URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Галеев Э.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи
Id: 192135
 
699 руб.

Оптимизация: Теория, примеры, задачи. Изд.6, испр.

URSS. 2015. 344 с. Твердый переплетISBN 978-5-9710-1608-3.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена важнейшим проблемам оптимизации; в ее основе лежат курсы и спецкурсы по теории оптимизации, прочитанные автором на механико-математическом факультете МГУ. Рассматриваются фрагменты следующих разделов теории экстремальных задач: линейного и выпуклого программирования, математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Приводятся как необходимые, так и достаточные условия экстремума. Для изучения этих разделов в необходимом объеме даются элементы функционального и выпуклого анализа. В каждом параграфе после теоретической части приводятся примеры решения задач, предлагаются задачи для решения на семинарах, в контрольных работах, а также для самостоятельного усвоения материала. Дается обзор общих методов теории экстремума.

Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальностям "Математика", "Прикладная математика", а также для аспирантов, преподавателей и научных работников.


 Оглавление

Предисловие ко второму изданию
Предисловие
Введение
Глава 1. Экстремальные задачи
 § 1.Конечномерные задачи без ограничений
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Необходимые и достаточные условия экстремума
  1.2.1.Функции одной переменной
  1.2.2.Функции нескольких переменных
  1.2.3.Теорема Вейерштрасса и следствие из нее
  1.2.4.Критерий Сильвестра
  1.2.5.Метод Ньютона (метод касательных)
  1.3.Правило решения
  1.4.Примеры
  1.5.Задачи
 § 2.Конечномерные гладкие задачи с равенствами
  2.1.Постановка задачи
  2.2.Необходимые и достаточные условия экстремума
  2.2.1.Принцип Лагранжа
  2.2.2.Конечномерная теорема об обратной функции
  2.2.3.Необходимое условие экстремума II порядка
  2.2.4.Достаточное условие экстремума II порядка
  2.3.Правило решения
  2.4.Примеры
  2.5.Задача Аполлония
  2.6.Задачи
 § 3.Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами
  3.1.Постановка задачи
  3.2.Необходимые и достаточные условия экстремума
  3.2.1.Принцип Лагранжа
  3.2.2.Необходимое условие экстремума II порядка
  3.2.3.Достаточное условие экстремума II порядка
  3.3.Правило решения
  3.4.Примеры
  3.5.Задачи
 § 4.Выпуклые задачи
  4.1.Элементы выпуклого анализа. Субдифференциал
  4.2.Теоремы отделимости
  4.3.Задачи без ограничений
  4.4.Задачи с ограничением
  4.5.Задача выпуклого программирования
  4.6.Задачи, упражнения
 § 5.Элементы функционального анализа
  5.1.Нормированные и банаховы пространства
  5.1.1.Определение пространств
  5.1.2.Произведение пространств
  5.1.3.Примеры банаховых пространств
  5.1.4.Сопряженное пространство, оператор
  5.2.Определения производных
  5.2.1.Производная по направлению
  5.2.2.Вариация по Лагранжу
  5.2.3.Производная Гато
  5.2.4.Производная Фреше
  5.2.5.Строгая дифференцируемость
  5.2.6.Частные производные
  5.2.7.Производные высших порядков
  5.2.8.Контрпримеры на дифференцируемость
  5.3.Некоторые теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
  5.3.1.Теорема о суперпозиции
  5.3.2.Формула Тейлора
  5.3.3.Теорема о среднем
  5.3.4.Теорема о полном дифференциале
  5.4.Дополнительные сведения из алгебры и функционального анализа
  5.5.Задачи
 § 6.Гладкая задача без ограничений
  6.1.Постановка задачи
  6.2.Необходимые условия I порядка
  6.3.Необходимые и достаточные условия II порядка
 § 7.Гладкая задача с равенствами
  7.1.Постановка задачи
  7.2.Необходимые условия I порядка
  7.3.Необходимые условия II порядка
  7.4.Достаточные условия II порядка
 § 8.Гладкая задача с равенствами и неравенствами
  8.1.Постановка задачи
  8.2.Необходимые условия I порядка
  8.3.Необходимые условия II порядка
  8.4.Достаточные условия II порядка
 § 9.Элементы общей теории поля
 Ответы к задачам главы 1
Глава 2. Линейное программирование
 § 1.Симплекс-метод
  1.1.Постановки задач. Геометрическая интерпретация
  1.2.Правило решения задач по симплекс-методу
  1.3.Примеры
  1.4.Задачи
 § 2.Двойственность в линейном программировании
  2.1.Элементы выпуклого анализа. Преобразование Лежандра
  2.2.Примеры
  2.3.Вывод двойственных задач
  2.3.1.Вывод задачи двойственной к задаче в общей форме
  2.3.2.Вывод задачи двойственной к двойственной задаче для задачи линейного программирования в общей форме
  2.3.3.Вывод задачи двойственной к задаче в канонической форме
  2.3.4.Упражнения
 § 3.Обоснование симплекс-метода
  3.1.Теоремы существования, двойственности, критерий решения
  3.2.Свойства множества допустимых точек
  3.3.Доказательство симплекс-метода
 § 4.Методы нахождения начальной крайней точки
  4.1.Переход к решению двойственной задачи
  4.2.Метод искусственного базиса
  4.3.Примеры
  4.4.Задачи
 § 5.Транспортная задача
  5.1.Постановка задачи
  5.2.Особенности задачи
  5.3.Методы нахождения начальной крайней точки
  5.4.Метод потенциалов
  5.5.Примеры транспортных задач
  5.6.Задача двойственная к транспортной задаче
  5.7.Обоснование метода потенциалов решения транспортной задачи
  5.8.Задача о назначении. Пример
  5.9.Задачи
 Ответы к задачам главы 2
Глава 3. Вариационное исчисление
 § 1.Простейшая задача вариационного исчисления
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления
  1.3.Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона
  1.4.Векторный случай
  1.5.Интегралы уравнения Эйлера
  1.6.Примеры
  1.7.Задачи
 § 2.Задача Больца
  2.1.Постановка задачи
  2.2.Необходимое условие экстремума
  2.3.Многомерный случай
  2.4.Пример
  2.5.Задачи Больца
 § 3.Задача с подвижными концами
  3.1.Постановка задачи
  3.2.Hеобходимые условия экстремума
  3.3.Пример
  3.4.Задачи с подвижными концами
 § 4.Изопериметрическая задача
  4.1.Постановка задачи
  4.2.Необходимое условие экстремума
  4.3.Пример
  4.4.Задача Дидоны
  4.5.Изопериметрические задачи
 § 5.Задача со старшими производными
  5.1.Постановка задачи
  5.2.Вывод уравнения Эйлера--Пуассона с помощью леммы Лагранжа
  5.3.Вывод уравнения Эйлера--Пуассона с помощью леммы Дюбуа-Реймона
  5.4.Пример
  5.5.Задачи со старшими производными
 § 6.Задача Лагранжа
  6.1.Постановка задачи
  6.2.Необходимые условия экстремума
  6.3.Примеры
  6.4.Вывод уравнения Эйлера--Пуассона из теоремы Эйлера--Лагранжа
  6.5.Задачи Лагранжа
 Ответы к задачам главы 3
Глава 4. Задачи оптимального управления
 § 1.Принцип максимума Понтрягина в общем случае
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Формулировка теоремы
  1.3.Пример
 § 2.Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом
 § 3.Избранные задачи оптимального управления
  3.1.Простейшая задача о быстродействии
  3.2.Аэродинамическая задача Ньютона
  3.3.Примеры задач оптимального управления
  3.4.Задачи оптимального управления
 Ответы к задачам главы 4
Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении
 § 1.Простейшая задача вариационного исчисления
  1.1.Сильный и слабый экстремум
  1.2.Пример слабого, но не сильного экстремума
  1.3.Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса
  1.4.Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремума
  1.4.1.Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса
  1.4.2.Игольчатые вариации. Аналог условия Вейерштрасса
  1.4.3.Необходимые условия сильного экстремума
  1.4.4.Лемма о скруглении углов
  1.4.5.Необходимые условия слабого экстремума
  1.4.6.Поле экстремалей
  1.4.7.Достаточные условия слабого экстремума
  1.4.8.Достаточные условия сильного экстремума
  1.4.9.Квадратичный функционал
  1.5.Правило решения
  1.6.Примеры
  1.7.Задачи
 § 2.Задача Больца
  2.1.Сильный и слабый экстремум
  2.2.Условия экстремума II порядка
  2.2.1.Необходимые условия слабого экстремума
  2.2.2.Достаточные условия сильного экстремума
  2.2.3.Квадратичный функционал
  2.3.Пример
 Ответы к задачам главы 5
Список литературы
Список обозначений
Предметный указатель

 Предисловие ко второму изданию

Во втором издании исправлены замеченные опечатки первого издания, расписаны подробнее некоторые доказательства, существенно более подробно изложены примеры, убрано громоздкое доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае, и, самое главное, добавлено большое число новых задач и простых, и более сложных. При большем числе задач легче будет преподавателю выбирать те из них, которые более соответствуют излагаемому в соответствующем ВУЗе курсу.

Основная часть задач взята из более ранних задачников, написанных автором вместе с Алексеевым В.М., Кушниренко А.Г., Тихомировым В.М. Первой попыткой создания соответствующего задачника был изданный по инициативе Тихомирова в 1980 г. в МГУ "Сборник задач по оптимальному управлению" (Галеев, Кушниренко, Тихомиров). В 1984 г. в издательстве "Наука" вышел "Сборник задач по оптимизации" (Алексеев, Галеев, Тихомиров), в котором были существенно расширены и теоретический, и задачный материал. В эти задачники были включены многие классические задачи, задачи, используемые преподавателями при ведении обязательного курса "Вариационное исчисление и оптимальное управление". Авторами задач являются многие профессора и преподаватели кафедры общих проблем управления. Большая часть задач была создана специально для задачника студентами и аспирантами МГУ под руководством автора, а также самим автором. Этот задачник стал использоваться во многих ВУЗах при ведении занятий по курсам оптимизации и написании учебников и задачников.


 Предисловие

Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин являются актуальными на протяжении всей истории развития человечества. Особенное значение они приобретают в настоящее время, когда возрастает важность наиболее эффективного использования природных богатств, людских ресурсов, материальных и финансовых средств. Все это приводит к необходимости отыскивать наилучшее, или, как говорят, оптимальное решение того или иного вопроса.

Первые задачи на максимум и минимум были поставлены и решены в глубокой древности, когда математика только зарождалась как наука. Теория экстремальных задач начала создаваться в начале XVII века, и затем она активно развивалась вплоть до наших дней, включая в свою орбиту крупнейших математиков, таких как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Эйлер, Лагранж, Пуанкаре, фон Нейман, Канторович, Понтрягин и других. В наше время невозможно мыслить себе полноценное математическое образование без элементов теории экстремума.

Монография является переработанным и расширенным переизданием первых пяти глав, написанных Галеевым, книги Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Оптимизация: теория, примеры, задачи". М.: УРСС, 2000. Книга состоит из 5 глав. Они содержат материал курса лекций по методам оптимизации, линейному программированию, оптимальному управлению и вариационному исчислению, а также спецкурса по условиям экстремума второго порядка на механико-математическом факультете Московского государственного университета, а также в некоторых институтах естественнонаучного профиля. Данный курс лекций был разработан целым рядом профессоров и преподавателей механико-математического факультета МГУ, на начальном этапе курс сформировался усилиями В.М.Алексеева, В.М.Тихомирова, С.В.Фомина. При написании книги использовался материал, содержащийся в ранее опубликованных книгах: [АТФ] -- Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. "Оптимальное управление". М.: Наука, 1979; [АГТ] -- Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Сборник задач по оптимизации". М.: Наука, 1984; [ГТ] -- Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Краткий курс теории экстремальных задач". М.: Изд-во МГУ, 1989. Книга является расширенным вариантом пособия Галеева Э.М. "Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению". М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. Она предназначена для курсов, включающих элементы теории экстремума любого уровня и приспособлена к действующим ныне программам. Все чертежи в LATEX'e 2epsilon выполнены Галеевой Альфирой.

Рассматриваются следующие разделы теории экстремальных задач: задачи без ограничений, гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, линейное программирование, вариационное исчисление, оптимальное управление, необходимые и достаточные условия экстремума в вариационном исчислении.

При изучении данных разделов требуется знание основ математического анализа и линейной алгебры, изучаемых на первых двух курсах технических и педагогических вузов, университетов. Предполагается, что читатели знакомы с элементарными приемами дифференцирования и интегрирования функций, умеют решать простейшие дифференциальные уравнения, знакомы с элементарными навыками работы с матрицами (умножением, транспонированием, нахождением обратной). Все остальные используемые в курсе математические понятия подробно определяются.

В первой главе рассматриваются задачи без ограничений, задачи с ограничениями типа равенств, с ограничениями типа равенств и неравенств для числовых функций n переменных и в нормированных пространствах. Для каждого типа задач приводятся решения соответствующих примеров. Одним из примеров является старинная задача Аполлония о нормалях к эллипсу. Методами теории экстремальных задач решается задача из курса алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям. Большое внимание уделяется выпуклым задачам. Даются элементы выпуклого анализа, причем выпуклый анализ в зависимости от уровня математической подготовки читателя может рассматриваться как в конечномерных пространствах, так и в линейных нормированных пространствах, вводится понятие субдифференциала и доказывается теорема Куна--Таккера. В этой же главе даются некоторые элементы функционального анализа и дифференциального исчисления в нормированных пространствах.

Вторая глава посвящена линейному программированию. В ней вначале даются постановки задач линейного программирования, правило решения задач в канонической форме по симплекс-методу, приводятся с решениями примеры. Вводится понятие двойственности, затем проводится строгое обоснование симплекс-метода, дается ряд методов нахождения первоначальной крайней точки. Полученные навыки применяются к некоторым наиболее известным типам задач линейного программирования -- транспортным задачам и задачам о назначении. Основная цель при этом -- ознакомление студентов с имеющимися методами решения задач линейного программирования и проведение обоснования этих методов. Обоснование проводится таким образом, чтобы для решения подобных задач в дальнейшем возможно было бы самостоятельно создать метод решения и провести его обоснование. В пособии приведены доказательства теоремы существования решений и теоремы двойственности, позволяющие более глубоко понять данный курс.

В третьей главе приводятся следующие элементарные задачи классического вариационного исчисления: простейшая задача, задача Больца, изопериметрическая задача. Все эти задачи являются частным случаем более общей задачи Лагранжа. Как частный случай задачи Лагранжа рассматриваются задача с подвижными концами и задача со старшими производными.

В четвертой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также доказательство принципа максимума для задачи со свободным концом. Решаются простейшая задача о быстродействии, задача Ньютона и ряд других задач оптимального управления.

В пятой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления и задаче Больца.

Галеев Э.М.

Автор благодарит В.М.Тихомирова, у которого учился теории и решению задач на экстремум и который внес огромный вклад в разработку курсов оптимизации.


 Об авторе

Эльфат Михайлович Галеев

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 120 научных работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце