URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Кутищев Г.П. Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы
Id: 191091
 
234 руб.

Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы. Изд.стереотип.

URSS. 2015. 232 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-382-01579-8.

 Аннотация

В предлагаемой книге изложены с единых позиций практически все вопросы, относящиеся к теории алгебраических уравнений и способам их аналитического и численного решения. Основное внимание уделяется алгоритмичности представления получаемых выражений, с тем чтобы можно было на практике выполнять необходимые расчеты. Для этого предлагается некий языковый инструмент с минимальными изобразительными средствами, с помощью которого все рассматриваемые алгоритмы представляются в единообразном виде, что делает возможным их легкую программную реализацию на различных языках программирования.

Несмотря на то, что представления и решения в такой области математики, как алгебраические уравнения, уже давно сформировались, в книге приводится достаточно много новых результатов. Благодаря предлагаемым подходам (например, таким, как введение понятий сцентрированного многочлена и квадратично-сопряженных корней) получены новые формы алгебраических решений уравнений третьей и четвертой степеней, а для численного решения уравнений более высоких степеней "сконструированы" новые итерационные методы. Для таких уравнений специального вида, какими являются трехчленные алгебраические уравнения, предлагается наглядный и простой графоаналитический способ их решения. С целью обеспечения возможности более глубокого изучения теории алгебраических уравнений в книге представлен обширный (более двухсот наименований) библиографический список работ по этой тематике, охватывающий большой исторический промежуток времени --- от итальянских алгебраистов Средневековья до наших дней.

Книга будет полезна для специалистов, имеющих дело с разработкой прикладных математических моделей, а также может использоваться как учебное пособие преподавателями математики и студентами. Кроме того, она представляет интерес для всех любителей математики.


 Оглавление

Предисловие
Введение
Глава 1. Методические замечания общего характера
Глава 2. Алгебраический инструментарий: термины, определения, формальные представления
Глава 3. Вспомогательные математические соотношения и формулы
 3.1.Общие алгебраические соотношения
 3.2.Оператор суммирования
 3.3.Оператор произведения
 3.4.Вспомогательные целочисленные функции и соотношения
 3.5.Комбинаторные соотношения и формулы
 3.6.Биномиальные соотношения
 3.7.Операции с комплексными числами
 3.8.Квадратичные числа
Глава 4. Многочлены, их свойства и действия над ними
 4.1.Свойства многочленов и действия над ними
 4.2.Выделение остатков
 4.3.Симметрические многочлены и функции
 4.4.Производные от многочленов
  4.4.1.Общее выражение для производных от многочлена
  4.4.2.Вычисление многочлена и его производных
 4.5.Преобразования многочленов
 4.6.Возвратные многочлены
Глава 5. Разложение многочленов на множители
 5.1.Разложение многочленов на произведение двучленов
 5.2.Выделение квадратичных множителей
Глава 6. Обыкновенные алгебраические уравнения и их свойства
 6.1.Алгебраическое уравнение и его корни
 6.2.Зависимость коэффициентов уравнения от его корней
 6.3.Общий подход к решению алгебраических уравнений
Глава 7. Уравнения, разрешимые в элементарных операциях
 7.1.Уравнения первой степени
 7.2.Уравнения второй степени -- квадратные уравнения
 7.3.Двучленные уравнения n-й степени
 7.4.Обобщенное квадратное уравнение
 7.5.Уравнение третьей степени
 7.6.Уравнение четвертой степени
Глава 8. Трехчленные алгебраические уравнения произвольной степени
 8.1.Общий случай трехчленных уравнений
 8.2.Нечетно-нечетные уравнения
 8.3.Нечетно-четные уравнения
 8.4.Четные трехчленные уравнения с положительным свободным членом
 8.5.Четные трехчленные уравнения с отрицательным свободным членом
Глава 9. Численные методы решения алгебраических уравнений произвольной степени
 9.1.Локализация действительного корня уравнения нечетной степени
 9.2.Методы локальной аппроксимации
  9.2.1.Линейные методы
  9.2.1.1.Метод хорд
  9.2.1.2.Метод касательных
  9.2.1.3.Метод нормальных касательных
  9.2.1.4.Метод двух касательных
  9.2.1.5.Метод искривленных хорд
  9.2.2.Квадратичные методы
  9.2.2.1.Метод трехточечной параболы
  9.2.2.2.Метод двухточечной параболы с заданной касательной
  9.2.2.3.Метод дифференциальной параболы
 9.3.Методы с использованием степенных сумм корней
  9.3.1.Методы степенных сумм корней
  9.3.2.Методы квадрирования корней
 9.4.Численное решение уравнений четной степени
  9.4.1.Метод использования квадратично-сопряженных корней
  9.4.2.Метод выделения квадратичного множителя
Глава 10. Алгоритмическая реализация программы для нахождения всех корней или определения коэффициентов обыкновенного алгебраического уравнения произвольной степени
 10.1.Постановка задачи
 10.2.Требования к программе
 10.3.Общая схема программы
 10.4.Общий алгоритм на языке МИНИЯЗ
Заключительные замечания
Библиография
 1.Основоположники, классики, история
 2.Учебники, курсы, монографии
 3.Оригинальные статьи в журналах и сборниках

 Предисловие

В различных областях науки и техники для изучения и проектирования современных сложных объектов всегда необходимо наличие хорошего математического инструмента, при помощи которого можно было бы уже на предварительных стадиях выполнять широкие теоретические и численные исследования предполагаемых характеристик этих объектов.

Наряду с применением для этих целей уравнений математической физики -- дифференциальных и интегральных уравнений, используются так же и обычные, классические алгебраические уравнения -- один из старейших объектов исследований в математике, история применения которых для решения различных практических задач уходит в далекое прошлое, и развитием теории которых занимались все выдающиеся математики.

По мнению известных алгебраистов, теория алгебраических уравнений на сегодняшний день представляет собой в значительной мере законченную часть науки. И чтобы решиться написать на эту тему хоть что-нибудь более или менее новое, надо быть очень смелым, или даже дерзким, не говоря уже об обязательном наличии других, не менее важных, качеств. За прошедшие столетия по этому вопросу опубликовано громадное количество работ, в том числе и классиками, выдающимися гигантами математической мысли! Это с одной стороны. А с другой стороны, прочитав про алгебраические уравнения достаточно большое количество публикаций различного содержательного уровня, неплохо бы попытаться и самому написать что-нибудь дельное, хотя бы и по небольшим частным вопросам. А то для чего же и читать-то их было!..

Повышенный интерес к алгебраическим уравнениям, как математическому инструменту для исследования окружающего мира, проявился в XIX веке, когда ученые Дж. Адамс и У. Леверье по наблюдаемым возмущениям орбиты планеты Уран, используя алгебраические уравнения, теоретически предсказали предполагаемую орбиту новой, неизвестной ранее, планеты, после чего она и была успешно обнаружена в 1846 году немецким астрономом И. Галле и названа Нептуном.

Алгебраические уравнения возникают при изучении равновесных состояний сложных термодинамических и механических систем. Например, при разработке систем жизнеобеспечения космических аппаратов возникает необходимость в определении характеристик радиаторов, излучающих или воспринимающих тепло в/из окружающего пространства в условиях неравномерного облучения Солнцем. Эти характеристики зависят от равновесной температуры поверхности радиатора, которая находится из решения соответствующего алгебраического уравнения четвертой степени. Примеры использования алгебраических уравнений также можно привести из теории ступенчатых ракет и других областей ракетодинамики.

Часто алгебраические уравнения появляются в аэродинамике. Например, для вычисления угла наклона скачка уплотнения, возникающего при гиперзвуковом обтекании клина или конуса, используется алгебраическое уравнение третьей степени. При вычислении скоса потока за крылом по теории Прандтля появляется алгебраическое уравнение, степень которого зависит от принятого закона изменения коэффициента подъемной силы от угла атаки.

В механике полета также используются алгебраические уравнения. Например, скорость наиболее быстрого набора высоты самолета определяется из алгебраического уравнения восьмой степени.

Расчет прочности и устойчивости различных конструкций зависит от нахождения собственных значений, определяемых из решения алгебраического уравнения, степень которого равна количеству учитываемых гармоник.

Особенно часто алгебраические уравнения возникают при выполнении разнообразных геометрических расчетов -- определение точек пересечения и сопряжения криволинейных контуров, при проектировании гладких поверхностей хорошо обтекаемых тел -- крыльев, фюзеляжей, обтекателей и т. п., которые используются в авиации при создании эффективных летательных аппаратов.

Таким образом, из вышеизложенного следует, что тема алгебраических уравнений остается актуальной и на современном этапе развития науки и техники.

Несмотря на длительную историю этой темы и наличие многочисленных публикаций, до сих пор нет книги, в которой с единых позиций рассматривались бы все вопросы, относящиеся к теории и алгоритмической реализации алгебраических уравнений именно с точки зрения их практической направленности. Предлагаемая монография и должна устранить этот пробел.

Многолетний опыт автора в выполнении расчетов при решении разнообразных задач, возникающих в процессе моделирования технических систем, позволяет утверждать, что алгебраические уравнения, наряду с другими математическими средствами, являются весьма полезным инструментом, позволяющим строить мощные математические модели для исследования сложных объектов и процессов.


 Введение

Главная цель настоящей работы заключается в разработке математических средств, которые позволяли бы создавать эффективные алгоритмы численного нахождения всех корней обыкновенных алгебраических уравнений произвольной степени. Обыкновенными будем называть только полиномиальные уравнения одной переменной с действительными коэффициентами, тем самым отличая их от всех других видов алгебраических уравнений.

Решение любого алгебраического уравнения начинается с определения количества действительных корней и их локализации, т. е. заключения их в заданный интервал. В случаях очевидного, как для уравнений нечетной степени, наличия хотя бы одного действительного корня его локализация не вызывает затруднений, если с помощью преобразований уравнение привести к сцентрированному виду, а свободный член нормировать к единице. Затем выделенный действительный корень необходимо вычислить с заданной точностью. При этом для общности необходимо предполагать, что этот корень -- кратный (неважно, какой кратности). Тогда в этом случае для вычисления корня нельзя использовать не только эффективную процедуру уточнения корня по методу касательных (метод Ньютона), но и метод секущих (метод хорд). Поэтому необходим какой-то способ, который позволял бы вычислять значение корня в случае, когда вместе с функцией также и ее первая производная в точке корня обращаются в ноль. Для этого предлагается новый метод, названный методом перпендикулярных касательных, который преодолевает это затруднение. Предлагается также три модификации более универсальных и более эффективных квадратичных методов -- метод трехточечной параболы, метод двухточечной параболы с заданной касательной и метод дифференциальной параболы вместе с их алгоритмическими реализациями.

После того, как действительный корень уравнения нечетной степени найден, он отделяется, степень нового уравнения понижается на единицу и становится четной. Тогда общим является случай, когда уравнение совсем не имеет ни одного действительного корня. Если формально ввести квадратичные числа, определяемые двумя компонентами как сумма одного действительного числа (вещественная часть) и корня квадратного из другого действительного числа (радикальная часть), то для обыкновенных алгебраических уравнений станет возможным переход от разнообразных частных случаев к одному типу корней, которые будем называть квадратично-сопряженными. Таким образом, все корни уравнения любой степени будут только квадратично-сопряженными -- или действительными или комплексными, в зависимости от знака подкоренного числа радикальной части. Теперь появляется возможность отделять по паре корней и понижать степень уравнения на две единицы. При этом обе компоненты отделяемой пары корней определяются из системы двух сопряженных уравнений, которая решается специальным итеративным способом. Продолжая процесс редукции (уменьшения степени) уравнения, поочередно находим все его корни.

Это, собственно, и есть общая схема алгоритма численного решения обыкновенных алгебраических уравнений произвольной степени, а его конкретизация и теоретическое обоснование всех его шагов составляют основное содержание данной работы.

В работе приведены также новые аналитические решения и подробно рассмотрены известные решения алгебраических уравнений низких степеней -- до четвертой степени включительно, а также рассмотрено графоаналитическое решение трехчленных алгебраических уравнений произвольной степени.

Для построения и анализа алгоритмов желательно иметь соответствующие математические соотношения в виде конечных формул. В данной работе многое из того, что относится к алгебраическим уравнениям, представлено в виде конечных, замкнутых выражений. К примеру, при численном выполнении различных преобразований уравнений необходимы сразу и значения многочлена и значения всех его производных, и поэтому вычислять их было бы удобно по какой-то единой формуле. Такая формула, которая здесь получена, была бы полезной также и при организации параллельных вычислений, когда многочлен и все его производные вычислялись бы одновременно, что существенно повышало бы эффективность вычислений. Или, например, полученные явные зависимости всех промежуточных остатков от коэффициентов квадратичного множителя, на который делится многочлен при выделении множителей, позволяют достаточно просто исследовать и реализовать известные методы последнего и предпоследнего остатков, а также показать эквивалентность этих методов и всех их многочисленных модификаций.

Для разработки и записи вычислительных алгоритмов необходимы какие-то языковые средства, которые позволяли бы как проектировать алгоритмы, так и представлять их тексты в удобной "читаемой" форме с минимальным использованием командных конструкций. Для этой цели такой "МИНИЯЗ" и предлагается в этой работе.

Излагать математические тексты так, чтобы они были и понятными, и их хотя бы хотелось читать, чрезвычайно сложно. Конечно, известно, что краткость -- сестра таланта, однако стремление как можно полнее и доступнее изложить такой непростой вопрос, к большому сожалению, приводит к неизбежному многословию, и приходится делать трудный выбор: мало напишешь -- все усохнет, много напишешь -- все утонет. Хотя успешное решение этой "оптимизационной" задачи в большей степени зависит от автора, однако подготовленность и заинтересованность предполагаемого читателя также имеет немаловажное значение.

Предлагаемый материал излагается в повествовательном дедуктивном стиле -- от простого к сложному, на достаточно элементарном уровне, со стремлением отразить все стороны исследуемой темы с привлечением необходимых заимствований, которые, однако, делаются лишь в объеме, достаточном для понимания рассматриваемого вопроса. Все необходимые определения даются в рамках разумной математической строгости. Приводимые результаты -- от формального представления известных фактов до новых способов и формул, являются достаточно оригинальными в том смысле, что в таком виде они не встречаются в литературе. Как правило, эти формулы приводятся без вывода. Многие из них получены с использованием закона совершенной индукции, или интуитивно, так сказать "potius tentando vel divinando", -- "скорее ощупью или догадываясь".

При составлении общего библиографического списка в него хотелось включить все, что известно про алгебраические уравнения, и расположить эти работы в хронологическом порядке. Очевидно, однако, что это -- трудно осуществимое намерение и по языковым ограничениям, и по доступности в библиотеках, и по многим другим причинам. Наряду с работами на русском языке, в список включены также публикации (в основном) на английском, французском и немецком языках, которые брались отовсюду, где их только можно было найти. Конечно, прочитать их все каждую в отдельности не представляется возможным, однако во многих публикациях имеются многочисленные перекрестные ссылки с пересказами и комментариями такой степени подробности, что можно составить представление о существе обсуждаемого вопроса.


 Об авторе

Геннадий Павлович КУТИЩЕВ

Инженер, имеющий большой практический опыт решения сложных прикладных задач с использованием компьютерных технологий. После окончания в 1962 г. Московского физико-технического института по специальности "Аэродинамика" поступил на работу в Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ), где занимался исследованиями в области создания авиационно-космических систем, а также автоматизацией проектно-конструкторских работ и проведения аэродинамических экспериментов с использованием ЭВМ. По результатам этих исследований имеется ряд научных публикаций. Преимущественная область интересов Г. П. Кутищева -- вычислительная геометрия, связанная с программной реализацией и математическим представлением и описанием геометрии гладких поверхностей сложных технических изделий; именно на ее базе возникли основные идеи и соображения об алгебраических уравнениях, которым посвящена настоящая книга. По убеждению автора, алгебраические уравнения могут с успехом применяться при создании математических моделей объектов, процессов и явлений в процессе проведения научно-исследовательских работ во многих областях практической деятельности.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце