Фок В.А.Ак★★ Работы по квантовой теории поля

Содержание

Предисловие

В настоящем сборнике помещены работы акад. В.А.Фока по вторичному квантованию и квантовой электродинамике, выполненные им в 1928–1937 гг.

Квантовая теория поля является одним из основных разделов современной теоретической физики. Квантовая теория поля – это теория элементарных частиц. Значение квантовой теории поля особенно возросло после объяснения квантовой электродинамикой сдвига уровней атомных электронов и дополнительного магнитного момента электрона. В ряде работ, опубликованных в 1949–1954 гг., квантовой электродинамике была придана релятивистская форма и были разработаны методы, позволяющие вычислять средние значения физических величин и вероятности переходов в любом приближении теории возмущений. Методы, развитые в квантовой электродинамике, были перенесены в теорию мезонного поля.

Однако в современной квантовой теории поля имеются еще серьезные трудности. Еще до сих пор не выяснен вопрос о сходимости последовательности приближений теории возмущений. В квантовой теории поля отсутствуют методы решения уравнений без применения теории возмущений, что особенно важно в случае мезонного поля. Более того, в последнее время выявилась невозможность провести последовательно перенормировку даже в случае квантовой электродинамики. В мезонной теории еще не удалось добиться количественного согласия с опытом. Поэтому проблемы квантовой теории поля сейчас весьма актуальны.

Публикуемые в настоящем сборнике работы акад. В.А.Фока внесли большой вклад в развитие квантовой теории ноля. Эти работы входят в число работ, составляющих "основной фонд" квантовой теории поля. Любопытно отметить, что идеи и методы, разработанные акад. В.А.Фоком в этих статьях, стали особенно широко применяться в последнее время, т.е. спустя двадцать лет после их создания.

Между тем многие статьи акад. В.А.Фока по вторичному квантованию и квантовой электродинамике, которые печатались в свое время в различных журналах, стали теперь библиографической редкостью.

Поэтому было сочтено целесообразным издать сборник работ акад. В.А.Фока по вторичному квантованию и теории поля, чтобы сделать их доступными для всех читателей, интересующихся этими вопросами.

Рассмотрим кратко работы, помещенные в настоящем сборнике в плане развития квантовой теории поля за время, истекшее с момента их опубликования.

В работе "Вторичное квантование и конфигурационное пространство" (1932 г.) последовательно выводятся основные соотношения метода вторичного квантования и развивается метод конфигурационного пространства для систем с переменным числом частиц. Уравнение Шредингера для функционала состояния взаимодействующих полей в таком методе конфигурационного пространства эквивалентно бесконечной системе "зацепляющихся" уравнений для функций, описывающих состояние поля с определенным числом частиц. При этом времена всех частиц считаются одинаковыми. В некоторых зарубежных работах этот метод называется методом рассмотрения системы в "пространстве Фока" (Fock Space).

В этой работе также впервые представлено изменение волновых функций с течением времени при помощи унитарного преобразования. Кроме того, в работе впервые установлена связь между оператором Гамильтона и оператором унитарного преобразования от одного момента времени к другому.

Следует отметить, что в работе "Вторичное квантование и конфигурационное пространство" было дано первое ясное и последовательное изложение метода вторичного квантования и его связи с квантовой механикой системы частиц в конфигурационном пространстве. До появления этой работы связь вторичного квантования с обычной квантовой механикой не была ясна, и, например, в некоторых работах предполагалось, что метод вторичного квантования выходит за рамки квантовой механики. Статья "Вторичное квантование и конфигурационное пространство" может служить основным пособием для изучающих вторичное квантование. В течение почти пятнадцати лет со дня опубликования этой статьи развитый в ней метод рассмотрения систем с переменным числом частиц в конфигурационном пространстве в теории поля не применялся. В последнее время в связи с трудностями, вызванными неприменимостью теории возмущений для мезонного поля, этот метод стал широко применяться для расчетов в теории мезонного поля.

Эта работа является также важным этапом в создании В.А.Фоком метода функционалов.

Обобщение метода конфигурационного пространства в духе современной инвариантной теории поля было предложено в ряде работ [1–3] 1953–1954 г. В этих работах вместо последовательности волновых функций, каждая из которых описывает систему из определенного числа частиц с одинаковыми временами, вводятся волновые функции аналогичного типа, но со своим временем для каждой частицы.

В работе "К теории позитронов" (1933 г.) кратко сформулирован метод рассмотрения позитронов во вторичном квантовании.

Независимо от В.А.Фока в 1934 г. Дираком [4] был опубликован аналогичный метод. Этот метод, развитый в дальнейшем Гейзенбергом [5], известен под названием метода "матрицы плотности".

