Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Настоящая книга имеет целью изложить основные результаты, полученные в классической теории непрерывных групп, или, как их принято теперь называть, групп Ли. Современные достижения в теории непрерывных групп, значительно расширяющие понятие непрерывной группы и в противоположность классической теории рассматривающие ее элементы как абстрактные символы, подчиненные определенным топологическим аксиомам, не будут здесь систематически излагаться. Они составляют содержание книги Л.С.Понтрягина, вышедшей недавно в ГОНТИ. Однако, желая ввести определения и теоремы так, чтобы они удовлетворяли современным требованиям строгости, я должен был познакомить читателей с основными понятиями современной "топологической" теории непрерывных групп: локальный изоморфизм, связность группового пространства, накрывающая группа и т.п. Этому посвящен мой § 4. Здесь, чтобы не вдаваться в тонкости теоретико-множественной топологии, я часто выводил результаты не в полном объеме, значительно суживая их предпосылки.

Большая же часть книги посвящена теории так называемого "группового ядра", т.е. локальной теории групп Ли, которой исключительно занималась классическая теория, хотя и не указывая на это с достаточной четкостью.

Книга имеет несколько существенных особенностей, отличающих ее от других имеющихся в мировой литературе курсов теории непрерывных групп (русская литература вообще не имела учебников по непрерывным группам). Прежде всего я стремился по возможности сблизить теорию групп Ли с теориями конечных и дискретных бесконечных групп и потому вывел все теоремы, справедливые для групп всех типов, не делая предположения о природе групп (см. § 2). Затем я поместил в книге в значительно большей мере, чем это делалось в других книгах, теорию Киллинга–Картана–Вейля групповых структур и линейного представления групп. Эта теория, представляя большую ценность, была разбросана по многим журнальным статьям, из которых далеко не все отличаются доступностью изложения.

Из более мелких особенностей книги можно отметить изложение основ теории интегральных инвариантов (§ 14), новую трактовку вопроса о различных представлениях группы Ли (§ 16) и, наконец, некоторые упрощения в методе Ли классификации групп на плоскости (глава IV).

Книга может служить пособием при прохождении студентами университета курса теории групп Ли. Но так как она содержит много подробностей, которые могут быть опущены в университетском курсе и вообще при первом знакомстве читателя с непрерывными группами, то будет уместно указать, какие из параграфов книги должны служить основой для всякого курса и какие при первом чтении могут быть пропущены.

"Введение" доступно для математически образованного читателя. Для начинающих лучше отложить его чтение к концу.

Материал § 1 содержится во всех курсах теории конечных групп и теории Галуа. Если читатель уже знаком с этими теориями, этот параграф можно пропустить.

§ 2 знакомит с основными понятиями и фактами теории групп вообще. При данном построении плана книги знакомство с ним необходимо. Однако опытный преподаватель, если пожелает оставаться в рамках классической теории групп Ли, сможет пропустить этот параграф, но должен будет сделать в последующих параграфах соответствующие дополнения.

§ 3 носит обзорный характер. Прохождение его не необходимо, но весьма полезно для расширения кругозора.

§ 4 может быть пропущен при первом чтении. Однако я рекомендую пройти его, так как он знакомит читателя с основными понятиями современной теории групп.

§ 5 повторяет факты, известные студентам из теории линейных уравнений в частных производных.

В § 6 должны быть усвоены понятия и результаты. Подробности доказательств могут быть опущены.

§ 7 необходим кроме отделов, посвященных итерации функций. Эти отделы носят обзорный характер.

§ 8 необходим.

§ 9 имеет специальный интерес и без особого ущерба может быть пропущен.

§ 10–13 необходимы.

§ 14 представляет самостоятельный интерес. Для понимания дальнейшего он не необходим, особенно отдел об интегральных инвариантах, который не излагается ни в одном из современных курсов. Но можно думать, что как раз этот параграф представит для студентов наибольший интерес, тем более, что он содержит довольно богатый материал для упражнений и небольших самостоятельных работ.

§ 15 и 16 неразрывно связаны друг с другом. Для дальнейшего в них необходимо только понятие импримитивности (п.п.15.1–15.5).

Материал § 17 входит в большинство современных курсов. Внесение или невнесение его в программу зависит от общего объема программы этого курса.

Глава IV интересна по методам и по приложениям. Я считаю целесообразным ввести в программу § 18. Общей же связи с дальнейшей теорией эта глава не имеет.

Главы V и VI содержат структурную теорию групп Киллинга–Картана–Вейля. Они могут быть полезны для аспирантов и научных работников, специализирующихся по теории непрерывных групп.

"Глава последняя" содержит краткий обзор результатов, не включенных в книгу. Кроме того, книга снабжена библиографическим обзором, а также алфавитными указателями литературы, терминов и авторов.

г.Казань, сентябрь 1936 г.

Об авторе

Чеботарев Николай Григорьевич

Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР (1929). В 1916 г. окончил Киевский университет. С 1927 г. — профессор Казанского университета. Лауреат Сталинской премии первой степени (1948), заслуженный деятель науки РСФСР и ТАССР. Награжден орденом Ленина и другими орденами и медалями. Добился создания при Казанском университете Научно-исследовательского института математики и механики (1934), который и возглавлял с 1935 по 1947 гг. Впоследствии институту было присвоено его имя.

Н. Г. Чеботарев является автором решения проблемы Фробениуса о бесконечности множества простых чисел, принадлежащих классам подстановок группы Галуа. Он также добился высоких результатов в области проблемы резольвент (эта проблема связана с решением алгебраических уравнений). Широкую известность получили его работы в области теории Галуа, групп Ли, теории диофантовых приближений, теории целых аналитических функций.