Гнеденко Б.В.★Ак Курс теории вероятностей Изд. 11

Оглавление

Предисловие к седьмому изданию

Вряд ли можно назвать в российской, да и в мировой научно-учебной литературе в целом учебник или учебное пособие, выдержавшее такое количество изданий, как книга Бориса Владимировича Гнеденко "Курс теории вероятностей".

Первое издание этой книги появилось полстолетия тому назад – в 1950 году и затем неоднократно переиздавалось. Настоящее издание является седьмым, что уже само по себе уникально даже без учета того, что девять изданий этой книги вышло на немецком языке, 8 изданий вышло в США, по два издания – в Японии и Китае, по одному – в Италии, Египте, Испании, Вьетнаме. Шесть раз издательство "Мир" выпускало книгу на английском языке.

Общий замысел учебника, состоящего из двух частей – элементарной (главы 1–6) и специальной (главы 7–11), практически не менялся во всех изданиях. Менялся (а иногда и не помещался) лишь некоторый материал, относящийся к математической статистике, массовому обслуживанию и истории теории вероятностей. Так, в предлагаемое издание не вошел "Очерк истории теории вероятностей", поскольку он параллельно выходит отдельной книгой в издательстве "УРСС".

Многочисленные рецензии на данный "Курс теории вероятностей" особо отмечают тщательность изложения, большое педагогическое мастерство Бориса Владимировича, удачный отбор излагаемого материала.

Нет сомнения, что настоящее издание этого классического учебника по теории вероятностей будет интересно и полезно как широкому кругу специалистов и преподавателей, так и всем тем, кто начал или хочет познакомиться с основами теории вероятностей, с ее понятиями, концепциями, методами и самыми разнообразными приложениями.

Предисловие к шестому изданию

Более трети века прошло со времени выхода в свет первого издания настоящей книги. С тех пор в нашей стране и за ее пределами вышли многочисленные учебники по теории вероятностей, заслуживающие самой высокой оценки. Отличительная черта/ подавляющего числа этих книг – стремление дать возможно более строгое в теоретическом плане изложение теории и показать силу математической абстракции. Настоящая книга ставит перед собой совсем иную цель: восходя от интуитивных представлений и рассматривая большое число примеров, подойти хотя бы к некоторым исследованиям, активно развивающимся в наши дни.

Это издание значительно отличается от предшествующего: введен ряд параграфов, содержащих изложение некоторых новых результатов, вполне доступных читателям настоящей книги: вновь помещена небольшая глава, содержащая элементы математической статистики: приведено добавление, излагающее довольно подробно период возникновения и развития теории вероятностей. Этот очерк базируется на исследованиях последних лет автора и его учеников. Следует сказать, что многие вопросы истории теории вероятностей еще ожидают своих исследователей. В частности, в таком состоянии находится теория случайных процессов. Однако многое еще требует выяснения и в классической теории вероятностей.

Всем хорошо известно, что абстрактное изложения предмета дает возможность быстрее подвести читателя к современному состоянию науки, а также выиграть страницы, которые необходимы для изложения материала. Я считаю, что при первоначальном знакомстве с математическими дисциплинами, а особенно с теорией вероятностей, необходимо рассмотрение большого числа примеров, которые помогли бы развить своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, способность увязывать абстрактные идеи и методы с практическими ситуациями. Это приобретение необходимо каждому математику, а особенно подавляющему большинству студентов-математиков, которым предстоит работать в научно-исследовательских институтах прикладного плана. К тому же в настоящее время с теорией вероятностей вынуждены знакомиться многие специалисты, поскольку в их повседневной работе теоретико-вероятностные концепции крайне необходимы. Им знакомиться с необходимым разделом науки по абстрактным книгам и трудно, и не нужно, поскольку такие книги не создадут так необходимого мостика между потребностями практики и математической теорией. Впрочем, для этой категории читателей, быть может, нужны совсем особые книги, написанные в специальном методическом и психологическом ключе.

Когда книга уже написана, видишь, как много в ней недостатков, как много мест следовало бы в ней переделать. Однако приходится смириться и отложить переделки до возможного переиздания. В связи с этим я прошу читателя направлять мне критические замечания и пожелания, к которым я отнесусь со всем необходимым вниманием.

Я счастлив поблагодарить Ю.В.Прохорова, Б.А.Севастьянова и Д.М.Чибисова за большое число замечаний, которые они мне сделали в результате знакомства с рукописью. К сожалению, я не имел возможности в полной мере использовать все их пожелания, постараюсь это сделать впоследствии.

Из предисловия ко второму изданию

Настоящее издание значительно отличается от первого. Я постарался возможно полнее учесть в нем замечания и пожелания, которые содержались в печатных рецензиях на первое издание книги, а также были сообщены мне устно и письменно. Пожалуй, наиболее существенным изменением является добавление задач для упражнений в первых девяти главах.

Значительные добавления сделаны в главе 10: они касаются главным образом расширения сведений по теории стационарных случайных процессов. Большим изменениям подверглась последняя глава, посвященная математической статистике. В этой главе имеются некоторые новые параграфы, но в то же время исключен частично материал, содержавшийся в первом издании. Пользуюсь случаем сердечно поблагодарить товарищей, высказавших откровенное мнение о недостатках книги и способствовавших своей критикой их исправлению. Особенно я благодарен Ю.В.Линнику за его постоянный интерес к настоящей книге, большое число замечаний к первому изданию и за дискуссию по рукописи второго издания.

Из предисловия к первому изданию

Настоящий курс разбивается на две части – элементарную (главы 1–6) и специальную (главы 7–11). Последние пять глав могут служить базой для спецкурсов – теории суммирования случайных величин, теории стохастических процессов, элементов математической статистики.

Теория вероятностей рассматривается в книге исключительно как математическая дисциплина, поэтому получение конкретных естественно-научных или технических результатов в ней не является самоцелью. Все примеры в тексте книги имеют целью только разъяснение общих положений теории и указание на связь этих положений с задачами естествознания. Конечно, одновременно эти примеры дают указания на возможные области приложения общетеоретических результатов, а также развивают умение применять эти результаты в конкретных задачах. Хорошо, если изучающий теорию вероятностей имеет перед глазами какие-нибудь явления материального мира для того, чтобы общая математическая схема наполнялась определенным смыслом. Такое направление изучения дает возможность читателю выработать своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, которая позволяет предвидеть в общих чертах выводы раньше, чем применен аналитический аппарат. Заметим далее, что без систематического решения задач изучать теорию вероятностей нельзя, в особенности на первых порах.

Первые четыре параграфа главы 1 являются незначительной переработкой неопубликованных рукописей А.Н.Колмогорова.

Я счастлив поблагодарить здесь моих дорогих учителей А.Н.Колмогорова и А.Я.Хинчина, много помогавших мне своими советами и беседами, касавшимися узловых вопросов теории вероятностей.

Введение

Цель настоящей книги состоит в изложении основ теории вероятностей – математической науки, изучающей закономерности случайных явлений.

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629–1695), Паскаля (1623–1662), Ферма (1601–1665) и Якоба Бернулли (1654–1705). В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными игроками и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовывались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игроков, предвидели и фундаментальную натурфилософскую роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание, и в первую очередь в физику, показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего значения и в настоящее время.

Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667–1754), Лаплас (1749–1827), Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа творца неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевского (1792–1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная с целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной.

С половины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов XX века развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых – П.Л.Чебышева (1821–1894), А.А.Маркова (1856–1922), А.М.Ляпунова (1857–1918). Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью В.Я.Буняковского (1804–1889), широко культивировавшего в России исследования по применению теории вероятностей к статистике, в особенности к страховому делу и демографии. Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие интереса к этой области науки. Основное непреходящее значение работ Чебышева, Маркова и Ляпунова в области теории вероятностей состоит в том, что ими было введено в качестве объекта систематического изучения и широко использовано понятие случайной величины. С результатами Чебышева относительно закона больших чисел, с "цепями Маркова" и с предельной теоремой Ляпунова мы познакомимся в соответствующих разделах настоящей книги.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. В этой напряженной научной работе советская школа теории вероятностей продолжает занимать выдающееся положение. Среди представителей первого поколения советских ученых прежде всего должны быть названы имена С.Н.Бернштейна (1880–1968), А.Н.Колмогорова (1903–1987) и А.Я.Хинчина (1894–1959). В процессе изложения мы будем вынуждены самим существом дела вводить читателя в курс преобразовавших лицо теории вероятностей идей и результатов. Так, уже в первой главе будем говорить о фундаментальных работах С.Н.Бернштейна, Р.Мизеса (1883–1953) и А.Н.Колмогорова по основаниям теории вероятностей. В двадцатых годах XX столетия А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров, Е.Е.Слуцкий (1880–1948) и П.Леви (1886–1971) установили тесную связь между теорией вероятностей и метрической теорией функций. Эта связь оказалась весьма плодотворной. На этом пути удалось найти окончательное решение классических задач, поставленных еще П.Л.Чебышевым, а также значительно расширить содержание теории вероятностей. Полностью к советскому периоду относится создание А.Н.Колмогоровым и А.Я.Хинчиным в тридцатых годах основ теории стохастических (вероятностных, случайных) процессов, которая теперь стала основным направлением исследований в теории вероятностей. Указанная теория служит прекрасным образцом того органического синтеза математического и естественнонаучного мышления, когда математик, овладев физическим существом узловой проблемы естествознания, находит для нее адекватный математический язык. Нам важно заметить, что решение классических задач теории вероятностей оказалось тесно связанным с теорией стохастических процессов. Элементы этой важной главы теории вероятностей будут изложены нами в главе десятой.

За последние десятилетия неизмеримо выросла роль, которую играет теория вероятностей в современном естествознании. После того как молекулярные представления о строении вещества получили всеобщее признание, стало неизбежным широкое использование теории вероятностей и в физике, и в химии. Заметим, что с точки зрения молекулярной физики каждое вещество состоит из огромного числа малых частиц, находящихся в непрерывном движении и в процессе этого движения воздействующих друг на друга. При этом о природе этих частиц, о существующем между ними взаимодействии, характере их движения и пр. известно мало. В основных чертах эти сведения исчерпываются тем, что частиц, из которых состоит вещество, очень много и что в однородном теле они близки по своим свойствам. Естественно, что при таких условиях обычные для физических теорий методы математических исследований становились бессильными. Так, например, аппарат дифференциальных уравнений не мог привести в указанной обстановке к серьезным результатам. Действительно, ни строение, ни законы взаимодействия между частицами вещества в достаточной мере не изучены, и при таких условиях применение аппарата дифференциальных уравнений должно носить элементы грубого произвола. Но даже если бы этой трудности не существовало, уже одно количество этих частиц представляет собой такую трудность в изучении их движения, которую преодолеть с помощью обычных уравнений механики нет возможности.

К тому же и методологически такой подход неудовлетворителен. Действительно, задача, которая здесь возникает, состоит не в изучении индивидуальных движений частиц, а в изучении тех закономерностей, которые возникают в совокупностях большого числа движущихся и взаимодействующих частиц. Закономерности же, возникающие вследствие участвующих в их возникновении ингредиентов, имеют свое собственное своеобразие и не сводятся к простому суммированию индивидуальных движений. Более того, эти закономерности в известных пределах оказываются не зависящими от индивидуальных особенностей участвующих в их порождении частиц. Конечно, для изучения этих новых закономерностей должны быть найдены и соответствующие новые математические методы исследования. Какие же требования должны быть в первую очередь предъявлены к этим методам? Понятно, что в первую очередь они должны учитывать то, что изучаемое явление носит массовый характер; таким образом, для этих методов наличие большого числа взаимодействующих частиц должно представлять не дополнительную трудность, а облегчать изучение возникающих закономерностей. Далее, недостаточность знаний о природе и строении частиц, а также о характере их взаимодействия не должна ограничивать эффективности их применения. Этим требованиям лучше всего удовлетворяют методы теории вероятностей.

Чтобы сказанное не было понято ошибочно, мы еще раз подчеркнем следующее обстоятельство. Говоря, что аппарат теории вероятностей лучше приспособлен для изучения молекулярных явлений, мы ни в коей мере не хотим сказать, что философские предпосылки использования теории вероятностей в естествознании лежат в "недостаточности знаний". Основной принцип состоит в том, что при изучении "массовых" явлений возникают своеобразные новые закономерности. При изучении явлений обусловленных действием большого числа молекул, учет свойств каждой молекулы не нужен. Действительно, при изучении явлений природы необходимо отвлекаться от учета несущественных подробностей. Рассмотрение же всех деталей, всех существующих связей, в том числе и несущественных для данного явления, приводит лишь к тому, что само явление затемняется и овладение им отодвигается ввиду такой искусственной усложненной обстановки.

Насколько удачно произведена схематизация явлений, насколько удачно выбран математический аппарат для его изучения, мы можем судить по согласию теории с опытом, с практикой. Развитие естествознания, в частности физики, показывает, что аппарат теории вероятностей оказался весьма хорошо приспособленным к изучению многочисленных явлений природы.

Указанная связь теории вероятностей с потребностями современной физики лучше всего поясняет те причины, в силу которых в последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся областей математики. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественнонаучного использования метода теории вероятностей. Всестороннее изучение явлений природы толкает теорию вероятностей на разыскание новых закономерностей, порождаемых случаем. Теория вероятностей не отмежевывается от запросов других наук, а идет в ногу с общим развитием естествознания. Понятно, что сказанное не означает, что теория вероятностей является лишь вспомогательным средством для решения тех или иных практических задач. Наоборот, следует подчеркнуть, что теория вероятностей превратилась в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами и методами доказательств. В то же время выяснилось, что наиболее существенные проблемы теории вероятностей служат делу решения различных задач естествознания.

Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Отложив выяснение смысла понятия "случайное явление (событие)" до первой главы, мы сейчас ограничимся несколькими замечаниями. Если в обыденных представлениях, в житейской практике считается, что случайные события представляют собой нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий, то в теории вероятностей мы откажемся от этих представлений. Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в массовых явлениях. Под массовыми явлениями мы понимаем такие, которые имеют место в совокупностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явлений и лишь в незначительной мере зависят от природы составляющих объектов.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и в других областях естествознания, военном деле, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике и т.д. В последнее время в связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей используются не только для браковки уже изготовленной продукции, но, что важнее, для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве). Большое значение в этом круге идей имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Для всего инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая методы теории вероятностей. Здесь уместно заметить, что в свою очередь теория надежности выдвинула перед теорией вероятностей ряд новых теоретических вопросов. Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной ее бурного развития. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспомнить замечательные слова основателя нашей отечественной школы теории вероятностей П.Л.Чебышева: "Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике".

О Борисе Владимировиче Гнеденко

Борис Владимирович Гнеденко (1912–1995) – один из крупнейших советских математиков, жизнь которого с 1934 года и до последних дней была связана с механико-математическим факультетом Московского университета (работая с 1945 по 1960 гг. на Украине и в Германской Демократической Республике, он поддерживал тесные научные связи с факультетом).

Борис Владимирович родился 1 января 1912 г. в Симбирске. В силу сложившихся обстоятельств его семья переехала вначале в Казань (1915), затем в Углич (1923), и, наконец, в Саратов (1925). В 1927 г. пятнадцатилетним юношей он поступил на физико-математический факультет Саратовского университета, который закончил в 1930 г. В 1934 г. Б.В.Гнеденко стал аспирантом мехмата МГУ.

Б.В.Гнеденко был учеником и соратником А.Я.Хинчина и А.Н.Колмогорова – ярчайших деятелей Московской математической школы. Он является одним из создателей теории суммирования независимых случайных величин, сформировавшейся в 20–30-х годах, которая стала называться классической уже в 50-е годы XX века. Начав свою научную деятельность с теории суммирования, где ему принадлежит ряд основополагающих достижений, с течением времени он стал обращаться и к прикладным областям теории вероятностей.

Б.В.Гнеденко – основатель вероятностных школ на Украине и в Германской Демократической Республике.

Кафедра теории вероятностей, одна из ведущих на механико-математическом факультете МГУ, основанная А.Н.Колмогоровым (1935), была передана Андреем Николаевичем Б.В.Гнеденко (1966). За тридцать лет под руководством Бориса Владимировича кафедра укрепила свои позиции на факультете.

Сотни тысяч студентов учились и учатся по его книге "Курс теории вероятностей", хорошо известной во всем мире. Она многократно издавалась – в девяти странах, на десяти языках – и является базовым учебником во многих ведущих университетах мира.

Очерк истории теории вероятностей, помещенный в учебнике, является замечательным примером еще одной грани таланта Бориса Владимировича. Это – историко-математические исследования. Среди его многочисленных работ этого направления выделяется удивительно удачная книга "Очерки по истории математики в России" (1-е издание – 1946 г., 2-е издание – М.: УРСС, 2005 г.).

Борис Владимирович много сил и времени уделял пропаганде математики. В начале 60-х годов Б.В.Гнеденко организовал выпуск серии брошюр, посвященных применению математики в различных областях практической деятельности.

Б.В.Гнеденко был избран почетным доктором Берлинского университета им.Гумбольдта (1976), почетным доктором Афинского университета (1993), являлся членом Королевского Статистического общества (Великобритания), членом редколлегий ряда отечественных и зарубежных журналов.

Об авторе

Гнеденко Борис Владимирович

Выдающийся ученый в области теории вероятностей и ее приложений. Академик АН Украины (1948). Лауреат Государственной премии СССР (1979). Мировую известность ему принесли исследования по теории суммирования независимых случайных величин, отраженные, в частности, в монографии «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» (1949, в соавт. с А. Н. Колмогоровым). Одним из первых среди отечественных ученых в середине 1930-х гг. начал развивать теорию массового обслуживания, притом в ее прикладном аспекте. Создал в Украине всемирно известную школу теории вероятностей и математической статистики, московскую школу теории массового обслуживания, оказал большое влияние на формирование теоретико-вероятностных школ во многих странах. С 1966 г. до конца своих дней бессменно руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Почетный член Royal Statistical Society (Великобритания), почетный доктор Берлинского университета им. Гумбольдта и Афинского университета.