URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии
Id: 189227
 
499 руб.

Курс дифференциальной геометрии. Изд.стереотип.

URSS. 2014. 432 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-382-01568-2.

 Аннотация

В настоящей книге, написанной известным отечественным математиком-геометром П.К.Рашевским, излагается учебный курс дифференциальной геометрии. Курс включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей. В книге также дается краткий очерк по истории дифференциальной геометрии, завершающийся описанием развития советской дифференциально-геометрической научной школы в первой половине XX века.

Книга рекомендуется математикам и механикам --- студентам, аспирантам и научным работникам. Может быть использована в учебном процессе, при самостоятельных занятиях, а также в качестве справочного пособия по дифференциальной геометрии.


 Оглавление

Предисловие к 3-му изданию
Введение
I. Первоначальные сведения о кривых на плоскости
 § 1.Обыкновенные и особые точки плоской кривой
 § 2.Строение кривой вблизи обыкновенной точки
 § 3.Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы координаты
 § 4.Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление
 § 5.Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные координаты
 § 6.Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты
 § 7*.Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория
 § 8.Огибающая семейства кривых
 § 9*.Семейство кривых вблизи данной точки
 § 10.Асимптоты
 § 11*.Асимптота как предельное положение касательной
 § 12.Асимптоты алгебраических кривых
II. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие применения к теории кривых
 § 13.Определение производной и техника дифференцирования
 § 14.Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой в параметрическом представлении
 § 15.Достаточный признак обыкновенной точки
 § 16.Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции
 § 17.Дифференциал вектор-функции
 § 18.Две леммы
 § 19.Ряд Тейлора для вектор-функции
 § 20.Строение параметрически заданной кривой в окрестности произвольной точки
 § 21.Длина дуги как параметр
 § 22.Касание кривых
 § 23*.Дополнительные сведения по теории касания кривых
III. Теория кривизны плоских кривых
 § 24.Соприкасающаяся окружность
 § 25.Построение соприкасающейся окружности предельным переходом
 § 26.Кривизна
 § 27.Векторы t,n
 § 28.Формулы Френе
 § 29.Эволюта
 § 30.Эвольвента
 § 31.Натуральное уравнение кривой
IV. Теория кривизны пространственных кривых
 § 32.Касательные; нормали
 § 33*.Касание кривой с поверхностью
 § 34.Точки распрямления
 § 35.Соприкасающаяся плоскость
 § 36.Сопровождающий трехгранник
 § 37.Две леммы об окружности
 § 38.Соприкасающаяся окружность
 § 39.Кривизна пространственной кривой
 § 40.Формулы Френе. Кручение
 § 41.Вычислительные формулы для кривизны и кручения
 § 42.Строение кривой вблизи обыкновенной точки
 § 43*.Соприкасающаяся сфера
 § 44.Натуральные уравнения
V. Первоначальные сведения по теории поверхностей
 § 45.Криволинейные координаты на поверхности
 § 46.Кривые на поверхности
 § 47.Первая основная квадратичная форма
 § 48.Вторая основная квадратичная форма на поверхности
 § 49.Основная формула для кривизны кривой на поверхности
 § 50.Теорема Менье
 § 51.Линейная вектор-функция на плоскости
 § 52.Собственные направления и собственные значения
 § 53.Основная вектор-функция и главные направления
 § 54.Исследования кривизны нормальных сечений
 § 55.Формула Эйлера. Главные кривизны
 § 56.Вычисление главных кривизн и главных направлений
 § 57.Три типа точек на поверхности
 § 58.Вычислительные формулы
 § 59.Линии кривизны
 § 60.Асимптотические линии
 § 61.Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления
 § 62*.Зависимость между тремя основными квадратичными формами
 § 63.Сферическое отображение поверхности
VI. Линейчатые и развертывающиеся поверхности
 § 64.Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях
 § 65.Горловая точка
 § 66.Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности
 § 67*.Параметр распределения
 § 68.Огибающая семейства поверхностей от одного параметра
 § 69.Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостей
 § 70*.Ребро возврата огибающей семейства плоскостей
 § 71*.Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности
 § 72.Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой полной кривизны
 § 73*.Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей
 § 74.Геометрические свойства линий кривизны
 § 75*.Сопряженные сети на поверхности
VII. Внутренняя геометрия поверхности
 § 76.Понятие об изгибании
 § 77.Внутренняя геометрия и изгибание поверхности
 § 78.Индексные обозначения
 § 79.Деривационные формулы первой группы
 § 80*.Деривационные формулы второй группы
 § 81*.Роль второй квадратичной формы
 § 82.Теорема Гаусса
 § 83*.Формулы Петерсона--Кодацци
 § 84*.Векторы на поверхности
 § 85*.Градиент скалярного поля на поверхности
 § 86*.Параллельное перенесение векторов на поверхности
 § 87*.Свойства параллельного перенесения
 § 88.Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности
 § 89.Вычисление геодезической кривизны
 § 90.Геодезические линии на поверхности
 § 91*.Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности
 § 92*.Полугеодезическая система координат на поверхности
 § 93*.Экстремальное свойство геодезических
 § 94*.Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны
 § 95*.Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения
 § 96*.Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны
 § 97*.Поверхности вращения постоянной кривизны
 § 98*.Обнесение вектора по замкнутому контуру
Краткие исторические сведения
Алфавитный указатель

 Введение

Хотя в математике обычно очень трудно составить себе общее представление о данной области до знакомства с ней по существу, дадим все же в самых общих чертах характеристику предмета дифференциальной геометрии.

Как известно, аналитическая геометрия основана на сопоставлении: каждой точке пространства -- трех чисел (координат); каждой поверхности -- уравнения, связывающего текущие координаты; каждой кривой -- двух таких уравнений. Благодаря этому геометрические факты могут быть переведены на язык алгебры, геометрические задачи могут быть решены приемами алгебры, после чего результат при помощи обратного перехода вновь истолковывается на геометрическом языке. Основная идея здесь, очевидно, заключается в том, чтобы заставить сильный и действенный алгорифм алгебры регулярным образом работать для геометрических целей. При этом прогресс выражается не только и не столько в том, что старые задачи решаются более совершенным аналитическим методом, сколько в возможности неизмеримо расширить самый круг геометрических проблем по сравнению с проблемами, доступными элементарному подходу. Дифференциальная геометрия означает аналогичное использование в геометрических целях аппарата дифференциального исчисления. При этом снова центр тяжести лежит в создании новой области геометрического исследования, куда позволяет проникнуть применение нового алгорифма. Чтобы отдать себе отчет, чем характеризуется эта область -- область дифференциальной геометрии, -- нужно вспомнить, где и как вообще находит себе применение аппарат анализа бесконечно малых. Чтобы привести элементарный пример, рассмотрим прямолинейное, но неравномерное движение точки по закону s=s(t), выражающему пройденный путь в зависимости от времени. Изучим это движение за бесконечно малый промежуток времени от t до t+. Тогда, как известно из дифференциального исчисления, пройденный за время путь будет выражаться величиной

=s'(t)+,

где s'(t) -- производная, а стремится к нулю вместе с. Мы замечаем, что если пренебречь, бесконечно малой высшего порядка по отношению к, то зависимость от  окажется линейной с коэффициентом s'(t), т.е. движение можно считать равномерным, с постоянной скоростью s'(t).

Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно малом линейными, неравномерные процессы -- равномерными и т.д., если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом. Но, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оценке процесса в целом.

Дифференциальная геометрия является осуществлением этой же идеи в области геометрии. Другими словами, геометрические объекты -- линии и поверхности -- будут изучаться нами с точки зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это "микроскопическое исследование" обнаружит нам ряд стройных закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод исследования геометрических объектов, более отчетливое представление о котором мы получим при изучении его по существу.

Сделаем еще одно предварительное замечание. Так как сущность метода связана с применением дифференциального исчисления, то мы не должны быть связаны какими-либо ограничениями в смысле дифференцируемости рассматриваемых функций. Если не оговорено противное, мы будем раз навсегда предполагать, что все рассматриваемые функции однозначны и дифференцируемы, причем имеют непрерывные производные до любого порядка, который может нам понадобиться. Отметим также, что на протяжении всей книги рассматриваются исключительно вещественные переменные.


 Предисловие к 3-му изданию

При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т.д. Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.

Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия линейчатой поверхности.

К курсу присоединены также исторические сведения.

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А.З.Рывкину за его исключительно добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.

Автор

 Об авторе

Рашевский Петр Константинович
Выдающийся советский математик-геометр. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.

П. К. Рашевский — автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (М.: URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (М.: URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (М.: URSS), "Теория спиноров" (М.: URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце