|
Содержание
Предисловие
В этой книге собраны и переведены все исследования по теории чисел и диофантову анализу великого французского математика Пьера Ферма (1601–1665). Именно эти исследования определили круг проблем и важные методы для их изучения на 200–250 лет вперед. Однако при жизни Пьер Ферма не сумел собрать свои исследования в единое произведение. Поэтому для восстановления наследия Ферма в интересующей нас области пришлось обращаться к следующим трем основным источникам: 1) письмам Ферма (их более 100); 2) замечаниям, сделанным им на полях "Арифметики " Диофанта (в дальнейшем – просто "Замечания"); 3) сочинению Жака де Бильи "Новое открытие в искусстве анализа", написанному им на основании писем Пьера Ферма, ("Doctrinae analyticae inventum novum", [4] и [3, т.III]; в дальнейшем – I.N.). Ферма вел обширную переписку со всеми известными математиками своего времени: Рене Декартом, Мареном Мерсенном, Этьеном и Блезом Паскалями, Христианом Гюйгенсом, Френиклем де Бесси, Дж.Валлисом и многими другими. В письмах обсуждались вопросы, относящиеся ко всем разделам математики XVII века, а также к механике и оптике. Для перевода мы отобрали письма и отрывки из них, относящиеся к теории чисел и диофантову анализу. Мы сохранили для удобства нумерацию писем, принятую в собрании сочинений Ферма [3], а также разбивку текста писем на пункты, предложенную П.Таннери. "Замечания" целиком посвящены теории чисел и диофантову анализу, и мы даем их полный перевод (с латыни). Наконец, в I.N. изложены методы Ферма для нахождения рациональных решений неопределенных уравнении и систем таких уравнении, определяющих плоские и пространственные кривые рода I. До сих пор все переводы этого замечательного произведения делались по типу "пересказа": при переводе изменяли обозначения, исправляли допущенные де Бильи ошибки не оговаривая этого, дополняли неясные места. Так поступил в своем издании сочинений Ферма Поль Таннери [3, т.III], а также П.фон Шевен, снабдивший латинский текст немецким переводом-пересказом. Мы приводим полный и точный перевод I.N., сохраняя символику автора и его несколько тяжеловесные обороты. Все переводы были сделаны Т.А.Бобровниковой. Исследования Ферма снабжены комментариями И.Г.Башмаковой и Т.А.Лавриненко. В частности, все комментарии к I.N. принадлежат Т.А.Лавриненко. Мы сохраняем обозначения Ферма, таблицу которых
приводим:
Несколько слов об изданиях наследия Ферма. При жизни Ферма из его теоретико-числовых изысканий была опубликована только его переписка с математиками Англии – Дж.Валлисом, В.Броункером и другими, которая известна под названием "Gommercium epistolicum" (1658 г.). Она была посвящена в основном исследованию и решению уравнения Пелля–Ферма. Эта переписка очень интересна, но она содержит главным образом письма английских математиков. Через 6 лет после смерти Ферма его сын Самюэль опубликовал "Арифметику" Диофанта с комментариями Баше де Мезириака и замечаниями Ферма [4]. В книгу были включены также некоторые письма Декарта к Ферма и полный текст I.N. Жака де Бильи. В 1679 г. Самюэль издал "Различные труды" (Varia opera) своего отца [1]. Он включил в книгу все письма Ферма, которые ему удалось найти. Наконец, в конце прошлого века известный французский историк математики Поль Таннери совместно с Шарлем Анри, проделав колоссальную работу по выявлению писем и рукописей Ферма, издал его собрание сочинений [3]. С этого издания и сделаны переводы в нашей книге. Исключение составляет I.N., копии латинского текста которого нам была любезно присланы профессором К.Скриба (ФРГ) и профессором Ж.Сезиано (Швейцария). Я пользуюсь случаем, чтобы выразить им мою глубокую благодарность. Заметим еще, что Ферма имел обыкновение повторять по несколько раз постановку тех проблем, которые он считал особенно важными. Поэтому мы будем встречать одни и те же проблемы в различных письмах, в замечаниях, а иногда и в I.N. Мы решили оставить эти повторения, поскольку они показывают, когда впервые была поставлена та или иная задача, как долго занимался ею Ферма, в связи с какими другими задачами он ее ставил перед своими корреспондентами. Поскольку сохранилось только одно теоретико-числовое доказательство Ферма, то любая деталь, связанная с его проблемами, имеет большое значение. Все сноски, кроме тех, в которых указан автор, сделаны комментаторами. В заключение я хочу горячо поблагодарить И.Р.Шафаревича за большую и многостороннюю помощь при работе над этой книгой. Я благодарю А.И.Лапина за его помощь при составлении комментариев, а также Г.С.Смирнову за то содействие, которое она оказала мне при оформлении рукописи. Я хочу особо отметить большую работу А.Ф.Лапко, которая далеко выходит за рамки простого редактирования, и выразить ему искреннюю благодарность. И.Башмакова
Из введения
"Учение о целых числах есть законное наследство Арифметики, которое она и требует себе, – писал Пьер Ферма во Втором вызове математикам (письмо LXXXI),оно было лишь слегка очерчено в "Началах" Евклида и недостаточно развито его последователями (если только оно не скрыто в тех книгах Диофанта, которые уничтожило жестокое время), поэтому дети Арифметики должны стремиться развить или воскресить его". Честь заложить основы Арифметики Нового Времени и выпала на долю самого Ферма. Он сумел из нагромождения больших и малых задач, занимательных задачек, множества вопросов о числах выбрать именно те проблемы, которые стали ведущими на протяжении более двух столетий, а исследование их привело к созданию грандиозного здания современной теории чисел. О жизни Ферма мы знаем мало. Он родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, расположенном вблизи от Тулузы. Его отец – Доминик Ферма – был "вторым консулом", т.е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: "Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона". Мать Пьера – Клер де Лонг – происходила из семьи юристов. Итак, Пьер Ферма принадлежал к третьему сословию, хотя впоследствии он приобрел право прибавлять к своей фамилии частицу "де". Доминик. Ферма дал своему сыну солидное образование. Пьер прекрасно владел латинским, греческим, испанским и итальянским языками. Сохранились его стихи на латинском, французском и испанском языках, написанные "с таким изяществом, как если бы он жил во времена Августа и провел большую часть своей жизни при дворе Франции или Мадрида". Пьер Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались по поводу трудных мест при издании греческих классиков, и многие испорченные тексты он сумел расшифровать и восстановить. По общему мнению современников, он мог бы составить себе имя в области греческой филологии. Но Ферма направил всю силу своей богато одаренной натуры на математические исследования. Однако математика не стала его профессией. В то время лишь очень немногие могли посвятить себя целиком науке; так, Франсуа Виет был юристом и советником французских королей, Рене Декарт – офицером, Мерсенн и Кавальери – монахами. Ферма избрал юриспруденцию. Он изучил право, ему была присуждена степень бакалавра, и с 1631 г. он становится советником Парламента (т.е. Суда) Тулузы. В том же "Похвальном слове" говорится, что Ферма "славился, как один из лучших юристов своего времени". В 1631 г. Пьер женился на своей дальней родственнице по материнской линии – Луизе де Лонг. У него было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым изданием "Замечаний к "Арифметике" Диофанта", а также "Собраний сочинений Ферма". К сожалению, Самюэль не оставил никаких воспоминаний об отце, поэтому о характере Ферма можно судить только по его письмам. Скончался Пьер Ферма 12 января 1665 г. во время одной из деловых поездок. Исследования Ферма охватывают все области математики его времени: он занимался задачами нахождения касательных и экстремумов, для решения которых дал единый общий метод, вопросами определения площадей и объемов, центров тяжести и длин дуг и при этом подошел к общему понятию интеграла, он был одним из создателей аналитической геометрии, одним из основателей теории вероятностей, он занимался комбинаторикой и составлением магических квадратов, наконец, механикой и оптикой, где ему принадлежит знаменитый принцип распространения света в неоднородной среде. Но любимым его детищем была арифметика, или теория чисел. Если вышеперечисленные области были в центре внимания математиков его времени: Р.Декарта, Б.Паскаля, Дж.Валлиса, Б.Кавальери, Э.Торричелли и др., то теория чисел была во многом его творением, и это он привлекал к ней внимание и старался заинтересовать математиков ее проблемами. Мы уже писали (см. предисловие), что основными источниками для знакомства с творчеством Ферма являются 1) письма, 2) "Замечания" и 3) I.N. Мы постараемся коротко охарактеризовать их. Все три источника связаны между собой самым тесным образом: решение многих задач, поставленных в "Замечаниях", находится в I.N., а вопросы, которые Ферма ставил перед своими корреспондентами в письмах, освещаются в "Замечаниях" или в I.N. Это переплетение задач и методов настолько сложное и прочное, что трудно рассматривать названные источники в отдельности. Мы полагаем, что любому историку науки, который заинтересуется творчеством Ферма или какой-либо частью его, придется обязательно пользоваться всеми тремя. При этом в "Замечаниях" Ферма ближе всего следует тематике Диофанта, развивая и дополняя его задачи, приемы и методы. Размышление над "Арифметикой", по-видимому, впервые привело Ферма к постановке отрицательных проблем. Именно здесь он сформулировал свою Великую теорему и записал ее доказательство для случая п = 4. Это – единственное теоретико-числовое доказательство, которое от него сохранилось, хотя из его переписки видно, что он неоднократно посылал доказательства теоретико-числовых теорем своим корреспондентам. Но, увы, ни одно из них до сих пор не найдено. Переписка Ферма очень обширна, причем корреспондентами его были все выдающиеся математики его времени. В письмах Ферма решает задачи, посланные ему, и ставит перед своими корреспондентами новые вопросы. Часто он повторяется. Некоторые излюбленные проблемы повторяются по пять–шесть раз. Иногда он разъясняет проблемы, поясняет, следует ли искать решение в области целых или рациональных чисел. Именно в письмах была сформулирована Малая теорема Ферма, рассмотрен вопрос о виде чисел, представимых квадратичными формами. Об авторе
 Ферма Пьер Выдающийся французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел. Родился в г. Бомон-де-Ломань, недалеко от Тулузы, в семье чиновника. Получил домашнее образование. Изучал право в Тулузе, Бордо и Орлеане, состоял на государственной службе. В 1631 г. стал советником парламента Тулузы.
Научные исследования Ферма охватили почти все области математики его времени. Он заложил основы аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей. Ферма занимался задачами нахождения касательных и экстремумов, определения площадей и объемов, проблемами механики и геометрической оптики, где ему принадлежит основной принцип распространения света в неоднородной среде. Но наибольшую известность ему принесли работы по теории чисел, где с его именем связаны две знаменитые теоремы: малая теорема Ферма и великая теорема Ферма. При жизни результаты исследований Ферма становились известны ученым благодаря переписке и личному общению, а после смерти большинство из работ было издано его сыном. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||