Немыцкий В.В., Степанов В.В. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
(Репринт 2-ого существенно переработанного и дополненного издания). Изд. 4

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

Прошло всего два года с тех пор, как вышло первое издание нашей книги, однако мы решили подвергнуть многие главы коренной переработке. Дело в том, что хотя книга вышла в 1947 году, но ее составление относится еще к предвоенному времени, между тем, в последнее десятилетие был получен целый ряд новых результатов качественной теории, и стали ясными те направления, по которым идет ее приложение к практике. В связи с этим оказалось мало обоснованным рассматривать лишь такие системы дифференциальных уравнений, которые не содержат явно "времени" в правых частях. Таким образом подвергся коренной переработке материал, заключающийся во введении, первой и второй главах. В эти главы включено изложение многих важных теорий, в первую очередь основ теории А.М.Ляпунова. Внесены значительные дополнения в теорию динамических систем: эти дополнения отражают достижения советских математиков. Относительно мало изменена лишь глава VI "Системы с интегральным инвариантом".

Авторы надеются, что в этом виде книга, во-первых, ярче выявит большие достижения русской науки в качественной теории и, во-вторых, станет более полезной для прикладников.

В заключение отметим, что материал различных глав в равной мере перерабатывался обоими авторами, поэтому уже нельзя указать, какие главы написаны одним автором и какие другим.

Монография в этом издании по-прежнему тесно связана с работой руководимого авторами семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете; многие новые теоремы и доказательства принадлежат молодым участникам этого семинара, что каждый раз оговорено в тексте.

Май 1949 г.

Предисловие к первому изданию

Настоящая монография возникла в результате совместной работы авторов в качестве руководителей ряда семинаров в Московском университете. Это в значительной мере определило содержание книги. Она не ставит своей целью дать энциклопедию качественных методов в теории дифференциальных уравнений; выбор материала обусловлен научными интересами авторов и общим направлением московской математической школы. Разбираемые в этой книге темы объединены одной общей идеей: по существу это теория геометрических и даже, точнее, топологических свойств семейства интегральных кривых. Некоторым отступлением от этой программы являются главы II и III, где рассматриваются также аффинные инварианты этого семейства, а также глава V, где мы имеем дело с метрической геометрией семейства интегральных кривых. Ввиду такого плана монографии в ней, в частности, совершенно не представлена столь богатая результатами и приложениями теория устойчивости по Ляпунову, бесспорно относящаяся к качественной теории дифференциальных уравнений.

В заключение укажем, что хотя работа над книгой проходила в тесном контакте между авторами, но отдельные главы написаны отдельными авторами. Именно: введение и гл.IV и V написаны В.В.Степановым, а гл.I, II и III – В.В.Немыцким.

Введение

Классический период развития теории дифференциальных уравнений, начавшийся с Ньютона и Лейбница и в основном завершившийся во 2-й половине XIX века работами Софуса Ли, ставил своей основной задачей нахождение общего решения возможно широких классов уравнений, в элементарных функциях или при помощи выражений, содержащих квадратуры от элементарных функций. Но очень скоро обнаружилось, что для подавляющего большинства уравнений и систем уравнений так поставленная задача неразрешима; таким образом, на этом пути оказалось невозможным построить общую теорию дифференциальных уравнений. Между тем задачи математического естествознания, главным образом механики и в особенности небесной механики, требовали разрешения часто весьма сложных систем уравнений.

В связи с этими требованиями математической практики получили широкое развитие методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые и до настоящего времени применяются каждый раз, когда для конкретной задачи нужно получить числовой ответ. Существенным дефектом этих методов является то, что они принципиально дают только одно частное решение; для нахождения другого частного решения нужно все вычисления производить заново. Поэтому численные методы не могут служить базой для создания общей теории дифференциальных уравнений.

Классическое направление дало фундамент для общей теории, в основном, линейных дифференциальных уравнений: известные теоремы о характере зависимости общего решения от постоянных интеграции и от начальных данных, получение общего решения из частных (Лагранж) и т.д. Теория нелинейных дифференциальных уравнений ведет свое начало от Коши (первая половина XIX в.), который дал доказательство существования и единственности, при известных условиях, решения дифференциального уравнения – как методами теории функций комплексного переменного (применением мажорантных функций), так и методами анализа в действительной области (аппроксимация интегральных кривых полигональными линиями). Дальнейшие существенные результаты принадлежат в направлении комплексного переменного – Пуанкаре (исследование зависимости решения от параметра) и Пенлеве (зависимость решения от начальных условий), а в действительной области – Пикару (метод последовательных приближений и его следствия) и Линделефу (дифференцируеммость по начальным данным).

Следует отметить, что теоремы существования немедленно нашли и практическое применение в виде приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Степенные ряды и пикаровские приближения не только в пределе дают точное решение данных уравнений, но и позволяют приблизиться к нему с любой степенью точности, причем часто можно усмотреть из этих приближений характер зависимости от начальных значений и параметров.

Наиболее важное место в общей теории дифференциальных уравнений занимает качественная теория, основателем которой является Пуанкаре. В своих работах Пуанкаре, начиная с 80-х годов XIX века, пришел к разработке качественных методов в связи с вопросами небесной механики и космогонии, в которых важно не только определить характер решений в течение заданного конечного интервала времени, но также иметь сведения о поведении решения при неограниченном возрастании времени. Начиная с Пуанкаре, исследования этого рода ведутся главным образом по отношению к системам уравнений, правые части которых не зависят явно от независимого переменного t (времени) – эти системы впоследствии (Биркгоф) получили название динамических систем. При этом без ограничения общности можно ограничиться (при помощи введения вспомогательных зависимых переменных) случаем системы 1-го порядка вида

dx_i / dt = X_t(x₁, x₂, ...x_n) (i = 1,2, ..., n)}. (1)

Переменные х₁, x₂, ..., x_n при этом рассматриваются как координаты точки n-мерного пространства (фазовое пространство), а решения системы (1) называются движениями.

Пуанкаре дал достаточно полную качественную картину поведения интегральных кривых системы (1) на плоскости, т.е. в случае n = 2; его исследования получили завершение в работе Бендиксона; Броуер провел те же исследования для случая, когда в системе (1) на плоскости не выполняется условие единственности. Для случая n > 2 следует отметить исследования Пуанкаре об интегральных кривых на поверхности тора, дополненные в последние десятилетия исследованиями Данжуа и X. Кнезера.

Для общего случая системы (1) Пуанкаре получил только предварительные результаты. Одновременно с Пуанкаре исследованием систем вида (1) и даже более общих, где правые части могут определенным образом зависеть от t, занимался А.М.Ляпунов. Основная проблема, которую изучал Ляпунов, это устойчивость решения уравнения (1) (главным образом решения, представляющего равновесие или периодическое движение) на бесконечном интервале временной оси при малых изменениях начальных условий, определяющих данное решение.

Как для вопросов устойчивости, так и для общего качественного анализа дифференциальных уравнений большое значение имеет исследование особых точек или точек покоя системы (1). Это те точки (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., x_n⁽⁰⁾), для которых X_i (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., x_n⁽⁰⁾) = 0, i = 1, 2, ..., n. Изучение расположения интегральных кривых в окрестности особой точки, для случая n = 2, проведено Пуанкаре, Бендиксоном и другими авторами. Для общего случая исследование характера особых точек начато Пуанкаре и еще далеко не закончено. Наиболее общие результаты здесь принадлежат Перрону и И.Г.Петровскому. Кроме того, в направлении устойчивости по Ляпунову исследование окрестности особой точки далеко продвинуто работами математиков Казанской школы (Н.Г.Четаев, И.Г.Малкин, Г.В.Каменков, К.П.Персидский).

Теория динамических систем, намеченная Пуанкаре, получила дальнейшее широкое развитие в работах Биркгофа. Можно сказать, что Биркгоф положил основание общей теории динамических систем, выделив в них особенно интересные классы движений – центральные и рекуррентные движения. Биркгоф также продолжил изыскания Пуанкаре о существовании периодических решений в окрестности данного периодического решения. Он еще больше, чем Пуанкаре, пользуется топологическими методами (принцип неподвижной точки и др.).

Среди общих динамических систем большое развитие получила теория динамических систем, обладающих интегральным инвариантом; в частности, к этому классу относятся системы уравнений Гамильтона в классической динамике. Важная роль этого класса динамических систем отмечена еще Пуанкаре, который доказал для них "теорему возвращения". Дальнейший крупный успех этой теории опять связан с именем Биркгофа – с его знаменитой эргодической теоремой (1932 г.), имеющей большие приложения в области статистической механики. Вопросу о том, в каких системах может быть введен интегральный инвариант, посвящен ряд работ Биркгофа, Э.Гопфа, А.А.Маркова и др.

Начиная с 30-х годов, в развитии теории динамических систем приняли широкое участие многие советские математики: А.А.Марков, В.В.Степанов, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Н,Н.Боголюбов, Н.М.Крылов, В.В.Немыцкий, Г.Ф.Хильми, М.В.Бебутов, А.Г.Майер и др. Работы этих ученых привели к созданию ряда основных положений теории и привлекли к ее разработке новые современные математические методы. Некоторые результаты этих авторов читатель найдет в главах V и VI настоящей книги. Роль советской науки в качественной теории дифференциальных уравнений сказалась не только в том, что нашими учеными разрабатывались теоретические вопросы, но также и в том, что в СССР впервые широко использованы глубокие результаты качественной теории для решения вопросов физики и механики.

Л.И.Мандельштам и А.А.Андронов, и их ученики указали и широко развили методы применения качественной теории к изучению проблем нелинейных колебаний, Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов создали целое направление в теоретической технике, которое получило название "нелинейной механики". При решении технических вопросов эти авторы и их последователи широко применяли качественную теорию дифференциальных уравнений. Последователи А.М.Ляпунова – Н.Г.Четаев, Н.Д.Моисеев показали на возможность широких технических приложений методов Ляпунова, а Г.Н.Дубошин и Н.Д.Моисеев дали приложения качественной теории к решению конкретных вопросов небесной механики. Недавно возникшие исследования по теории регулирования А.А.Андронова и Г.В.Булгакова тоже основаны на качественной теории дифференциальных уравнений. Все эти работы не только применяют известные теоремы теории, но ставят перед теорией совершенно новые задачи. Мы находимся, несомненно, на пороге нового блестящего развития качественной теории дифференциальных уравнений, развития, которое будет тесно связано с задачами техники и естествознания.

Об авторах

Степанов Вячеслав Васильевич

Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР. Родился в Смоленске, в семье учителей. После окончания Московского университета продолжил обучение в Геттингене (Германия). Всю жизнь работал в Московском университете, где многие годы заведовал кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического факультета, руководил Институтом механики. Доктор физико-математических наук, профессор, вице-президент Московского математического общества. Лауреат Государственной премии СССР.

В. В. Степановым получен ряд важнейших результатов в различных разделах математики, но наиболее велики его заслуги в развитии теории и приложений дифференциальных уравнений. Он является одним из основоположников советской школы в области качественной теории дифференциальных уравнений. Его книга «Качественная теория дифференциальных уравнений» (в соавт. с В. В. Немыцким; переизд. в URSS) была переведена на английский язык и издана в США. Классический труд В. В. Степанова — «Курс дифференциальных уравнений» — многократно переиздавался и в наши дни является одним из лучших учебников в этой области математики.