеется множество направлений, так или иначе обобщающих классические факты и развивающих теорию в рамках современной науки: почти совершенные числа, квазисовершенные числа, k-совершенные числа, k-дружественные числа, социальные числа и т.д.

Числа Пифагора, или пифагоровы тройки -- тройки (x,y,z) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению Пифагора x2+y2=z2, -- вводят нас в теоретико-числовую проблематику, связанную с решением неопределенных (диофантовых) уравнений.

Числа Каталана, равно как и числа Стирлинга, числа Белла, элементы треугольника Паскаля, являясь специальными числами натурального ряда, тем не менее в большей степени принадлежат комбинаторике, возникая из комбинаторных задач и порождая своим существованием целый ряд других комбинаторных проблем.


 Об авторе

Елена Ивановна ДЕЗА

Кандидат физико-математических наук. В 1983 г. окончила математический факультет Московского государственного педагогического института, в 1992 г. -- аспирантуру по кафедре теории чисел МГПИ. С 1988 г. преподает на математическом факультете МГПИ (ныне -- МПГУ). Автор нескольких книг по теории чисел, дискретной математике и теории метрических пространств, в том числе учебных пособий "Численные методы" (2-е изд. М.: URSS, 2010; совм. с Ю.Н.Шаховым) и "Основы дискретной математики" (2-е изд. М.: URSS, 2011; совм. с Д.Л.Моделем).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце