|
Оглавление
От редактора перевода
Предлагаемая вниманию читателя книга А.Френкеля и И.Бар-Хиллела "Основания теории множеств" представляет собой весьма полный обзор результатов, полученных в основаниях теории множеств ко времени выхода книги (1958 г.); кроме того, в ней излагаются все те концепции оснований математики, которые были сколько-нибудь развиты в литературе к концу 1957 г. А.Френкель известен прежде всего как один из авторов весьма распространенной и важной системы аксиом Цермело–Френкеля для теории множеств. (В настоящей книге эта система называется системой Цермело, или просто Z.) Ему принадлежит заслуга введения "аксиом подстановки" в эту систему. Он известен и другими достижениями в аксиоматической теории множеств – так, ему принадлежит идея метода автоморфизмов универсальной области, используемая обычно для доказательства независимости аксиомы выбора и т.п. И.Бар-Хиллел является известным специалистом в области семиотики, его имя широко известно лингвистам; в то же время у него имеются важные идеи в области теории определений (например, ему принадлежит замечание о том, что круги в определениях часто можно преодолеть, придав таким "порочным" определениям форму рекурсивных). Настоящая книга является единственной монографией по основаниям теории множеств, появившейся за последние десятилетия и не связанной слишком тесно с какой-либо определенной концепцией. (В других книгах, в которых обстоятельно трактуется аксиоматическое построение теории множеств, а также математики на ее основе – например, в "Logic for mathematicians " Россера и "Mathematical Logic" и "Set theory and its logic" Куайна, – исследование ограничено системой New Foundations и родственными ей системами. Превосходная монография Бернайса "Axiomatic Set Theory" посвящена исключительно теоретико-множественной системе Бернайса. Известную брошюру Мак-Нотона и Хао Вана "Аксиоматические системы теории множеств" трудно назвать монографией.) Следует заметить, что авторы, как правило, воздерживаются от изложения сколько-нибудь сложных доказательств; книга, в которой разносторонний обзор исследований по основаниям теории множеств сопровождался бы достаточно подробным изложением доказательств имеющихся теорем, еще никем не была написана. (Автор этих строк надеется, что этот пробел будет вскоре восполнен.) В некоторых случаях авторы трактуют вопросы слишком бегло (это относится к работам об аксиоматиках для New Foundations). В связи с этими проблемами читателю рекомендуется продолжить изучение рассматриваемых вопросов, руководствуясь обширной библиографией, содержащейся в конце этой книги. Эта библиография представляет собой большую самостоятельную ценность. Переводчик и редактор перевода стремились охватить в дополнительной библиографии, составленной к русскому изданию, литературу, появившуюся начиная с 1958 г., с той же полнотой, которая была достигнута авторами по отношению к более раннему периоду. Конечно, результаты и концепции, возникшие начиная с 1958 г., не могли быть отображены авторами. Об этих результатах и концепциях (в частности о принадлежащей автору этих строк ультраинтуиционистской концепции обоснования системы Цермело–Френкеля) сообщается в примечаниях переводчика и редактора перевода. Разумеется, эти примечания не претендуют на исчерпывающий характер. Важнейшим из упомянутых результатов является результат Коэна (1963–64) о независимости аксиомы выбора и континуум гипотезы в системе Цермело–Френкеля. А.С.Есенин-Вольпин
Предисловие
Эта книга появилась ровно полстолетия спустя после того, как (в 1908 г.) теория множеств в своей первоначальной канторовской форме, испытав сильные потрясения со стороны антиномий, была коренным образом реконструирована Брауэром, Расселом и Цермело. Основное содержание книги составляет описание этих весьма различных и независимо разработанных подходов со всеми их разветвлениями и последующим сближением. Книга задумана как серьезный учебник для аспирантов-математиков и философов, до некоторой степени знакомых с элементами теории множеств и – желательно, но не обязательно – с элементами символической логики; она может также служить справочником для тех, кто хочет заниматься исследованиями по основаниям теории множеств. Однако мы хотели бы предостеречь читателя, чтобы он не читал (и не цитировал) последний, "философский" параграф, прежде чем он усвоит содержание всей книги. Не случайно этот параграф помещен в конце книги. В 1952 г. старший из авторов в предисловии к Abstract Set Theory (1953) сообщил о предполагаемой публикации специального дополнительного тома, посвященного обзору различных аспектов теории множеств, в частности всех связанных с ней логических проблем. В соответствии с указанной целью в библиографию к Abstract Set Theory были включены многочисленные работы, опубликованные до 1950 г., относящиеся к проблемам, которые предполагалось обсудить в последующем томе. Тем временем, однако, появилось несколько превосходных работ как на английском, так и на других языках. Ряд из них носит характер учебников по математической логике, метаматематике и основаниям математики; другие представляют собой монографии, в которых рассматриваются избранные вопросы этих дисциплин. Из учебников упомянем только Introduction to the foundations of mathematics Уилдера (1952), Introduction to metamathematics Клини (1952), Logic for mathematicians Poccepa (1953) и Introduction to mathematical logic Чёрча (1956); из монографий: Sentences undecidable in formalized arithmetic Мостовского (1952), Undecidables theories Тарского (совместно с Мостовским и Р.М.Робинсоном) (1953), Маthematische Logik Гермеса и Шольца (1952), Теорию алгорифмов Маркова (1954) и Les limitations internes der formalismes Ладриера (1957). Это отрадное обстоятельство позволило нам значительно сузить рамки настоящей книги. В гл.III и V вместо предполагавшегося ранее совершенно самостоятельного и вполне исчерпывающего обзора вопросов математической логики, метаматематики и семантики обсуждаются теперь лишь некоторые, важнейшие из этих вопросов, уже рассмотренных в упомянутых книгах; кроме того, излагаются точки зрения, не охваченные этими книгами. Intuitionism Рейтинга (1956) позволил ограничить гл.IV обсуждением самых основ интуиционизма. Аксиоматические основания теории множеств, которым посвящена гл.II, рассматриваются тем не менее во всех деталях; вся глава написана так, чтобы ее мог прочесть начинающий, знакомый лишь с началами теории Кантора. Наконец, гл.I оказалось возможным свести к минимуму, достаточному, чтобы дать читателю представление о важности антиномий как факторов неприятных и в то же время плодотворных. Хотя в результате всех этих изменений данная книга утратила первоначально задуманный характер независимого и энциклопедического изложения всех различных аспектов оснований теории множеств, мы надеемся, что эта потеря окупается представившейся возможностью потратить часть сэкономленного места на подробное рассмотрение ряда старых, забытых точек зрения или совсем недавних нововведений. Повторения в книге более часты, чем это обычно принято. Мы полагаем, что многие читатели предпочтут эти повторения постоянным внутренним ссылкам. Авторы не питают иллюзий, что им удалось соблюсти надлежащие пропорции. В этой книге можно было бы перепечатать всю цитируемую в ней библиографию из ранее вышедшей книги (что и сделано в настоящем, русском издании; см. прим. 2 на стр.13. – Прим. перев.). Однако, чтобы избавить читателя от необходимости постоянно обращаться к этой библиографии, было принято следующее компромиссное решение. Приложенная к этой книге библиография содержит в дополнение ко всем важнейшим публикациям, появившимся после 1950 г., те из наиболее важных ранее вышедших работ, на которые мы часто ссылаемся; в отношении же менее важных для наших целей публикаций читатель может обратиться к библиографии из более раннего тома, причем в предстоящем в скором времени втором его издании эти публикации для удобства читателей будут специально отмечены. Хотя большинство цитируемых книг и статей были действительно прочитаны по крайней мере одним из авторов, в отношении некоторых работ, особенно опубликованных на недостаточно знакомых авторам языках (таких, как русский, польский, венгерский, финский или скандинавские языки), пришлось в основном полагаться на рефераты в The Journal of Symbolic Logic; авторы с благодарностью признают оказанную им тем самым помощь. Символизм математической логики в книге в целом используется довольно скупо; но наиболее важные определения и аксиомы, а также некоторые теоремы формулируются (и) в символической записи. Более широко символические формулировки используются в гл.III и V, но даже там они в основном относятся к абзацам, напечатанным мелким шрифтом, которые могут быть без особого ущерба опущены. Некоторые сведения по символической логике приведены на стр.37 и далее и на стр.324 и сл. Авторы обычно избегали выражать свое собственное мнение по спорным вопросам. Лишь в весьма редких случаях, в частности в связи с некоторыми интуиционистскими тезисами, они сочли полезным добавить и свою собственную критику. Гл.I, III и V в. основном написаны младшим автором (И.Б.-Х.), а гл.II и IV – старшим (А.А.Ф.); но за всю книгу в целом мы несем общую ответственность. Мы хотим выразить благодарность нашим иерусалимским коллегам Азриэлю Леви и Абрахаму Робинсону, прочитавшим часть корректур и давшим нам ценные советы, и М.Д.Франку, заместителю директора издательства North-Holland Publishing Company, за оказанную им помощь при опубликовании книги. А.А.Ф., И.Б.-Х.
Иерусалим Об авторе
 Френкель Александр Адольфович Видный отечественный экономист, главный научный сотрудник Центра макроэкономического анализа и прогнозирования Института экономики РАН. Доктор экономических наук (1979), профессор (1989). Выпускник Московского государственного экономического института (1959). Дипломную работу писал у выдающегося советского экономиста А. М. Бирмана (специальность «финансы»). Учился в аспирантуре в МИНХ имени Г. В. Плеханова (1961–1965) по специальности «математическая статистика». В 1959 г. работал в Пролетарском отделении МГК «Промстройбанк», в 1959–1961 гг. — в Государственном проектном институте «Гипрохолод», в 1963–1994 гг. — в вычислительном центре ЦСУ РСФСР (с 1991 г. — в РВЦ Госкомстата России), с 1994 г. по настоящее время — в Институте экономики РАН.
В середине 1960-х гг. возглавил группу в вычислительном центре ЦСУ РСФСР, которая стала одной из ключевых в развитии математико-статистических методов в экономике. Являясь на протяжении 35 лет (1982–2016 гг.) профессором кафедры математической статистики и эконометрики Московского экономико-статистического института (с начала 2000-х гг. — университета), передавал свои обширные знания студентам и аспирантам. Свыше трех десятков его учеников успешно защитили кандидатские диссертации. А. А. Френкель является автором более 1000 работ, вышедших в центральных советских и зарубежных издательствах и наиболее авторитетных отечественных журналах. Ряд статей и книг выходили за рубежом: в США, Польше, Венгрии, Италии, Германии, Англии, Кубе. Его работа «Математические методы анализа динамики и прогнозирования производительности труда», вышедшая в 1972 г., стала первой в стране книгой, посвященной анализу и прогнозированию временных рядов. В 1997 г., по опросам европейских журналистов (Германия, Франция, Австрия, Италия, Бельгия, Нидерланды), пишущих о российской экономике, А. А. Френкель был признан лучшим экономистом России. В 2016 г. ему был присужден диплом Европалаты за «исключительные профессиональные достижения» и вручена золотая медаль. Награжден медалями «Ветеран труда» (1987) и «В память 850-летия Москвы» (1997), знаком Госкомстата РФ «За вклад в развитие государственной статистики» (2016), почетными грамотами ЦСУ СССР (1986), Госкомстата РФ (2002), Российской академии наук (2010; 2020). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||