КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Деза Е.И. Специальные комбинаторные числа: От чисел Стирлинга до чисел Моцкина: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи)
Id: 200714
 
899 руб.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА: От чисел СТИРЛИНГА до чисел МОЦКИНА: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи)
Специальные комбинаторные числа: От чисел Стирлинга до чисел Моцкина: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи)

URSS. 2018. 504 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-4420-8.

Данное пособие содержит подробное строгое изложение основ теории классических комбинаторных чисел: элементов треугольника Паскаля, чисел Стирлинга, чисел Белла, чисел Каталана, чисел Бернулли и чисел Эйлера, а также обзор некоторых других, менее известных классов специальных чисел, имеющих естественные связи с комбинаторным анализом: чисел Деланноя, чисел Шредера, чисел Моцкина, чисел Ла, чисел Нараяны, чисел Геноччи и др. В нем изложена история возникновения и основные этапы исследования указанных классов чисел, представлены доказательства большинства классических утверждений, связанных с изучаемыми объектами, рассмотрен ряд их менее известных (но зачастую не менее интересных) свойств и практических приложений. Каждая глава, посвященная тому или иному классу чисел, построена по единой схеме: история вопроса; определение объекта в контексте его комбинаторной природы; комбинаторные задачи, приводящие к появлению данного числового множества; рекуррентное соотношение, явная формула и производящая функция для рассматриваемой последовательности; простейшие свойства; теоретико-числовые свойства; многочлены, связанные с изучаемыми числами.

Помимо теоретической части каждый раздел содержит обширный список задач, от простейших до весьма сложных. Решение их, несомненно, может послужить толчком к самостоятельным научным исследованиям в соответствующей области; относительная молодость и новизна существующих комбинаторных методов позволяет выйти на уровень, достаточный для начала самостоятельных исследований, значительно быстрее, чем при изучении классических разделов математической науки, что особенно значимо для молодых ученых.

Темы, связанные с числовыми объектами, отличают прозрачность и естественность определений и простейших результатов, облегчающие первоначальное знакомство с предметом и поддерживающие интерес к нему. Простота формулировок, непосредственная связь с элементарной математикой, глубокие исторические корни в сочетании с богатством, фундаментальностью и разнообразием математического содержания, опирающегося на весь аппарат классической математической науки, позволяют использовать элементы теории специальных комбинаторных чисел в качестве одного из наиболее продуктивных источников для построения новых математических курсов.

Пособие предназначено для преподавателей и студентов высших учебных заведений, прежде всего их математических факультетов, учителей профильной школы, старшеклассников, интересующихся арифметическими проблемами, всех, кого привлекает красота и многовековая история дискретной математики и теории чисел.


Оглавление
Список используемых обозначений6
Введение10
Глава 1.Предварительные сведения14
 1.1.Комбинаторные конфигурации14
 1.2.Метод включений и исключений21
 1.3.Бином Ньютона и полиномиальная теорема23
 1.4.Основные комбинаторные тождества25
 1.5.Рекуррентные соотношения26
 1.6.Производящие функции32
 1.7.Асимптотические формулы38
Глава 2.Треугольник Паскаля43
 2.1.История вопроса43
 2.2.Определение треугольника Паскаля45
 2.3.Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты51
 2.4.Явная формула для элементов треугольника Паскаля54
 2.5.Производящая функция последовательности элементов треугольника Паскаля57
 2.6.Простейшие свойства треугольника Паскаля58
 2.7.Теоретико-числовые свойства треугольника Паскаля67
 2.8.Многочлены, связанные с треугольником Паскаля79
 2.9.Треугольник Паскаля и другие специальные числа82
 2.10.Задачи, связанные с треугольником Паскаля96
Глава 3.Числа Стирлинга102
 3.1.История вопроса102
 3.2.Числа Стирлинга второго рода103
 3.3.Числа Стирлинга первого рода128
 3.4.Свойства, связывающие числа Стирлинга первого и второго родов155
 3.5.Теоретико-числовые свойства чисел Стирлинга159
 3.6.Многочлены, связанные с числами Стирлинга166
 3.7.Числа Стирлинга и другие специальные числа178
 3.8.Задачи, связанные с числами Стирлинга185
Глава 4.Числа Белла188
 4.1.История вопроса188
 4.2.Определение чисел Белла189
 4.3.Комбинаторные задачи, связанные с числами Белла193
 4.4.Явная формула для чисел Белла195
 4.5.Производящая функция последовательности чисел Белла196
 4.6.Простейшие свойства чисел Белла198
 4.7.Теоретико-числовые свойства чисел Белла205
 4.8.Многочлены Белла209
 4.9.Числа Белла и другие специальные числа211
 4.10.Задачи, связанные с числами Белла215
Глава 5.Числа Каталана218
 5.1.История вопроса218
 5.2.Определение чисел Каталана219
 5.3.Комбинаторные задачи, приводящие к числам Каталана220
 5.4.Явная формула для чисел Каталана230
 5.5.Производящая функция последовательности чисел Каталана231
 5.6.Простейшие свойства чисел Каталана234
 5.7.Теоретико-числовые свойства чисел Каталана240
 5.8.Многочлены, связанные с числами Каталана242
 5.9.Числа Каталана и другие специальные числа246
 5.10.Задачи, связанные с числами Каталана250
Глава 6.Числа Бернулли257
 6.1.История вопроса257
 6.2.Суммы k-х степеней и определение чисел Бернулли258
 6.3.Формула Бернулли: выражение суммы k-x степеней с помощью чисел Бернулли274
 6.4.Явная формула для чисел Бернулли284
 6.5.Производящая функция последовательности чисел Бернулли290
 6.6.Простейшие свойства чисел Бернулли293
 6.7.Теоретико-числовые свойства чисел Бернулли304
 6.8.Аналитические свойства чисел Бернулли316
 6.9.Многочлены Бернулли323
 6.10.Числа Бернулли и другие специальные числа333
 6.11.Задачи, связанные с числами Бернулли342
Глава 7.Числа Эйлера348
 7.1.История вопроса348
 7.2.Определение чисел Эйлера348
 7.3.Комбинаторные задачи, приводящие к числам Эйлера352
 7.4.Явная формула для чисел Эйлера356
 7.5.Производящая функция последовательности чисел Эйлера358
 7.6.Свойства чисел Эйлера359
 7.7.Многочлены, связанные с числами Эйлера367
 7.8.Числа Эйлера и другие специальные числа370
 7.9.Задачи, связанные с числами Эйлера378
Глава 8.Другие специальные комбинаторные числа380
 8.1.Числа Деланноя380
 8.2.Числа Шредера385
 8.3.Числа Моцкина387
 8.4.Числа Ла390
 8.5.Числа Нараяны393
 8.6.Числа Геноччи397
Литература401

Об авторе
Деза Елена Ивановна
Доктор педагогических наук (2012), кандидат физико-математических наук (1993). В 1983 г. окончила математический факультет Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина (МГПИ), в 1992 г. — аспирантуру по кафедре теории чисел МГПИ (ныне — Московский педагогический государственный университет, МПГУ), в 2010 г. — докторантуру по кафедре теоретической информатики и дискретной математики МПГУ. С 1988 г. — преподаватель кафедры теории чисел математического факультета МПГУ, с 2006 г. — профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики математического факультета МПГУ. Область научных интересов: теория чисел, дискретная математика, дидактика высшей школы. Автор нескольких монографий, более 10 учебных и учебно-методических пособий, более 150 научных публикаций.