URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Фиников С.П. Теория поверхностей
Id: 198751
 
449 руб. Бестселлер!

Теория поверхностей. Изд.4, перераб., испр.

URSS. 2016. 304 с. Твердый переплетISBN 978-5-9710-2292-3.

 Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга известного отечественного математика С.П.Финикова (1883--1964), посвященная теории поверхности --- наиболее простого и осязаемого объекта дифференциальной геометрии. Первая глава отводится теории кривых; далее с самыми элементарными сведениями разбирается целый ряд наиболее известных поверхностей и ставятся основные задачи изгибания поверхности и конформного отображения; даются базовые уравнения теории поверхности и их приложение к основным задачам; в двух последних главах намечена теория конгруэнций и триортогональных систем. В конце каждой главы приведены задачи и упражнения, а в конце всей книги --- таблица основных формул.

Рекомендуется математикам --- научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам математических вузов.


 Оглавление

Предисловие
Глава первая. Кривые в пространстве
 I.Элементы первого порядка
  1.Определение кривой
  2.Касательная
  3.Длина дуги
 II.Элементы второго порядка
  4.Главная нормаль
  5.Сопровождающий трехгранник Френе
  6.Соприкасающаяся плоскость
 III.Элементы третьего порядка
  7.Движение трехгранника Френе
  8.Характеристика движения трехгранника Френе
  9.Кривизна и кручение
  10.Кривые Бертрана
  11.Натуральные уравнения кривой
  12.Винтовые линии
 IV.Развертывающиеся поверхности, связанные с кривой
  13.Огибающая семейства поверхностей
  14.Развертывающаяся поверхность
  15.Полярная поверхность
  16.Эволюты кривой
  17.Спрямляющая поверхность
 V.Соприкасающиеся поверхности
  18.Соприкасающаяся плоскость
  19.Соприкасающаяся сфера
  20.Формула для вычисления кручения кривой
 Упражнения
Глава вторая. Линейный элемент поверхности
 I.Элементы первого порядка на поверхности
  1.Криволинейные координаты на поверхности
  2.Касательная плоскость
  3.Линейный элемент поверхности
  4.Угол двух кривых на поверхности
  5.Площадь поверхности
 II.Примеры поверхностей
  6.Плоскость и сфера
  7.Поверхность вращения
  8.Катеноид
  9.Псевдосфера
  10.Линейчатая поверхность
 II.Налагающиеся поверхности
  11.Изгибание поверхностей
  12.Развертывающаяся поверхность
  13.Изгибание поверхностей вращения
  14.Изгибание шара
 IV.Конформное отображение
  15.Конформное отображение
  16.Конформное отображение поверхности вращения на плоскость
  17.Изотермическая система
  18.Линии нулевой длины
 Упражнения
Глава третья. Вторая квадратичная форма
 I.Нормальная кривизна кривой на поверхности
  1.Кривизна кривой на поверхности
  2.Нормальная кривизна кривой
  3.Индикатриса Дюпена
  4.Формула Эйлера
  5.Главные радиусы кривизны
 II.Трехгранник Дарбу
  6.Трехгранник Дарбу
  7.Кинематическое значение квадратичных форм Гаусса
  8.Сферическое изображение поверхности
  9.Кривизна поверхности
 III.Линии кривизны
  10.Линии кривизны
  11.Качение трехгранника Дарбу по поверхности центров
 IV.Сопряженные линии
  12.Сопряженные направления
  13.Поверхность, отнесенная к сопряженной системе
 V.Асимптотические линии
  14.Асимптотические линии
  15.Асимптотические касательные к поверхности
  16.Поверхность, отнесенная к асимптотическим линиям
  17.Формулы Лельевра
  18.Теорема Enneper'a
 VI.Добавление
  19.Проективное преобразование пространства
  20.Квадратичные формы поверхности
 Упражнения
Глава четвертая. Основные уравнения теории поверхности
 I.Уравнения Гаусса-Кодацци
  1.Основные уравнения в форме Дарбу
  2.Единственность поверхности с заданными инвариантами
  3.Определение конечных уравнений поверхности
  4.Определение трехгранника Дарбу по коэффициентам двух квадратичных форм
  5.Уравнения Кодацци
 II.Проблема изгибания поверхности
  6.Две задачи изгибания
  7.Теорема Гаусса
  8.Первая задача изгибания
  9.Поверхности постоянной кривизны
  10.Изгибание с одной твердой линией
  11.Изгибание с сохранением асимптотических линий одного семейств
  12.Изгибание с сохранением сопряженной системы
 III.Сферическое изображение поверхности
  13.Сферическое изображение и его линейный элемент
  14.Третья квадратичная форма Гаусса
  15.Поверхность с заданным сферическим изображением сопряженной системы
  16.Сферическое изображение асимптотических линий
  17.Примеры
 Упражнения
Глава пятая. Геодезические линии. Геометрия на поверхности
  1.Геодезические -- как линии постоянного направления на поверхности
  2.Уравнение геодезической линии
  3.Геодезическая линия как кратчайшее расстояние
  4.Теорема Дарбу
  5.Геодезические на поверхности вращения
  6.Развертывание линии на плоскость
  7.Геодезическое кручение
  8.Кривизна геодезического треугольника
  9.Геодезические круги Дарбу
  10.Геодезические эллипсы и гиперболы
  11.Теорема Якоби
  12.Поверхности Лиувилля
  13.Геометрия на псевдосфере
 Упражнения
Глава шестая. Минимальные поверхности
  1.Поверхности с наименьшей площадью
  2.Основные свойства минимальной поверхности
  3.Формулы Монжа
  4.Формулы Вейерштрасса
  5.Односторонние минимальные поверхности
  6.Изгибание минимальных поверхностей
  7.Формулы Шварца
  8.Следствие из формул Шварца
  9.Частные случаи
 Упражнения
Глава седьмая. Теория конгруэнции
  1.Линейчатая геометрия
  2.Конгруэнция кривых
  3.Конгруэнция прямых
  4.Фокусы луча
  5.Граничные точки луча
  6.Изотропная конгруэнция
  7.Нормальная конгруэнция
  8.Конгруэнция W
  9.Поверхности Вейнгартена
  10.Псевдосферическая конгруэнция
  11.Основные формы Санниа
 Упражнения
Глава восьмая. Триортогональная система поверхностей
  1.Криволинейные координаты в пространстве
  2.Теорема Дюпена
  3.Уравнение Ляме
  4.Теорема Лиувилля о конформном отображении пространства
  5.Теорема Дарбу
  6.Уравнения для семейства поверхностей Ляме
  7.Софокусные поверхности второго порядка
  8.Изотермическая система
 Упражнения
Таблица основных формул

 Предисловие

Дифференциальная геометрия родилась в работах Монжа и его учеников как приложение анализа к геометрии. Гаусс значительно раздвинул эти рамки. Введение криволинейных координат, основных квадратичных форм, сферического изображения поверхности создало тот фундамент, на котором могла свободно развиваться теория, изложенная в четырех томах курса Бианки. Изящный метод Дарбу много помог ее пышному развитию. Она значительно переросла замыслы Гаусса. Не только теория поверхности в тесном смысле слова, но и теория конгруэнции прямых, циклических систем или трижды ортогональных семейств поверхностей стала предметом исследования. Работами Вильчинского, Блашке, Фубини были созданы новые отрасли нашей науки -- афинная, проективная, конформная, дифференциальные геометрии. Идеи Римана и Картана еще раздвинули ее рамки вводя в круг исследования наиболее общее пространство, а гениальная мысль Эйнштейна по существу сделала всю физику одной из глав дифференциальной геометрии.

В этом блестящем развитии самый метод нашей науки не мог оставаться неизменным. От элементарных приемов Монжа, которые по существу были простым приложением аналитической геометрии, к теории квадратичных форм Гаусса, к исключительной по своей общности и силе символике тензорного анализа и абсолютному дифференцированию Риччи; от опирающегося на простейшие кинематические представления метода Дарбу и Рибокура к методу внешних форм и подвижной системы отнесения Картана, -- таков путь развития дифференциальной геометрии за сто с небольшим лет.

Это необычайное развитие метода, который в своих последних обобщениях представляет изумительно стройную и совершенную систему и сам по себе достоин изучения, эти поражающие успехи нашей науки таят в себе и некоторую опасность, по крайней мере для начинающих: аппарат исследования может в их глазах заслонить самый предмет изучения. Читая многие работы по дифференциальной геометрии и даже учебники, не сразу можно уловить, что дело идет об исследовании вещественных свойств окружающего мира, хотя бы и в идеальном представлении его.

Между тем дифференциальная геометрия есть все же геометрия; ее должно интересовать и интересует исследование простых или более глубоких свойств линий, поверхностей или более сложных образований вплоть до пространств Картана с кривизной и кручением.

Мне казалось поэтому полезным написать такую книгу по дифференциальной геометрии, где геометрическая сторона дела стояла бы на первом месте, а самый метод вводился бы постепенно, по мере надобности.

Из поставленной задачи вытекали и содержание, и выбранный метод, и самое расположение материала. Почти вся книжка посвящена теории поверхности, как наиболее простому и осязаемому объекту дифференциальной геометрии. Только первая глава отводится теории кривых, и в двух последних намечена теория конгруэнции и триортогональных систем. Основным методом избран кинематический метод Дарбу. Тут формулы более просты, и геометрическая сущность выступает с большей ясностью, -- только здесь, например, можно вывести основные условия совместности (уравнения Гаусса-Кодацци), не переходя на другой лист бумаги.

Я все же не решился совершенно исключить теорию квадратичных форм Гаусса и почти во всех основных вопросах провел параллельное изложение с помощью основных форм поверхности. Это было тем более необходимо, что только в свете гауссовой теории компоненты переноса и вращения Дарбу получают свое полное значение с точки зрения теории поверхности.

Чтобы сделать его еще более наглядным, метод Дарбу дан в векторных обозначениях. Векторная символика стала теперь обычным языком геометрии на Западе. Элементарные сведения основных операций над векторами и у нас достаточно распространены, но даже и отсутствие знакомства с векторами вряд ли явится препятствием к пониманию этой книги, -- настолько незначителен объем необходимых обозначений, которые, кстати, все объяснены в сносках.

Первая глава закончена сама в себе и может читаться отдельно. Со второй главы начинается теория поверхности. Здесь с самыми элементарными сведениями разбирается целый ряд наиболее известных поверхностей и ставятся основные задачи изгибания поверхности и конформного отображения. Не следует забывать, что большинство этих результатов было получено до того, как была построена общая теория, и что знание конкретных поверхностей и отдельных случаев изгибания составляет в такой же мере содержание дифференциальной геометрии, как и общие методы исследования.

В третьей главе вводятся вторая квадратичная форма Гаусса, компоненты движения трехгранника Дарбу и все те линии на поверхности, которые непосредственно с ней связаны, и только гл.IV -- основные уравнения теории поверхности и их приложение к двум основным задачам: задаче изгибания поверхности и задаче определения поверхности по ее сферическому изображению -- содержит изложение основной теории.

Для читателя, который хотел бы в немногих словах ознакомиться с теорией поверхности без всяких приложений, можно указать гл.II, отд.I; гл.III, отд.I и II, и гл.IV, отд.I.

Чтобы сделать еще более близкими те поверхности, которые мы изучаем, в конце книги приложена таблица фотографий.

Рисунки 2 и 10--14 заимствованы из книги Hilbert & Cohn Vossen "Anschauliche Geometrie", все остальные сняты с моделей кабинета математики Московского университета. Пользуюсь случаем выразить свою глубокую благодарность всем лицам, которые оказывали мне в этом содействие.

Несмотря на элементарность этой книжки, я думаю, что она может служить введением для чтения оригинальных мемуаров и даже для собственных исследований. Чтобы облегчить ее использование в этом направлении, в конце приведена таблица формул, а в конце каждой главы даны задачи и упражнения. Большинство из них отличается от оригинального исследования только тем, что ответ заранее известен. К ним можно было бы присоединить все те теоремы, приведенные в тексте, доказательство которых намечено более или менее сжато и требует от читателя самостоятельного проведения выкладок.

К сожалению, я здесь совершенно не мог коснуться вопросов бесконечно малого изгибания, преобразования поверхностей и всех тех вопросов связи между элементами поверхностей, конгруэнции и т.д., которые Рибокур назвал геометрией около поверхности и которые особенно хорошо разрабатывались за последние полвека. Эти вопросы могли бы составить отдельную тему, к которой я вернусь, если позволят обстоятельства. <


 Об авторе

Фиников Сергей Павлович
Выдающийся советский математик. Окончил Московский университет (ныне Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова — МГУ). С 1918 г. профессор Московского университета, с 1952 г. заведующий кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ. Получил ряд фундаментальных результатов в классических задачах изгибания поверхностей, в метрической и проективной теории конгруэнций. Построил проективную теорию расслояемых пар конгруэнций. Разработал метод канонизации репера и независимых параметров, являющийся развитием метода Дарбу—Картана. Один из создателей современной проективно-дифференциальной геометрии. Основатель школы советских математиков-геометров.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце