Самарский А.А.Ак★★, Гулин А.В. Устойчивость разностных схем

Оглавление

Предисловие

Основные обозначения, принятые в книге

Введение

Глава I. Разностные схемы

§ 1. Примеры разностных аппроксимаций

1. Обозначения (18). 2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражении (19). 3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка (21). 4. Случай цилиндрических и сферических координат (24). 5. Краевая задача для уравнения четЕертого порядка (26)

§ 2. Свойства некоторых разностных операторов

1. Линейные операторы в нормированных пространствах (29). 2. Операторы в гильбертовом пространстве (30). 3. Некоторые разностные тождества и неравенства (34). 4. Оператор второй разностной производной (37). 5. Третья краевая задача (40). 6. Разностные операторы первого порядка (42). 7. Разностные операторы четвертого порядка (47). 8. Случай комплексных пространств сеточных функций (51). 9. Функции разностных операторов (53)

§ 3. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем

1. Устойчивость и сходимость стационарных задач (61). 2. Случай неравномерной сетки (65). 3. Разностные схемы для уравнения переноса (67). 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности (72). 5. Метод энергетических неравенств (74). 6. Примеры трехслойных разностных схем (78). 7. Уравнение колебаний стержня (81). 8. Нестационарное уравнение Шредингера (84)

Глава II. Устойчивость двухслойных разностных схем

§ 1. Устойчивость по начальным данным и по правой части

1. Общие понятия (87). 2. Канонические формы двухслойных и трехслойных разностных схем (89). 3. Устойчивость двухслойной схемы (91). 4. Устойчивость по начальным данным и по правой части (93). 5. Связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части (95)

§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным

1. Операторные неравенства (98). 2. Оценки норм операторов в гильбертовом пространстве (101). 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем в действительном гильбертовом пространстве (103). 4. Случай несамосопряженных операторов (107). 5. Метод энергетических неравенств (109). 6. Перестановочные операторы (111). 7. Схема с весами (113). 8. Устойчивость разностных схем в комплексном гильбертовом пространстве (115). 9. Устойчивость разностных схем с переменными операторами (122)

§ 3. Примеры исследования устойчивости разностных схем

1. Общие замечания (129). 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности (130). 3. Уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами (138). 4. Уравнение теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах (142). 5. Разностные схемы для уравнения переноса. Задача Коши (145). 6. Краевая задача для уравнения переноса (150). 7. Замечания (155)

Глава III. Устойчивость двухслойных разностных схем по правой части

§ 1. Априорные оценки для двухслойных разностных схем

1. Сведение схемы общего вида к явной схеме (158). 2. Метод выделе-ления стационарных неоднородностей (161). 3. Схемы с весами (164). 4. Метод энергетических неравенств (169). 5. Примеры исследования сходимости разностных схем (177)

§ 2. Разностные схемы с несамосопряженными операторами

1. Несамосопряженный оператор А (184). 2. Кососимметричный оператор А (189). 3. Случай знаконеопределенного оператора А (191)

§ 3. Другие методы исследования устойчивости

1. Метод разделения переменных (194). 2. Асимптотическая устойчивость (201). 3. Пример асимптотически устойчивой схемы (205). 4. Другие априорные оценки (208). 5. Замечания и примеры (214)

Глава IV. Устойчивость многослойных разностных схем

§ 1. Достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных разностных схем

1. Пространство Нт (218). 2. Определение устойчивости многослойной разностной схемы (220). 3. Линейные операторы в пространстве Нг (221). 4. Исследование устойчивости трехслойных разностных схем методом энергетических неравенств (224). 5. Представление трехслойной схемы в виде двухслойной (227). 6. Достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем (230). 7. Устойчивость в более простых нормах (233). 8. Устойчивость по правой части (236). 9. Трехслойные схемы с весами (238). 10. Примеры трехслойных разностных схем (241)

§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем

1. Общий вид условий устойчивости (244). 2. Приложение к двухслойным схемам (248). 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем по начальным данным (252). 4. Устойчивость по правой части. Случай р=1 (267). 5. Случай произвольного р > 0 (260). 6. Устойчивость трехслойных разностных схем с несамосопряженными операторами (263). 7. Другие теоремы об устойчивости трехслойных схем с несамосопряженными операторами (268)

§ 3. Устойчивость четырехслойных и пятислойных разностных схем

1. Канонический вид и достаточные условия устойчивости четырехслойных разностных схем (273). 2. Канонический вид и достаточные условия устойчивости пятислойных разностных схем (274). 3. Устойчивость обыкновенных разностных уравнений (278). 4. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным четырехслойных и пятислойных разностных схем (280). 5. Устойчивость по правой части (283)

§ 4. Примеры исследования устойчивости разностных схем

1. Разностные схемы для телеграфного уравнения и уравнения Шреднн-гера (285). 2. Схемы для уравнения типа С. Л. Соболева и для уравнения колебаний стержня (290). 3. Уравнения с особенностями (292). 4. Трехслойные разностные схемы с несамосопряженными операторами (294). 5. Схема с весами для уравнений акустики (298). 6. Двумерная система уравнений акустики (301). 7. Система уравнений акустики с учетом теплопроводности (304)

Глава V. Дополнение

§ 1. Разностные схемы для многомерных задач математической физики

1. Общие замечания (308). 2. Простейшие разностные эллиптические операторы (311). 3. Многомерные схемы (314). 4. Схемы переменных направлений (317). 5. Двухслойные схемы повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности (320). 6. Трехслойные экономичные схемы (325). 7. Аддитивные схемы (331). 8. Достаточные условия устойчивости аддитивных схем (333). 9. Примеры аддитивных схем (335)

§ 2. Принцип максимума. Априорные оценки в равномерной метрике

1. Каноническое уравнение (339). 2. Принцип максимума и априорные оценки (342). 3. Примеры (348). 4. Многомерная задача (355). 5. Применение принципа максимума для исследования устойчивости в С простейшей аддитивной схемы (357)

§ 3. Обзор работ по устойчивости разностных схем

1. Введение (362). 2. Исследование устойчивости разностных схем методом преобразования Фурье (366). 3. Библиографический обзор (370). 4. Гиперболические системы уравнений (373). 5. Другие способы исследования устойчивости разностной задачи Коши (377). 6. Исследование устойчивости нестационарных краевых задач (380). 7. Принцип замороженных коэффициентов (382). 8. Аналогия с итерационными методами (387). 9. Связь с теорией устойчивости по Ляпунову (390)

Задачи

Литература

Предметный указатель

Об авторах

Самарский Александр Андреевич

Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: «Уравнения математической физики» (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), «Теория разностных схем» (М., 1989, 3-е изд.).

Гулин Алексей Владимирович

Род. в 1942 г. Профессор кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор Московского университета. Область научных интересов связана с исследованием численных методов решения задач математической физики, в особенности с теорией устойчивости разностных схем. Автор более 130 научных работ, в том числе учебных пособий (в соавторстве с А. А. Самарским) «Численные методы» (М., 1989) и «Численные методы математической физики» (М., 2003, 2-е изд.).