В настоящее время результаты работы сохраняют свое значение, хотя теперь они обычно выводятся иным образом – из требования зарядовой симметрии теории.

В работах В.А.Фока "К электродинамике Дирака" (1932 г.), "О квантовании электромагнитных волн и взаимодействии зарядов в теории Дирака" (1932 г.), "Вывод формулы Меллера из теории Дирака" (1932 г.), написанных совместно с Б.Подольским, для случая трехмерного движения развивается идея Дирака о том, что кулоновское взаимодействие должно появляться в результате исключения продольного электромагнитного поля. (В статье [6] Дирак пояснил эту идею лишь на примере движения в одном измерении.) Работы В.А.Фока и Б.Подольского вводят в цикл работ, который завершился созданием многовременного формализма Дирака – Фока – Подольского, изложенного (1932 г.) в заключительной статье цикла "О квантовой электродинамике".

Многовременный формализм Дирака – Фока – Подольского представляет собой релятивистски инвариантную форму квантовой электродинамики. Каждой частице в многовременном формализме приписывается свое время, отдельное время сопоставляется также электромагнитному полю. Уравнение Максвелла в многовременном формализме обобщается на случай, когда времена электронов не равны времени поля.

Обобщением многовременного формализма на случай, когда оба поля – электромагнитное и электронно-позитронное-считаются квантованными, явился сверхмноговременный формализм, предложенный в 1946–1948 гг. Томонагой [7] и Швингером [8]. В сверхмноговременном формализме каждой точке пространства сопоставляется свое время. Следует отметить, что применение сверхмноговременного формализма предполагает решение задачи по теории возмущений и связано с громоздкими вычислениями.

Три статьи "Обобщение и решение дираковского статистического уравнения" (1928 г.), "О квантовой электродинамике" (1934 г.) и "Метод функционалов в квантовой электродинамике" (1937 г.) составляют цикл работ, в которых развит метод функционалов Фока.

В первой из перечисленных работ В.А.Фок разрабатывает идею об описании системы с неопределенным числом частиц с помощью производящей функции вместо бесконечной последовательности волновых функций, каждая из которых относится к системе определенного числа частиц. В окончательном виде с приложением к квантовой электродинамике эта идея получила воплощение во второй, основной статье. (Поправки к первой статье, напечатанные отдельно, при переводе были внесены в текст.)

В методе функционалов состояние поля бозе-частиц описывается в представлении, где диагональны операторы рождения бозе-частиц, а операторы поглощения выражаются посредством функциональной производной по собственному значению оператора рождения. Волновая функция поля (функционал состояния) разлагается по собственным функциям оператора числа частиц. Так как такими функциями являются любые произведения операторов рождения, действующих на функционал вакуума, то это разложение представляет собой функциональный степенной ряд, а сам функционал в таком представлении является производящей функцией для амплитуд вероятности состояний поля с определенным числом частиц. Эти амплитуды могут быть найдены из системы, аналогичной бесконечной системе "зацепляющихся" уравнений метода конфигурационного пространства (см. статью "Вторичное квантование и конфигурационное пространство").

Метод функционалов Фока представляет собой совершенно строгую формулировку теории взаимодействия с полем бозечастиц. Метод функционалов применялся неоднократно для решения конкретных задач.

После создания инвариантной теории S-матрицы и метода устранения бесконечностей с помощью перенормировки массы и заряда, метод функционалов Фока был приведен к ковариантному виду, согласующемуся с теорией позитрона и не содержащему расходящихся выражений.

Подробное изложение современного состояния метода функционалов имеется в обзоре [9]. Метод функционалов Фока кратко изложен в 3-м издании "Квантовой механики" Дирака.

Идея о производящем функционале получила значительное развитие в последние годы. В своем методе функционалов В.А.Фок развил эту идею, выбрав в качестве основных функций, описывающих поле, последовательность амплитуд вероятности в конфигурационном пространстве. Однако, разумеется, кроме амплитуд вероятности можно построить последовательности функций другого типа, позволяющих полностью описать поле. Такими функциями являются, например, T-функции, фейнмановские амплитуды и т.д. Вместо бесконечной последовательности этих функций так же, как и в методе функционалов Фока, мы можем характеризовать состояние (или переходы между состояниями) одной величиной – производящим функционалом. Производящие функционалы для T-функций и фейнмановских амплитуд и р-функций являются функционалами от внешних источников полей. Трактовка с внешними источниками была предложена Швингером [10]. В отличие от функционалов Фока, которые зависят от функций векторного аргумента, функционалы внешних источников зависят от функций пространственно-временной точки.

Идеи метода функционалов Фока использованы и в пространственно-временной трактовке квантовой теории поля – см., например, обзор [10]. Понятие о производящем функционале будет иметь важное значение и в будущей теории, свободной от недостатков современной квантовой теории поля. Действительно, и в будущей теории поля будет, очевидно, сохранен корпускулярный аспект. А это значит, что поле придется по-прежнему описывать бесконечной последовательностью функций, зависящих от переменных определенного числа частиц, и что по-прежнему вместо этой последовательности можно будет воспользоваться производящим функционалом.

Отдельное место занимает работа "Собственное время в классической и квантовой механике" (1937 г.). В ней излагается новый метод решения уравнения Дирака с электромагнитным полем, основывающийся на введении в уравнение Дирака нового параметра, который имеет смысл собственного времени. Значение этого метода было понято только в 1950–1952 гг., после того, как была создана ковариантная формулировка квантовой теории поля.

В методе собственного времени Фока решение уравнения Дирака представляется в виде контурного интеграла по собственному времени. Как известно, собственное время является инвариантом. Это обстоятельство важно для современной квантовой теории поля, где релятивистская инвариантность является одним из главных требований. Например, для однозначного выделения расходимостей тока собственной энергии и поляризации вакуума необходимо, чтобы эти расходимости содержались в интегралах, не зависящих от системы координат и калибровки потенциалов (метод регуляризации). Поэтому применение метода собственного времени дает автоматически однозначные результаты, если только интегрирование по собственному времени проводится в конце вычислений [11].

Метод собственного времени был использован также для рассмотрения проблемы градиентной инвариантности [11] и определения "позитронной" функции Грина для уравнения Дирака [12]. Развитый в работе Швингера [11] метод собственного времени был использован для вычислений некоторых радиационных поправок и функций Грина.

Выше мы перечислили основные применения и обобщения методов, разработанных акад. В.А.Фоком во вторичном квантовании и теории поля. Но развитые методы настолько общи, что они использовались ранее и могут с успехом применяться в будущем и в других областях теоретической физики – там, где рассматриваются системы многих частиц или систем с переменным числом частиц, например в теории твердого тела.

От автора

Настоящий сборник моих работ 1928–1937 гг. по квантовой теории поля выпущен по инициативе сотрудников кафедры теоретической физики Ленинградского университета. Особенно деятельное участие в выпуске сборника принял Ю.В.Новожилов, который написал и предисловие к нему. Переводы работ, первоначально опубликованных на иностранных языках, выполнены М.Г.Веселовым (работа 2), Ю.Н.Демковым (работа 1), Г.Ф.Друкаревым (работы 4 и 5) и А.В.Тулубом (работы 3, 6 и 8). (Номера работ указаны по списку на стр.158.) Все переводы просмотрены автором.

Всем сотрудникам кафедры теоретической физики ЛГУ, принимавшим участие в переводах и проявившим инициативу в издании книги, а также директору Физического института ЛГУ С.Э.Фришу и ректору ЛГУ А.Д.Александрову, поддержавшим эту инициативу, автор приносит свою глубокую благодарность.

Об авторе

Выдающийся отечественный ученый, классик теоретической физики XX века. Академик АН СССР. Родился в Петербурге. В 1922 г. окончил Петроградский университет. В разные годы работал в Государственном оптическом институте, в Физическом институте АН СССР, в Институте физических проблем АН СССР. С 1932  г. профессор Ленинградского государственного университета и член-корреспондент АН СССР, с 1939 г. – академик. Член ряда академий наук и научных обществ. Удостоен многих национальных и международных наград. Лауреат Государственной премии СССР (1946) и Ленинской премии (1960).

Основные научные достижения В. А. Фока получены в области квантовой механики, квантовой теории поля, теории многоэлектронных систем, статистической физики, распространения радиоволн, теории дифракции, математической физики, теории гравитации, теории относительности и др. В 1926 г. он дал скалярное релятивистское обобщение уравнения Шредингера (получившее название уравнения Клейна–Гордона–Фока); в 1927 г. решил задачу о тепловом пробое диэлектриков; в 1930 г. рассмотрел уравнение самосогласованного поля в квантовой теории многоэлектронных систем с учетом принципа Паули и разработал приближенный метод его описания и расчета (метод Хартри–Фока). Ему принадлежит вывод приближенных уравнений движения системы тел в рамках теории тяготения А.Эйнштейна. Им был выполнен ряд фундаментальных исследований по теории распространения радиоволн, а также работы по методологическим вопросам квантовой механики и теории относительности.