| Предисловие |
| Глава I. | Общие сведения о кривых |
| | § 1. | Краткие сведения из истории развития учения о кривых |
| | § 2. | Способы образования кривых |
| | § 3. | Систематика кривых. Общие теоремы |
| | | 1. | Алгебраические и трансцендентные кривые.
2. Общие теоремы об алгебраических кривых.
3. Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.
4. Род алгебраической кривой. Циркулярные кривые
5. Фокусы, диаметры, центр. Полюсы и поляры.
6. Теоремы Ньютона, Котеса и Шаля |
| Глава II. | Преобразования кривых |
| | | 1. | Точечные преобразования плоскости.
2. Аффинные преобразования
3. Трилинейная система координат.
4. Проективные преобразования
5. Инверсия.
6. Квадратичные преобразования.
7. Двойственные преобразования |
| Глава III. | Общие сведения о кривых 3-го порядка |
| | | 1. | Классификация Ньютона.
2. Другие принципы классификации
3. Основные теоремы.
4. Точки перегиба, кратные точки.
5. Полюсы и поляры.
6. Проективные свойства.
7. Циркулярные кривые
8. Рациональные циркулярные кривые |
| Глава IV. | Замечательные кривые 3-го порядка |
| | § 1. | Декартов лист |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Свойства.
3. Способ построения
4. Историческая справка |
| | § 2. | Циссоида Диоклеса |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Свойства.
3. Применение циссоиды к решению делосской задачи |
| | § 3. | Кривые 3-го порядка, получаемые циссоидальным преобразованием |
| | | 1. | Обобщение понятия циссоиды.
2. Циссоиды кривых 2-го порядка |
| | § 4. | Строфоида |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Свойства строфоиды.
3. Косая строфоида.
4. Историческая справка |
| | § 5. | Некоторые другие кривые |
| | | 1. | Офиурида.
2. Трисектриса Маклорена.
3. Кубика Чирнгаузена
4. Верзиера |
| Глава V. | Общие сведения о кривых 4-го порядка |
| | | 1. | Классификация.
2. Рациональные кривые.
3. Эллиптические кривые.
4. Бициркулярные кривые.
5. Кривые высших порядков |
| Глава VI. | Замечательные кривые 4-го и высших порядков |
| | § 1. | Конхоида Никомеда |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Свойства.
3. Конхоидальный циркуль
4. Историческая справка.
5. Конхоидальные кривые |
| | § 2. | Улитка Паскаля |
| | | 1. | Свойства.
2. Применения в технике |
| | § 3. | Циклоидальные кривые |
| | | 1. | Параметрические уравнения.
2. Особенности формы.
3. Свойства эпициклоид и гипоциклоид.
4. Трохоиды |
| | § 4. | Кардиоида |
| | | 1. | Уравнение.
2. Свойства |
| | § 5. | Кривая Штейнера |
| | | 1. | Свойства.
2. Подэры кривой Штейнера |
| | § 6. | Астроида |
| | | 1. | Свойства.
2. Свойства касательных к астроиде.
3. Косая астроида |
| | § 7. | Овалы Декарта |
| | | 1. | Определение овалов по Декарту и их свойства.
2. Другие способы образования овалов |
| | § 8. | Каппа |
| | § 9. | Кривые Персея |
| | | 1. | Способы образования.
2. Лемниската Бута |
| | § 10. | Овалы Кассини |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Способ построения |
| | § 11. | Синусоидальные спирали |
| | | 1. | Особенности формы.
2. Общие свойства |
| | § 12. | Лемниската Бернулли |
| | | 1. | Свойства
2. Построение.
3. Применения лемнискаты. Историческая справка (161} |
| | § 13. | Розы |
| | | 1. | Порядок, особенности формы и свойства.
2. Четырехлепестковая и трехлепестковая розы.
3. Историческая справка.
4. "Колосья" |
| | § 14. | Кривые скольжения |
| | | 1. | Скольжение по двум взаимно перпендикулярным прямым.
2. Скольжение по прямой и окружности.
3. Скольжение по двум окружностям.
4. Кривые Уатта |
| | § 15. | Овалы Мюнгера |
| | § 16. | Кривые Ламэ |
| | § 17. | Параболические и гиперболические кривые |
| | | 1. | Параболические кривые у = схm, где т = p/q > 0..
2. Свойства параболических кривых.
3. Кубическая парабола у = сх3.
4. Полукубическая парабола (парабола Нейля) у = сх3/2.
5. Гиперболические кривые у = сх-m, т = p/q > 0.
6. Политропные кривые |
| Глава VII. | Трансцендентные кривые |
| | § 1. | Общие сведения о трансцендентных кривых |
| | § 2. | Спираль Архимеда |
| | | 1. | Свойства.
2. Спрямление окружности с помощью спирали Архимеда.
3. Применение в технике.
4. Историческая справка |
| | § 3. | Алгебраические спирали |
| | | 1. | Гиперболическая спираль ro = a/phi.
2. Конхоида гиперболической спирали.
3. Спираль Галилея ro = аphi2 - l (l >= 0).
4. Спираль ro = a/phi2
5. Спираль Ферма ro = a sqrt phi..
6. Параболическая спираль ro = a sqrt phi + l (l > 0).
7. Спираль ro =a/sqrt phi ("жезл") |
| | § 4. | Логарифмическая спираль |
| | | 1. | Свойства.
2. Построение.
3. Логарифмическая спираль в технике и в природе.
4. Историческая справка |
| | § 5. | Цепная линия |
| | | 1. | Вывод уравнения.
2. Свойства.
3. Применения в технике
4. Цепная линия равного сопротивления.
5. Историческая справка |
| | § 6. | Трактриса |
| | | 1. | Свойства.
2. Применение трактрисы.
3. Историческая справка
4. Трактриса окружности.
5. Полярная трактриса |
| | § 7. | Квадратриса Динострата |
| | § 8. | Кохлеоида |
| | § 9. | Показательная кривая |
| | | 1. | Свойства.
2. Кривая Гаусса.
3. Степенно-показательные кривые |
| | § 10. | Кривая затухающих колебаний |
| | § 11. | Циклоида |
| | | 1. | Геометрические свойства.
2. Механические свойства.
3. Трохоиды.
4. Историческая справка |
| | § 12. | Кривые Штурма |
| | | 1. | Качение параболы и эллипса по прямой.
2. Кривые Мангейма |
| | § 13. | Эвольвента окружности |
| | | 1. | Свойства.
2. Обобщенная эвольвента окружности |
| | § 14. | Погонная линия |
| | § 15. | Кривые Рибокура |
| | § 16. | Клофоида |
| Глава VIII. | Дополнительные сведения |
| | § 1. | Эволюты и эвольвенты и их обобщения |
| | | 1. | Эволюты и эвольвенты.
2. Эволютоиды.
3. Эволюта Браудэ
4. Эллиптические эволюта и эвольвента |
| | § 2. | Параллельные кривые |
| | § 3. | Катакаустики |
| | § 4. | Подэры, подоиды, изооптические кривые |
| | | 1. | Подэры.
2. Негативные подэры.
3. Подоиды.
4. Изооптические кривые |
| | § 5. | Радиальные кривые
Литература
Указатель |
На русском языке почти нет книг, посвященных систематическому
обозрению арсенала кривых, имеющих важное значение в различных
областях знаний и в практике.
Общие теоретические положения самой математики, задачи геометрического
характера, задачи из области механики, физики, естествознания
и техники – вот та почва, на которой развилось учение
о кривых. Геометрические и механические свойства кривых используются
в различных механизмах, деталях машин, строительных конструкциях,
в оптике, в изобразительном искусстве, в архитектуре,
в теории и практике геометрических построений, в черчении и т.д.
Некоторые кривые непосредственно реализуются в физических явлениях,
в природе и в обыденной жизни. Поэтому даже общее
знакомство с отдельными кривыми и их свойствами возбуждает особый
интерес, развивает математическое мышление и обогащает сознание
многообразными связями математической теории с конкретным
опытом.
С этой точки зрения книга, посвященная вопросам общей теории
кривых и описанию замечательных свойств и особенностей формы
отдельных кривых, может быть полезной и для преподавателей и для
студентов. Первые найдут в ней справочный материал для составления
оригинальных задач, вторые получат обильный материал для
углубления своих познаний и для рефератов в математическом
кружке.
При современном уровне развития технической мысли имеется
также нужда в справочном материале о кривых, с которыми встречаются
инженеры в своей практической и исследовательской работе.
Можно полагать, что книга о кривых будет полезной и для них.
В главах I, II, III и V изложен материал, относящийся к общей
теории кривых. Здесь приводится исторический очерк развития учения
о кривых, рассматриваются вопросы классификации кривых, способы
их преобразований, даются общие сведения об алгебраических
кривых произвольного порядка и, в частности, о кривых 3-го и 4-го
порядков.
Основная часть книги (главы IV, VI и VII) посвящена описанию
отдельных кривых (или видов кривых), замечательных но своим
свойствам. Одни из этих кривых интересны в теоретическом отношении,
другие находят практическое применение, третьи обладают оригинальными
особенностями формы, четвертые играли ту или иную роль
в истории математики.
При изложении материала, посвященного этим замечательным
кривым, можно было многие свойства их получить сразу как отражение
общих свойств кривых, например, 3-го или 4-го порядков. Автор
предпочел, однако, преследуя интересы втузовского преподавания
математики, не ссылаться на общие предложения теории кривых,
а рассматривать свойства каждой из замечательных кривых особо.
В основу систематики кривых было положено обычное подразделение
их на алгебраические и трансцендентные. Последовательность
рассмотрения отдельных кривых в каждой из этих групп определялась
или их конструктивными связями, или их принадлежностью
к одному семейству, определяемому по тому или иному признаку.
Такой принцип позволил придать изложению как бы непрерывный
характер – каждая следующая кривая связывалась, по мере возможности,
с рассмотренными ранее кривыми теми или иными степенями
родства. Обнаруживанию таких связей между отдельными, иногда
весьма различными по своей природе кривыми уделялось большое
внимание на протяжении всей книги. Помимо непосредственной значимости
такой систематики, она оказалась выгодной и в отношении
компактности изложения. Достаточно было, например, обнаружить,
что лемниската Бернулли относится к семейству синусоидальных
спиралей, как тотчас появлялась возможность многие ее свойства
формулировать сразу как свойства, присущие всем синусоидальным
спиралям.
Последняя глава книги посвящена рассмотрению общих вопросов,
относящихся к теории эволют и эвольвент, параллельных кривых,
катакаустик, изооптических и радиальных кривых.
Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность
профессору А.П.Нордену – редактору этой книги – за его
ценные замечания и советы, которыми я воспользовался при подготовке
рукописи к изданию. Ю.И.Левину выражаю большую признательность
за тщательный просмотр рукописи и устранение ряда погрешностей.
А.Савелов
Савелов Алексей Александрович Кандидат педагогических наук. После окончания аспирантуры МГУ имени М. В. Ломоносова работал в Новосибирском институте военных инженеров транспорта (ныне Сибирский государственный университет путей сообщения) на кафедре высшей математики: с 1933 г. ассистентом, с 1936 г. — доцентом, в 1938–1968 гг. был заведующим кафедрой (с перерывом в 1941–1944 гг.).
