URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. КУРС СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА. В двух частях : Ч.I: Основные операции анализа. Ч.II: Трансцендентные функции. Пер. с англ.
Id: 190948
 
899 руб. Бестселлер!

КУРС СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА. В двух частях : Ч.I: Основные операции анализа. Ч.II: Трансцендентные функции. Пер. с англ. Изд.стереотип.

URSS. 2015. 864 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-1484-3. Мелованная бумага.

 Аннотация

Вниманию читателя предлагается труд известных английских математиков Э.Т.Уиттекера и Дж.Н.Ватсона, представляющий собой курс современного анализа. Книга включает в себя две части: первая содержит изложение основных вопросов комплексного анализа, вторая посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций.

Основная цель книги в целом --- научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается с элементарными функциями. Специальные функции в вещественном анализе обладают "жесткостью". Методами вещественного анализа можно, например, разложить котангенс в ряд элементарных дробей; однако решение каждой такой задачи требует своего искусственного приема. Только при комплексном подходе "жесткие" функции вещественного анализа становятся "пластическими". Метод комплексного переменного позволяет преобразовать ряд в произведение, произведение превратить в ряд элементарных дробей, ряд элементарных дробей просуммировать и вновь свернуть в функцию и т.п. Этой комплексной "пластике" и учит читателя настоящая книга. Огромную роль в этом играют многочисленные (всего около тысячи) примеры и задачи, содержащиеся в обеих частях. Изучение наиболее трудных из них позволит читателю свободно овладеть аналитическим аппаратом курса.

Книга адресована широкому кругу математиков --- научным работникам, студентам и аспирантам физико-математических вузов, преподавателям.


 Содержание первой части

Предисловие ко второму русскому изданию
Глава 1. Комплексные числа
 1.1Рациональные числа
 1.2Теория иррациональных чисел Дедекинда
 1.3Комплексные числа
 1.4Модуль комплексного числа
 1.5Диаграмма Аргана
Литература
Примеры
Глава 2. Теория сходимости
 2.1Определение предела последовательности
 2.11Определение термина "порядок величины"
 2.2Предел возрастающей последовательности
 2.21Предельные точки и теорема Больцано--Вейерштрасса
 2.211Определение "наибольшего из пределов"
 2.22Теорема Коши о необходимом и достаточном условии существования предела
 2.3Сходимость бесконечных рядов
 2.301Неравенство Абеля
 2.31Признак сходимости Дирихле
 2.32Абсолютная и условная сходимость
 2.33Геометрический ряд и ряд sumn=11/ns
 2.34Теорема сравнения
 2.35Признак абсолютной сходимости Коши
 2.36Признак абсолютной сходимости Даламбера
 2.37Общая теорема о рядах, для которых limn->un+1/un=1
 2.38Сходимость гипергеометрического ряда
 2.4Влияние изменения порядка членов ряда
 2.41Основные свойства абсолютно сходящихся рядов
 2.5Двойные ряды
 2.51Методы нахождения сумм двойных рядов
 2.52Абсолютная сходимость двойных рядов
 2.53Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов
 2.6Степенные ряды
 2.61Сходимость рядов, получаемых дифференцированием степенного ряда
 2.7Бесконечные произведения
 2.71Примеры бесконечных произведений
 2.8Бесконечные определители
 2.81Сходимость бесконечного определителя
 2.82Теорема об изменении элементов в сходящихся бесконечных определителях
Литература
Примеры
Глава 3. Непрерывные функции и равномерная сходимость
 3.1Зависимость одного комплексного числа от другого
 3.2Непрерывность функций вещественных переменных
 3.21Простые кривые. Континуумы
 3.22Непрерывные функции комплексных переменных
 3.3Ряды с переменными членами. Равномерная сходимость
 3.31Об условии равномерной сходимости
 3.32Связь разрывности с неравномерной сходимостью
 3.33Различие между абсолютной и равномерной сходимостью
 3.34Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
 3.341Равномерная сходимость бесконечных произведений
 3.35Признак равномерной сходимости Харди
 3.4Исследование некоторых двойных рядов
 3.5Общее понятие равномерности
 3.6Видоизмененная теорема Гейне--Бореля
 3.61Равномерная непрерывность
 3.62Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутом интервале, достигает своей верхней границы
 3.63Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутой области, принимает все значения между верхней и нижней границами
 3.64Полная вариация функции вещественной переменной
 3.7Равномерная сходимость степенных рядов
 3.71Теорема Абеля о непрерывности вплоть до границы круга сходимости
 3.72Теорема Абеля об умножении рядов
 3.73Степенные ряды, тождественно равные нулю
Литература
Примеры
Глава 4. Теория интеграла Римана
 4.1Понятие интегрирования
 4.11Верхний и нижний интегралы
 4.12Условие интегрируемости в смысле Римана
 4.13Одна общая теорема об интеграле Римана
 4.14Теоремы о среднем значении
 4.2Дифференцирование интегралов, содержащих параметр
 4.3Двойные и повторные интегралы
 4.4Интегралы с бесконечными пределами
 4.41Интегралы с бесконечными пределами от непрерывных функций. Необходимое и достаточное условие сходимости
 4.42Равномерная сходимость интеграла с бесконечными пределами
 4.43Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами
 4.431Признаки равномерной сходимости интегралов с бесконечными пределами
 4.44Теоремы, относящиеся к равномерно сходящимся интегралам с бесконечными пределами
 4.5Несобственные интегралы. Главные значения
 4.51Изменение порядка интегрирования в некоторых повторных интегралах
 4.6Интегрирование комплексных функций
 4.61Основная теорема для интегралов в комплексной области
 4.62Верхняя граница модуля интеграла в комплексной области
 4.7Интегрирование бесконечных рядов
Литература
Примеры
Глава 5. Основные свойства аналитических функций, теоремы Тейлора, Лорана и Лиувилля
 5.1Свойства элементарных функций
 5.11Отступления от рассматриваемого свойства
 5.12Определение аналитической функции комплексного переменного по Коши
 5.13Приложение видоизмененной теоремы Гейне--Бореля
 5.2Теорема Коши об интеграле по контуру
 5.21Выражение значения аналитической функции в точке через интеграл, взятый по контуру, окружающему эту точку
 5.22Производные аналитической функции f(z)
 5.23Неравенство Коши f(n)(а)
 5.3Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами
 5.31Аналитические функции, представляемые интегралами
 5.32Аналитические функции, представляемые интегралами с бесконечными пределами
 5.4Теорема Тейлора
 5.41Формы остаточного члена в ряде Тейлора
 5.5Процесс аналитического продолжения
 5.501О функциях, к которым не может быть применен процесс аналитического продолжения
 5.51Тождественность двух функций
 5.6Теорема Лорана
 5.61Природа особенностей однозначных функций
 5.62"Бесконечно удаленная точка"
 5.63Теорема Лиувилля
 5.64Функции без существенно особых точек
 5.7Многозначные функции
Литература
Примеры
Глава 6. Теория вычетов и приложение ее к вычислению определенных интегралов
 6.1Вычеты
 6.2Вычисление определенных интегралов
 6.21Вычисление интегралов некоторых периодических функций, взятых между пределами 0 и 2pi.
 6.22Вычисление определенных интегралов, взятых между пределами -бесконечность и +бесконечность
 6.221Некоторые интегралы с бесконечными пределами, содержащие синусы и косинусы
 6.222Лемма Жордана
 6.23Главные значения интегралов
 6.24Вычисление интегралов вида int0 xa-tQ(x)dx
 6.3Интегралы Коши
 6.31Число корней уравнения, содержащихся внутри контура
 6.4Связь между нулями функции и нулями ее производной
Литература
Примеры
Глава 7. Разложение функций в бесконечные ряды
 7.1Формула Дарбу
 7.2Числа и полиномы Берцуллй
 7.21Разложение Эйлера--Маклорена
 7.3Теорема Вюрмана
 7.31Обобщение теоремы Бюрмана, данное Тейшейра
 7.32Теорема Лагранжа
 7.4Разложение функций некоторого класса на простейшие дроби
 7.5Разложение функций некоторого класса в бесконечные произведения
 7.6Теорема Вейерштрасса о бесконечных произведениях
 7.7Разложение периодических функций некоторого класса в ряд по котангенсам
 7.8Теорема Бореля
 7.81Интеграл Бореля и аналитическое продолжение
 7.82Разложение в ряд обратных факториалов.
Литература
Примеры
Глава 8. Асимптотические разложения и суммируемые ряды
 8.1Простой пример асимптотического разложения
 8.2Определение асимптотического разложения
 8.21Другой пример асимптотического разложения
 8.3Умножение асимптотических разложений
 8.31Интегрирование асимптотических разложений
 8.32Единственность асимптотического разложения
 8.4.Методы "суммирования" рядов
 8.41Метод суммирования Бореля
 8.42Метод суммирования Эйлера
 8.43Метод суммирования Чезаро
 8.431Общий метод суммирования Чезаро
 8.44Метод суммирования Рисса
 8.5Теорема Харди
Литература
Примеры
Глава 9. Ряды Фурье и тригонометрические ряды
 9.1Определение ряда Фурье
 9.11Область внутри которой тригонометрический ряд сходится
 9.12Выражение коэффициентов через сумму тригонометрического ряда
 9.2Об условиях Дирихле и теореме Фурье
 9.21Представление функции рядом Фурье на произвольном отрезке
 9.22Ряды косинусов и ряды синусов
 9.3Свойства коэффициентов ряда Фурье
 9.31Дифференцирование рядов Фурье
 9.32Определение точек разрыва
 9.4Теорема Фейера
 9.41Леммы Римана--Лебега
 9.42Доказательство теоремы Фурье
 9.43Доказательство Дирихле - Бонне теоремы Фурье
 9.44Равномерная сходимость рядов Фурье
 9.5Теорема Гурвица - Ляпунова о коэффициентах Фурье
 9.6Риманова теория тригонометрических рядов
 9.61Ассоциированная функция Римана
 9.62Свойства ассодиированной функции Римана; первая лемма Римана
 9.621Вторая лемма Римана
 9.63Теорема Римана о тригонометрических рядах
 9.631Лемма Шварца
 9.632Доказательство теоремы "Римана
 9.7Представление функции интегралом Фурье
Литература
Примеры
Глава 10. Линейные дифференциальные уравнения
 10.1Линейные дифференциальные уравнения. Обыкновенные и особые точки
 10.2Решение дифференциального уравнения в окрестности обыкновенной точки
 10.21Единственность решения
 10.3Правильные точки дифференциального уравнения
 10.31Сходимость разложения из § 10.3
 10.32Нахождение второго решения в случае, когда разность показателей будет целым числом или нулем
 10.4Решения, годные для больших значений |x|
 10.5Неправильные особые точки и слияние
 10.6Дифференциальные уравнения математической физики
 10.7Линейные дифференциальные уравнения с тремя особыми точками
 10.71Преобразования Р-уравнения Римана
 10.72Связь Ауравнения Римана с гипергеометрическим уравнением
 10.8Линейные дифференциальные уравнения с двумя особыми точками
Литература.
Примеры
Глава 11. Интегральные уравнения
 11.1Определение интегрального уравнения
 11.11Алгебраическая лемма
 11.2Уравнение Фредгольма и его предполагаемое решение
 11.21Исследование решения Фредгольма
 11.22Взаимные функции Вольтерра
 11.23Однородные интегральные уравнения
 11.3Интегральные уравнения первого и второго рода
 11.31Уравнение Вольтерра
 11.4Метод последовательных подстановок Лиувилля-Неймана
 11.5Симметричные ядра
 11.51Теорема Шмидта: если ядро симметрично, то уравнение D (lambda) = 0 имеет по меньшей мере один корень
 11.6Ортогональные функции
 11.61Связь ортогональных функций с однородными интегральными уравнениями
 11.7Разложение симметричного ядра
 11.71Решение уравнения Фредгольма при помощи рядов
 11.8Решение интегрального уравнения Абеля
 11.81Интегральное уравнение Шлемильха
Литература
Примеры
Приложение. Элементарные трансцендентные функции
 A.1.О некоторых допущениях, принятых в главах 1-4
 A.11.Содержание настоящего приложения
 A.12.Логический порядок развития элементов анализа
 A.2.Показательная функция ехр z
 A.21.Теорема сложения для показательной функции и ее следствия
 A.22.Различные свойства показательной функции
 A.3.Логарифмы положительных чисел
 A.31.Непрерывность логарифма
 A.32.Дифференцирование логарифма
 A.33.Разложение функции Ln(l+а) по степеням а
 A.4.Определение синуса и косинуса
 A.41.Основные свойства функций sin z и cos z
 A.42.Теорема сложения для функций sin z и cos z
 A.5.Периодичность показательной функции
 A.51.Решение уравнения ехр gamma = 1
 A.52.Решение одной системы тригонометрических уравнений
 A.521.Главное решение системы тригонометрических уравнений
 A.522.Непрерывность аргумента комплексного переменного
 A.6.Логарифмы комплексных чисел
 A.7.Аналитическое определение углов

 Содержание второй части

Глава 12. Гамма-функция
 12.1.Определение гамма-функции. Произведение Вейерштрасса
 12.11.Формула Эйлера для гамма-функции
 12.12.Уравнение в конечных разностях для гамма-функции
 12.13.Вычисление некоторых бесконечных произведений
 12.14.Связь между гамма-функцией и тригонометрическими функциями
 12.15.Теорема умножения Гаусса и Лежандра
 12.16.Разложения для логарифмических производных гамма-функции
 12.2.Интегральное представление Эйлера для Г (г)
 12.21.Распространение интегрального представления гамма-функции на случай отрицательного аргумента
 12.22.Представление Ханкеля функции Г (z) в виде контурного интеграла
 12.3.Интегральное представление Гаусса для логарифмической производной от гамма-функции
 12.31.Первое интегральное представление Бине для lg Г(z)
 12.32.Второе интегральное представление Бине для lg Г(z)
 12.33.Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга)
 12.4.Интеграл Эйлера первого рода
 12.41.Выражение интеграла Эйлера первого рода через гамма-функцию
 12.42.Выражение интегралов от тригонометрических функций через гамма-функции
 12.43.Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер)
 12.5.Интеграл Дирихле
Литература
Примеры
Глава 13. Дзета-функция Римана
 13.1.Определение дзета-функции
 13.11.Обобщенная дзета-функция
 13.12.Представление функции dzeta(s, а) в виде несобственного интеграла
 13.13.Представление функции dzeta(s, а) в виде интеграла по контуру
 13.14.Значение функции dzeta(s, а) для частных значений 5
 13.15.Формула Гурвица для функции dzeta(s, а), когда а < 0
 13.151.Соотношение Римана между dzeta(s) и dzeta(1- s)
 13.2.Формула Эрмита для dzeta(s, а)
 13.21.Следствия из формулы Эрмита
 13.3.Бесконечное произведение Эйлера для dzeta(s)
 13.31.Гипотеза Римана относительно нулей функции dzeta(s)
 13.4.Интеграл Римана для dzeta(s)
 13.5.Неравенства, которым удовлетворяет функция dzeta(s, а) при а>0
 13.51.Неравенства, которым удовлетворяет функция dzeta(s, а) при а=<0
 13.6.Асимптотическое разложение функции lg Г (z + а)
Литература
Примеры
Глава 14. Гипергеометрическая функция
 14.1.Гипергеометрический ряд
 14.11.Значение функции Г (а, Ь; с; 1) при Re (с - а - Ь) > О
 14.2.Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция F(a, b; с; z)
 14.3.Решения Р-уравнения Римана при помощи гипергеометрических функций
 14.4.Соотношения между частными решениями гипергеометрического уравнения
 14.5.Контурные интегралы Барнса для гипергеометрической функции
 14.51.Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда
 14.52.Лемма Барнса
 14.53.Связь между гипергеометрическими функциями от z и от 1 - z
 14.6.Решение уравнения Римана при помощи интеграла по контуру
 14.61.Нахождение интеграла, представляющего Р(alpha)
 14.7.Соотношения между смежными гипергеометрическими функциями
Литература
Примеры
Глава 15. Функции Лежандра
 15.1.Определение полиномов Лежандра
 15.11.Формула Родрига для полиномов Лежандра
 15.12.Интеграл Шлефли для Рn(z)
 15.13.Дифференциальное уравнение Лежандра
 15.14.Интегральные свойства полиномов Лежандра
 15.2.Функции Лежандра
 15.21.Рекуррентные формулы
 15.211.Разложение любого полинома по полиномам Лежандра
 15.22.Представление Мерфи функции Рn(z) в виде гипергеометрической функции
 15.23.Интегралы Лапласа для Рn(z)
 15.231.Интеграл Мелера--Дирихле для Pn(z)
 15.3.Функции Лежандра второго рода
 15.31.Разложение функции Qn(z) в степенной ряд
 15.32.Рекуррентные формулы для Qn(z)
 15.33.Интеграл Лапласа для функций Лежандра второго рода
 15.34.Формула Неймана для Qn(z), когда n -- целое число
 15.4.Разложение Гейне для функции (t-z)-1 в ряд по полиномам Лежандра
 15.41.Разложение Неймана для произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра
 15.5.Присоединенные лежандровы функции Рnm(г) и Qnm(z) Феррерса
 15.51.Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра
 15.6.Определение Гобсона присоединенных функций Лежандра
 15.61.Выражение функции РTnm(z) через интеграл типа Лапласа
 15.7.Теорема сложения для полиномов Лежандра
 15.71.Теорема сложения для функций Лежандра
 15.8.Функция Сnnu(z)
Литература
Примеры
Глава 16. Вырожденная гипергеометрическая функция
 16.1.Слияние двух особых точек уравнения Римана
 16.11.Формулы Куммера
 16.12.Определение функции Wk,m(z)
 16.2.Выражение различных функций через функции типа Wk,m(z)
 16.3.Асимптотическое разложение функции Wk,m(z) при |z| большом
 16.31.Второе решение дифференциального уравнения для функции Wk,m(z)
 16.4.Контурные интегралы типа Меллина--Барнса (Mellin--Ваrnes) для Wk,m(z)
 16.41.Соотношения между Wk,m(z) и Mk,+-m(z)
 16.5.Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера
 16.51.Второе решение уравнения Вебера
 16.511.Соотношение между функциями Dn(z), D-n-1(+-z)
 16.52.Общее асимптотическое разложение для функции Dn(z)
 16.6.Контурный интеграл для функции Dn(z)
 16.61.Рекуррентные формулы для функции Dn(z)
 16.7.Свойства функции Dn(z), когда n - целое число
Литература
Примеры
Глава 17. Функции Бесселя.
 17.1.Коэффициенты Бесселя
 17.11.Дифференциальное уравнение Бесселя
 17.2.Решение уравнения Бесселя при любом комплексном n
 17.21.Рекуррентные формулы для функций Бесселя
 17.211.Соотношение между двумя функциями Бесселя, порядки которых отличаются на целое число
 17.212.Связь между функциями Jn(z) и Wk,m
 17.22.Нули функций Бесселя, порядок которых п вещественный
 17.23.Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя
 17.231.Видоизменение интеграла Бесселя, когда n не целое число
 17.24.Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного целого числа
 17.3.Контурный интеграл Ханкеля для функции Jn(z)
 17.4.Связь между коэффициентами Бесселя и функциями Лежандра
 17.5.Асимптотический ряд для функции Jn(z), когда |z| велик
 17.6.Второе решение уравнения Бесселя, когда порядок - целое число
 17.61.Ряд для функции Yn(z) при малых z
 17.7.Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом
 17.71.Модифицированные функции Бесселя второго рода
 17.8.Разложение Неймана аналитической функции в ряд по коэффициентам Бесселя
 17.81.Доказательство разложения Неймана
 17.82.Разложение Шлемильха произвольной функции по функциям Бесселя нулевого порядка
 17.9.Составление таблиц функций Бесселя
Литература
Примеры
Глава 18. Уравнения математической физики
 18.1.Дифференциальные уравнения математической физики
 18.2.Граничные условия
 18.3.Общее решение уравнения Лапласа
 18.31.Решение уравнения Лапласа с помощью функций Лежандра
 18.4.Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее определенным граничным условиям на поверхности сферы
 18.5.Решение уравнения Лапласа в бесселевых функциях целого порядка
 18.51.Периоды колебания однородной мембраны
 18.6.Общее решение волнового уравнения
 18.61.Решение волнового уравнения в функциях Бесселя
 18.611.Приложение результатов  18.61 к одной физической задаче
Литература
Примеры
Глава 19. Функции Матье
 19.1.Дифференциальное уравнение Матье
 19.11.Форма решения уравнения Матье
 19.12.Уравнение Хилла
 19.2.Периодические решения уравнения Матье
 19.21.Интегральное уравнение, которому удовлетворяют четные функции Матье
 19.22.Доказательство того, что четные функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению
 19.3.Построение функций Матье
 19.31.Интегральные формулы для функций Матье
 19.4.Характер решения общего уравнения Матье; теория Флоке
 19.41.Метод решения Хилла
 19.42.Вычисление определителя Хилла
 19.5.Теория Линдемана--Стилтьеса, относящаяся к общему уравнению Матье
 19.51.Форма Линдемана теоремы Флоке
 19.52.Определение целой функции, связанной с общим уравнением Матье
 19.53.Решение уравнения Матье с помощью функции F(dzeta)
 19.6.Второй метод построения функции Матье
 19.61.Сходимость рядов, определяющих функции Матье
 19.7.Метод замены параметра
 19.8.Асимптотическое решение уравнения Матье
Литература
Примеры
Глава 20. Эллиптические функции. Общие теоремы и функции Вейерштрасса
 20.1.Двоякопериодические функции
 20.11.Параллелограммы периодов
 20.12.Простые свойства эллиптических функций
 20.13.Порядок эллиптической функции
 20.14.Соотношение между нулями и полюсами эллиптической функции
 20.2.Построение эллиптической функции. Определение функции Gam(z)
 20.21.Периодичность и другие свойства функции Gam(z)
 20.22.Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Gam(z)
 20.221.Интегральная формула для Gam(z)
 20.222.Иллюстрация из теории тригонометрических функций
 20.3.Теорема сложения для функции Gam(z)
 20.31.Другая форма теоремы сложения
 20.311.Формула удвоения для Gam(z)
 20.312.Метод Абеля доказательства теоремы сложения для Gam(z)
 20.32.Постоянные e1, е2, е3
 20.33.Прибавление полупериода к аргументу функции Gam(z)
 20.4.Квазипериодические функции. Функция dzeta(z)
 20.41.Квазипериодичность функции dzeta(z)
 20.411.Соотношение между eta1 и eta2
 20.42.Функция sigma(z)
 20.421.Квазипериодичность функции sigma(z)
 20.5.Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию через функции Цейерштрасса с теми же периодами
 20.51.Выражение любой эллиптической функции через функции Gam(z) и Gam'(z)
 20.52.Выражение любой эллиптической функции через линейную комбинацию от дзета-функции и ее производных
 20.53.Выражение любой эллиптической функции в виде отношения сигма-функций
 20.54.Связь между любыми двумя эллиптическими функциями с одинаковыми периодами
 20.6.Об интегрировании функции {a0x4+4a1x3+6a2x2+4a3x+a4}a-1/2
 20.7.Униформизация кривых рода единица
Литература
Примеры
Глава 21. Тэта-функции
 21.1.Определение тэта-функции
 21.11.Четыре типа тэта-функций
 21.12.Нули тэта-функций
 21.2.Соотношения между квадратами тэта-функций
 21.21.Формулы сложения для тэта-функций
 21.22.Основные формулы Якоби
 21.3.Выражения Якоби для тэта-функций через бесконечные произведения
 21.4.Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют тэта-функции
 21.41.Соотношение между тэта-функциями нулевого аргумента
 21.42.Значение постоянной G
 21.43.Связь сигма-функции с тэта-функциями
 21.5.Выражение эллиптических функций при помощи тэта-функций
 21.51.Мнимое преобразование Якоби
 21.52.Преобразование типа Ландена
 21.6.Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют отношения тэта-функций
 21.61.Генезис эллиптической функции Якоби sn u
 21.62.Более раннее обозначение Якоби. Тэта-функция teta(u) и эта-функция Н(и)
 21.7.Задача обращения
 21.71.Задача обращения для комплексных значений с. Модулярные функции f(tau), g(tau), h(tau)
 21.711.Главное решение уравнения f(tau)-c=0.
 21.712.Значения модулярной функции f(tau) на рассмотренном выше контуре
 21.72.Периоды, рассматриваемые как функции модулей
 21.73.Задача обращения, связанная с эллиптическими функциями Вейерштрасса
 21.8.Вычисление эллиптических функций
 21.9.Обозначения, применяемые для тэта-функций
Литература
Примеры
Глава 22. Эллиптические функции Якоби
 22.1.Эллиптические функции с двумя простыми полюсами
 22.11.Эллиптические функции Якоби sn u, cn u, dn u
 22.12.Простые свойства функций sn u, en u, dn u
 22.121.Дополнительный модуль
 22.122.Обозначение Глешера для отношений
 22.2.Теорема сложения для функции sn u
 22.21.Теоремы сложения для cn и и dn u
 22.3.Постоянная K
 22.301.Выражение К через k
 22.302.Эквивалентность определений K
 22.31.Свойства периодичности (связанные с K) эллиптических функций Якоби
 22.32.Постоянная К1
 22.33.Свойства периодичности (связанные с К + lK') эллиптических функций Якоби
 22.34.Свойства периодичности (связанные с lK') эллиптических функций Якоби
 22.341.Поведение эллиптических функций Якоби в окрестности начала координат и в окрестности lK'
 22.35.Общее описание функций sn u, cn u, dn u
 22.351.Связь между эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби
 22.4.Мнимое преобразование Якоби
 22.41.Доказательство мнимого преобразования Якоби при помощи тэта-функций
 22.42.Преобразование Ландена
 22.421.Преобразование эллиптических функций
 22.5.Бесконечные произведения для эллиптических функций Якоби
 22.6.Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби
 22.61.Ряды Фурье для обратных величин эллиптических функций Якоби
 22.7.Эллиптические интегралы
 22.71.Представление полинома четвертой степени в виде произведения двух сумм квадратов
 22.72.Три рода эллиптических интегралов
 22.73.Эллиптический интеграл второго рода. Функция Е(u)
 22.731.Дзета функция Z(u)
 22.732.Формулы сложения для Е(u) и Z(u)
 22.733.Мнимое преобразование Якоби для функции Z(u)
 22.734.Мнимое преобразование Якоби для функции Е(u)
 22.735.Соотношение Лежандра
 22.736.Свойства полных эллиптических интегралов, рассматриваемых как функции модуля
 22.737.Значения полных интегралов для малых значений k
 22.74.Эллиптический интеграл третьего рода
 22.741.Динамическое приложение эллиптического интеграла третьего рода
 22.8.Лемнискатные функции
 22.81.Значения К и K' для частных значений k
 22.82.Геометрическое толкование функций sn u, cn u, dn u
Литература
Примеры
Глава 23. Эллипсоидальные гармонические функции и уравнение Ламе
 23.1.Определение эллипсоидальных гармонических функций
 23.2.Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций
 23.21.Построение эллипсоидальных гармонических функций первого вида
 23.22.Эллипсоидальные гармонические функции второго вида
 23.23.Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида
 23.24.Эллипсоидальные гармонические функции четвертого вида
 23.25.Выражения Нивена для эллипсоидальных гармонических функций через однородные гармонические функции
 23.26.Эллипсоидальные гармонические функции степени n
 23.3.Эллипсоидальные координаты
 23.31.Униформизирующие переменные, связанные с эллипсоидальными координатами
 23.32.Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах
 23.33.Эллипсоидальные гармонические функции в эллипсоидальных координатах
 23.4.Различные формы дифференциального уравнения Ламе
 23.41.Решения уравнения Ламе в виде рядов
 23.42.Определение функций Ламе
 23.43.Об отсутствии кратных корней у функций Ламе
 23.44.Линейная независимость функций Ламе
 23.45.Линейная независимость эллипсоидальных гармонических функций
 23.46.Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе
 23.47.Функции Ламе второго рода
 23.5.Уравнение Ламе в связи с эллиптическими функциями Якоби
 23.6.Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе первого и второго вида
 23.61.Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе третьего и четвертого вида
 23.62.Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций
 23.63.Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций третьего и четвертого вида
 23.7.Обобщения уравнения Ламе
 23.71.Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе
Литература
Примеры
Именной указатель
Предметный указатель

 Предисловие ко второму русскому изданию

"Курс современного анализа" Уиттекера и Ватсона выдержал за рубежом несколько изданий. Начиная с четвертого издания (1927 г.) зарубежные издания стали стереотипными. Первое русское издание вышло в 1933--1934 гг. под редакцией Г.М.Ролузина. Второе русское издание, предлагаемое сейчас читателю, еще раз сверено с английскими изданиями. В нем устранены замеченные опечатки, произведена незначительная модернизация терминологии и добавлены некоторые ссылки. В остальном оно сохранило стиль английской школы классического комплексного анализа (Бромуич, Варне, Бэйли, Харди и Литлвуд, Титчмарш), с которой советский читатель знаком теперь по многочисленным переводам.

Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Хотя за тридцать лет, прошедшие с выхода первого русского издания, появилось много книг и справочников по специальным функциям (например, справочник Эрдейи, Магнуса, Оберхеттингера и Трикоми "Higher transcendental functions", тт. I--III), книга Уиттекера и Ватсона остается непревзойденной по широте охвата и четкости комплексной ("современной") точки зрения на специальные функции.

В книге отсутствуют, однако, такие методы теории функций комплексного переменного, как, скажем, метод конформных отображений и метод перевала, играющие важную роль в современной теорий специальных функций и в ее приложениях. В этом смысле книга не является исчерпывающей. Некоторые главы, как, например, глава о тригонометрических рядах или глава об интегральных уравнениях сейчас были бы написаны по-иному.

Основная цель книги в целом -- научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается с элементарными функциями, к которым он только и приучен школой и, увы, университетом. Специальные функции в вещественном анализе обладают "жесткостью". Методами вещественного анализа можно, например, разложить котангенс в ряд элементарных дробей. Однако решение каждой такой задачи требует своего искусственного приема, Только при комплексном подходе "жесткие" функции вещественного анализа становятся "пластическими". Метод комплексного переменного позволяет (естественным способом!) преобразовать ряд в произведение, произведение превратить в ряд элементарных дробей, ряд элементарных дробей просуммировать и вновь свернуть в функцию и т.п. Этой комплексной "пластике" и учит читателя книга Уиттекера и Ватсона.

Огромную роль в книге играют примеры и задачи (их около тысячи в обеих частях). Трудные, а иногда и очень трудные выкладки влекут за собой свободное владение аналитическим аппаратом.

Квантовая механика, теория распространения радиоволн и многие другие дисциплины нуждаются в теории специальных функций; эту потребность и призвано удовлетворить (теперь уже только отчасти) новое издание "современного" анализа, ставшего ныне уже классическим.

Ф.Широков

 Об авторе

Уиттекер Эдмунд Тейлор
Известный английский математик, член Лондонского королевского общества (1905). В 1891–1896 гг. учился в Кембриджском университете; в 1896 г. стал членом совета Тринити-колледжа и начал читать лекции в Кембридже. C 1906 г. — профессор астрономии в Дублинском университете. В 1912–1946 гг. — профессор Эдинбургского университета. Член Эдинбургского королевского общества; в 1939–1944 гг. был его президентом. Основные работы относятся к теории специальных функций. Автор учебников, в частности по теории интерполяции, теории оптических инструментов и др., а также книг по истории и философии естествознания. Автор широко известной монографии "Курс современного анализа" (совместно с Дж. Н. Ватсоном), содержащей сжатый обзор основных вопросов математического анализа и теорию важнейших специальных функций. В числе его учеников были выдающиеся математики и физики: Г. Г. Харди, Дж. И. Литлвуд, Дж. Н. Ватсон, Дж. X. Джинс, А. Эддингтон.

 Страницы

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце