Пантаев М.Ю. Математический гербарий АБИТУРИЕНТА:
АЛГЕБРА во всем ее блеске и многообразии. Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие

"Но зато в искусстве предисловий мы в самое короткое время сделали столько успехов, что едва ли не обогнали на этом поприще все народы земного шара". (М.Е.Салтыков-Щедрин, "Скрежет зубовный". Цит. по: Эйхенбаум Б.М., "Маршрут в бессмертие".) Этого мало. "Я не люблю предисловий, в которых объясняется последующее содержание произведения. Чаще всего это бывает, когда последующего содержания нет. Надеюсь, что это не тот случай". (Д.Самойлов, "В кругу себя".)

Учитель Карл Иваныч из толстовского "Детства" заметил в грустную минуту, что из всех наших пороков самый ужасный – неблагодарность. Но как не впасть в него, если те, кого ты хочешь отблагодарить, волею судьбы удалены от тебя, ушли, и следы их потеряны? Кажется, есть только один способ – сделать кому-то, кто в этом нуждается, то, что когда-то сделали для тебя.

В жизни молодого человека неизбежно наступает день, когда ему приходится сдавать экзамен по математике. Можно ли помочь отроку пережить этот день, и не просто пережить, а более-менее успешно перейти в следующий? Т.е. сдать экзамен. Существует ли рецепт успеха?

По авторитетному мнению, экзамен – не что иное, как кодовый замок, и чтобы его открыть, нужно знать шифр. Но особенность данного замка в том, что шифров – много: не единственная последовательность (решенных задач) ведет к цели, а многие, и многие, и многие. Однако... У всех таких последовательностей есть нечто общее...

Не станем углубляться в рассуждения, нам предстоит иное – показать в действии только одну из этих бесчисленных последовательностей, а именно ту, что в свое время привела к цели нашего приятеля, "второклассника и второгодника" НН.

Был у него когда-то... не совсем правильно сказать: "репетитор"; ибо ни "повторением", ни "помощью в приготовлении домашних заданий" не занимался этот... едва ли "педагог", а скорее "вечный студент", знавший, по-видимому, некий, почти сократовский метод, направленный – в данном случае – на то, чтобы разъяснить отроку столь в общем-то обычную и не особенно интересную область, как абитуриентская математика. Он умел говорить об уравнениях так, словно речь шла по меньшей мере о квантовой механике, и это завораживало. В результате отрок взошел по той лестнице Ламарка, которую ему предложили, от простого к не очень и достиг... А заветную последовательность сохранил в памяти как гербарий, засушил лучшие образцы...

Конечно, книга не может заменить человека (как и человек – книгу), но она может попытаться донести его доступный дух. Мне бы хотелось воскресить его голос, толкующий – пусть! – о логарифмических уравнениях, раз не представился случай сказать о другом. Разумеется, я не помню всех примеров, которые он давал мне – поэтому пришлось добавить кое-что из собственного позднего опыта – примеры, которые, возможно, добавил бы и он, если бы был жив и учил меня сегодня, как тогда... А я склонялся над тетрадкой, как сегодня мои ученики склоняются над своими тетрадками.

Гербарий – это собрание с частичной упорядоченностью экспонатов по отделам. Упорядоченность нужна, она удобна, благодаря ей можно читать книгу с разных мест; но и – последовательность великая вещь, один неостановочный ход мысли. Возможность прочитать книгу, не переводя дыхания, – качество, ценимое марафонцами...

Гербарий – это опавшие листья, которые уже не дрожат на ветвях, которые уже никого не заставят содрогнуться. Но когда-то... они были во всей силе... Гербарий – еще и потому, что славные дни абитуриентской математики сочтены: ЕГЭ шагает победоносно. Что будет с приемными комиссиями, десятилетиями оттачивавшими свое мастерство на бедных абитуриентах? Но это не наша забота...

Данная книга не ставит своей целью подавить количеством (задач – разобранных и "предложенных" для самостоятельного решения). Она – всего лишь – приглашает не слишком усидчивого мученика науки к периодическим беседам при свете лампы – перед тем, как ему погрузиться в блаженный сон.

Чтобы извлечь пользу из хороших книг для поступающих, нужна прежде всего железная воля. Предлагаемая книга этого не требует. Она ищет собеседника, которого А.П.Чехов называл "широкой натурой", т.е. человека, который согласен послушать учителя – но лишь до того момента, когда ему не станет скучно. Тогда учителю надлежит уйти...

Всем понятно, что математике можно научиться, только решая задачи. Но книга, хотя бы и по математике, способна служить и целям чтения, а не только быть сборником задач.

Почему выбрана именно такая форма изложения, и какую пользу я принесу, если решу 1000 задач? Которые уже давно решены без меня? Кому нужны эти показательные выступления?

Но ведь сказано: "Каждый из нас есть то, что он читает" (И.Ильин, "Поющее сердце"). Решения нужны, чтобы ученик имел образец для подражания. Пусть видит, как задачи решаются, а не только ставятся. Покажем же. Больше решим сами, чем оставим бедному мученику... Да, решения невероятно увеличивают объем книги. Но как без них? Мне бы хотелось думать, что сей "Гербарий" абитуриент может взять с собой на дачу, чтобы почитывать при случае. И решения очень даже не помешают ему – хотя бы краткие. Читатель-абитуриент ждет, чтобы к нему отнеслись с пониманием, разобрали побольше примеров "очевидных", а не только "повышенной трудности". И попытка восполнить этот пробел породила настоящую книгу. Говоря словами М.Кучерской, это – текст для утешительного чтения. Ведь сборник задач хорошо читается лишь до тех пор, пока задачи получаются. У первой же нерешенной книга захлопывается навсегда: "Ах, так!.." И летит в печку...

Основная "смысловая нагрузка" ложится, таким образом, на примеры, разобранные в тексте. Но рано или поздно их обсуждение прекращается, чтобы продолжиться в другое время и в другом месте – на привале, где предлагается решить какое-то количество задач, к каждой из которых имеется ответ и более-менее подробные комментарии. (Всем знакомо это гадостное чувство: промучившись над задачей, заглядываем в конец книги, – а там даже ответа нет. Стараюсь не делать другим того, чего когда-то не хотел, чтобы делали мне.)

Да, здесь не идет речь о натаскивании: бойцовых псов и так предостаточно. "Встретились, поговорили..." – вот звон путеводной ноты. Если в результате разумный отрок окажется у дверей вуза, это совсем не так плохо. Надеюсь...

К середине 11 класса учащемуся становится ясно: дорога в рай – это дорога в вуз. Хотел бы я, чтобы моя книга попала к такому читателю: я не обману его ожидания, я сам в детстве так же смотрел на книги для поступающих.

"Гербарий" состоит из нескольких разделов, но деление в большой степени условно, поскольку никто не пытается строго классифицировать задачи по темам. Главное – мышление. Ведь благое намерение последовательного изучения какого-либо раздела математики часто разбивается о камень, называемый "единством всего сущего": в процессе решения тригонометрическое уравнение, к примеру, иной раз сводится к системе таких уравнений, а система – к тригонометрическому неравенствупоправлено, проверьте. И какой же из этих трех разделов изучать первым? Поэтому мы не столько "проходим" материал, сколько просто решаем задачки, для удобства отнесенные к тому или иному разделу, и обсуждаем мелочи абитуриентской жизни. Но нам на первых же страницах может понадобиться что угодно – и нужное привлекается в предположении, что читатель уже всё знает (хотя и подзабыл). Т.е. ему дается возможность повторить известное. Да, по-видимому, пособие предназначено для повторения. И поэтому я исправляю название книги: Математический гербарий абитуриента старшего возраста. Так что, если в разделе, посвященном алгебраическим уравнениям, читатель вдруг столкнется с необходимостью решать неравенства, которые он еще не повторял (увы) и забыл, он может либо перескочить через непонятное место туда, где повествование движется более линейно, либо (что разумнее) вспомнить, как решаются неравенства (и для этого, скажем, заглянуть в соответствующий параграф). Ведь времени до экзаменов осталось так мало! То же касается и тригонометрии с логарифмами, которые возникают и в §§3–4, задолго до того, как их объявят законным порядком.

Возможно, кому-то покажется, что отдельные решения грешат длиннотами или нерациональны. Это требует разъяснений. При написании книги рано или поздно начинаешь представлять себе предполагаемого читателя. И кто он, читатель "Гербария"? Нет, это не "человек-машина", способный сразу увидеть идею решения любой задачи. Нет. Но это и не абсолютный "чайник", который не знает, что такое однородное уравнение. Мой читатель – честный человек: он знает то, что положено знать ученику, изучавшему математику в школе. И поэтому я смотрю на задачу глазами такого ученика, т.е. пытаюсь найти честное решение, пусть и не всегда самое короткое. Разумеется, если это честное решение оказывается очень громоздким, я думаю, можно мягко указать и на более рациональное. Но принцип: "Элементарно, Ватсон!" заведомо не был руководящим... в принципе. Я пытался показывать, как можно было бы решать задачу; не в том состояла цель, чтобы максимально кратко изложить решение, до которого додуматься мог только ее составитель или будущий лауреат.

Так, в конце каждого раздела подробно разбирается несколько задач с параметром. Конечно, читать их решения скучновато, но желающий самостоятельно написать подобный текст на экзамене должен иметь в виду, что, скорее всего, у него получится нечто в том же роде. Мы далеки еще от того идеала, – решение в две строчки – которого ждут приемные комиссии. Каждый, кто проверял ребяческие тетрадки, знает, какой длины решения бывают, сколь они еще "нерациональны", хоть мы и бьемся над этим...

И все же: для кого эта книга? Почему я пишу ее? Трудно объяснить. Если бы я был Довлатовым... Помните?..

"Горбовский, многодетный отец, рассказывал: – Иду вечером домой. Смотрю – в грязи играют дети. Присмотрелся – мои..."

Не гоже представлять книгу по математике как некий священный текст, чтение которого – залог вечного блаженства. С другой стороны, абитуриент, по самой сути своей, это человек, который надеется и верит. И поэтому, скорее всего, будет обманут. Нет, книга – это некий вадемекум и ничего больше: т.е. путеводитель, предполагающий, что читатель одновременно и "шагатель", что он будет и ногами двигать (т.е. мозгами), иначе красоты, о которых рассказывает гид, так и останутся для него только на бумаге.

Большинство задач, разбираемых в книге, когда-либо предлагалось на каких-либо экзаменах. Однако ни один конкретный вуз не был выбран в качестве единственного поставщика. На то он и "Гербарий", его принцип – "понемногу отовсюду".

Учителя нередко употребляют в своей речи выражения: "красивая задача", "интересная задача"... Но встанем на место ученика: способен ли он оценить красоту и интерес задачи, которая занесена над ним как топор? Едва ли. Поэтому в данном сборнике попадаются и задачи "с изюминкой", не обагренные кровью младенцев, т.е. не предлагавшиеся на экзаменах, хотя по тематике – подходящие; они служат делу подогревания интереса.

Возможно, кому-то покажется "случайным" подбор примеров; на это трудно что-либо возразить: если бы существовал некий "неслучайный", теоретически выверенный набор необходимого, он, без сомнения, давно вошел в интеллектуальную копилку абитуриента, и никаких новых книг по данной тематике не появлялось, а их авторам пришлось искать себе иные пастбища для пропитания. Но поелику этого еще нет...

Так называемые "нестандартные задачи" не выделяются в отдельный раздел и вообще никак не отмечаются: ученику нет дела до нашей классификации; чего он не знает, то и есть для него нестандартная задача. Методы решения – дело другое, их можно и нужно выделять и обсуждать. И тогда то, что вчера было нестандартным, становится стандартным с накоплением опыта.

Оглядываясь назад, приходится признать, что принцип неуклонного возрастания сложности (внутри параграфов и тем более в книге в целом), хотя и выдерживается, где возможно, но не подчиняет себе всё. Гербарий собирается последовательно, и то, что было сочтено достойным экспонатом, уже не перемещается со своего места.

Суровые условия книгопечатания, а также то, что автор книги, как правило, переполнен материалом, как пчела, собравшая слишком много меду, – причины того, что: 1) примеры для упражнений почти не дублируют материал основной части параграфов; 2) у данной книги есть и полный вариант (примерно в 1,5 раза больший), непосильный печатным станкам. Он имеется в электронном виде.

В книге нет геометрии. Почему? Разве она не нужна поступающим? Попробую ответить. Геометрии нет, прежде всего, наверное, потому, что Геометрия – искусство слишком высокое, чтобы заниматься им второпях, как это неизбежно при подготовке к экзаменам. Если уж абитуриенту посчастливилось познакомиться с геометрией достаточно близко, это останется с ним надолго. Кроме того, достаточно трудно было бы держаться невидимой линии, отделяющей геометрию, так сказать, абитуриентскую, от геометрии вообще. А ограничиваться какими-либо "типовыми задачами" не хотелось. Не говоря уже про объем сего "Гербария", который и без того получился немалый. Итак, за геометрией надо отправляться к И.Ф.Шарыгину и его ученикам. В добрый путь!

Заканчиваю вступление словами "отца географии" Страбона: "Если и я решил писать о предмете, который многие уже разрабатывали до меня, то я вовсе не заслуживаю порицания, если не докажу, что изложил предмет в той же манере, как и мои предшественники... И если я смогу прибавить даже немногое к сказанному ими, то это должно считаться достаточным оправданием моего начинания". Остается только добавить: воистину так!

Об авторе

Пантаев Михаил Юрьевич

Profesor de matemáticas, ejerce su labor en Moscú. Terminó la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Sus intereses científicos están relacionados con la enseñanza de las matemáticas a estudiantes de facultades no matemáticas. Autor del tomo de dos volúmenes «Análisis matemático con rostro humano o cómo sobrevivir después del paso al límite. Curso completo de análisis matemático» (Moscú: URSS) y el libro de texto «Herbario matemático del futuro estudiante: el álgebra en todo su esplendor y diversidad» (Moscú: URSS). Asimismo ha publicado numerosos libros de texto para alumnos de la escuela, así como para estudiantes, artículos dedicados al problema de la enseñanza matemática y otros trabajos sobre temas de actualidad.