URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Мантуров В.О. Лекции по теории узлов и их инвариантов
Id: 1847
 
375 руб.

Лекции по теории узлов и их инвариантов

URSS. 2001. 304 с. Мягкая обложка. ISBN 5-8360-0287-8.

 Аннотация

В книге изложены как классические результаты теории узлов, так и знаменитые и замечательные новейшие идеи последних лет, обуславливающие бурное развитие этой теории (полиномы Джонса, Кауфмана, HOMFLY, инварианты Васильева, интеграл Концевича, теория Бар-Натана, теория кос, теорема Маркова, алгоритм Деорнуа, теория виртуальных узлов). Отдельно изложен авторский подход к разным задачам теории узлов, основанный на понятии d-диаграммы.

Изложение не предполагает у читателя специальных знаний, за исключением начал элементарной топологии. Книга может служить учебником для начинающих и руководством для лиц, желающих постичь современный уровень этого раздела математики, ознакомившись со многими строгими доказательствами краеугольных теорем.


 Предисловие

Теория узлов занимает в современной математике видное место, причем самые яркие результаты в этой области были получены за последние два десятилетия. За исследования именно в этой области, за последние 11 лет, работы Джонса, Уиттена, Дринфельда и Концевича были оценены высшей наградой для математиков -- филдсовскими медалями.

Целью книги является доступное для начинающих математиков достаточно полное описание современного состояния теории узлов и кос с полными доказательствами в таких разделах теории узлов и кос, как полиномиальные инварианты узлов (в том числе знаменитый полином Джонса), инварианты Васильева, интеграл Концевича, теорема Маркова, алгоритм Деорнуа. Мы приводим также точное представление группы кос, полученное в 1999--2000 годах в.

В книге много внимания уделяется новой теории кодирования узлов с помощью так называемых d-диаграмм, описанной в работах автора, а также теории виртуальных узлов, изобретщнной недавно Кауфманом и бурно развивающейся в настоящее время. В доказательствах по мере надобности используются сведения из других -- как правило, очень красивых, -- математических теорий: мультипликативного интеграла, теории связностей, алгебр Хопфа, LD-систем и др. Содержание книги не покрывается существующими монографиями и учебниками по теории узлов.

Книга поделена на тематические части, первая из которых представляет собой описание теории узлов до изобретения инвариантов Васильева, вторая -- теорию кос, третья -- теорию инвариантов Васильева, включая знаменитую конструкцию Концевича, позволяющую представить все инварианты Васильева в виде замечательного (мультипликативного) интеграла, четвщртая -- теорию d-диаграмм, пятая -- теорию виртуальных узлов и последняя, состоящая из одной лекции, содержит основные конструкции двух симпатичных теорий -- лежандровых узлов и узлов в трщхмерном проективном пространстве.

Изложение математического материала достаточно замкнуто; книга вполне доступна студентам-математикам, начиная с младших курсов.

Настоящая книга представляет собой запись курса лекций "Введение в теорию узлов и их инвариантов", прочитанного для студентов, аспирантов и преподавателей механико-математического факультета Московского государственного университета в 1999--2000 учебном году и читаемого в 2000--2001 учебном году. Вся книга разбита на лекции -- от нулевой до двадцать четвщртой в точном соответствии с тем, как они были прочитаны.

Некоторые лекции были также прочитаны в Институте теоретической и экспериментальной физики, Москва, июль-август 2000.

Важную роль в написании настоящей книги сыграл семинар "Узлы и теория представлений", который, начиная с февраля 2000 года, автор ведет совместно с В.В.Трофимовым на механико-математическом факультете МГУ, и на котором обсуждались актуальные задачи современной теории узлов.

Выражаю благодарность моему отцу О.В.Мантурову и моему научному руководителю академику А.Т.Фоменко за постоянное внимание к моим работам, за ряд ценных замечаний и постоянную поддержку, оказанную мне в работе над книгой.

Я благодарю своих рецензентов, А.Б.Сосинского и А.В.Чернавского, способствовавших существенному улучшению текста книги.

За время написания книги для меня были полезны обсуждения и переписка с В.А.Васильевым, В.В.Трофимовым, П.Деорнуа, В.В.Вершининым, Дж.Бирман, Х.Цишангом, В.П.Лексиным, которым я также рад выразить благодарность.

Наконец, я благодарю своих слушателей, особенно А.В.Щепетилова, за ряд важных и существенных замечаний, которые помогли мне серьщзно улучшить текст, а также И.М.Никонова, П.С.Попова, В.В.Серегина, Е.В.Теплякова, А.С.Копылова, А.А.Гайфуллина, М.Б.Скопенкова. В.О.Мантуров март 2001


 Оглавление

Предисловие

I. Узлы, зацепления и полиномиальные инварианты  

0. Введение. Основные определения
1. Движения Рейдемейстера. Арифметика узлов
 § 1. Полигональные узлы и движения Рейдемейстера
 § 2. Арифметика узлов и поверхности Зейферта
2. Торические узлы и зацепления. Простейшие инварианты узлов и зацеплений
 § 1. Торические узлы
 § 2. Простейшие инварианты узлов и зацеплений
3. Фундаментальная группа
 § 1. Отступление. Примеры развязывания узлов
 § 2. Фундаментальная группа дополнения как инвариант узла
4. Полиномы Конвея и Джонса
 § 1. Полином Конвея
 § 2. Полином Джонса
 § 3. Таблица узлов
5. Свойства полинома Джонса. Полиномиальные инварианты
 § 1. Свойства полинома Джонса
 § 2. Другие полиномы, основанные на соотношениях типа Конвея
 § 3. Полином Кауфмана от двух переменных
6. Полином Александера

II. Теория кос  

7. Группы кос и их представления
 § 1. Четыре определения группы кос
  1.1. Геометрическое определение
  1.2. Топологическое определение
  1.3. Алгебро-геометрическое определение
  1.4. Алгебраическое определение
  1.5. Эквивалентность четырех определений группы кос
 § 2. Крашеные косы
  2.1. Группы крашеных кос
 § 3. Представление Бурау
 § 4. Представление Крамера--Бигелова
8. Теорема Александера и алгоритм Вожеля
 § 1. Теорема Александера
 § 2. Алгоритм Вожеля
9. Алгоритм Деорнуа распознавания изотопности кос
10. Теорема Маркова. Уравнение Янга--Бакстера
 § 1. Теорема Маркова
 § 2. Уравнения Янга--Бакстера, группы кос и инварианты узлов

III. Инварианты Васильева  

11. Определение и основные свойства инвариантов Васильева
 § 1. Сингулярные узлы и определение инвариантов Васильева
 § 2. Инварианты порядков 0 и 1
 § 3. Примеры инвариантов старших порядков
12. Инварианты Васильева и полиномиальные инварианты
 § 1. Символы инвариантов, происходящих от полинома Конвея
 § 2. Выражение полиномиальных инвариантов через инварианты Васильева
 § 3. Пример инварианта, не являющегося инвариантом конечного порядка
13. Алгебра хордовых диаграмм
 § 1.Структура Алгебры Хопфа.
 § 2. Таблица размерностей пространств хордовых диаграмм
14. Формулировка теоремы Васильева--Концевича. Интеграл Концевича
 § 1. Предварительный интеграл Концевича
 § 2. Интеграл и нормировка
15. Интеграл Концевича -- универсальный инвариант узлов
16. Комбинаторные формулы для вычисления инвариантов Васильева
 § 1. Модуль Васильева
 § 2. Комбинаторные формулы Ланна
 § 3. Комбинаторные формулы Виро--Поляка

IV. d -Диаграммы  

17. Атомы и высотные атомы. Основные определения
 § 1. Атомы и высотные атомы. Критерий высотности
 § 2. Теорема об атомах и узлах
18. Атомы и d -диаграммы
 § 1. Кодирование узлов d -диаграммами
 § 2. d -диаграммы, хордовые диаграммы. Реализуемость
19. Скобочная полугруппа узлов
20. d-диаграммы, сингулярные узлы и алгебра хордовых диаграмм
 § 1. d -диаграммы и сингулярные узлы
 § 2. Квазиторические косы

V. Виртуальные узлы  

21. Виртуальные узлы и зацепления и их простейшие инварианты
22. Гауссовы диаграммы и инварианты конечного порядка виртуальных узлов
23. Виртуальные косы
 § 1. Основные определения
 § 2. Представление Бурау

VI. Прочее  

24. Узлы в  RP3 и лежандровы узлы
 § 1.Узлы в  RP3
 § 2. Фронты и лежандровы узлы
Приложения
 1. Независимость движений Рейдемейстера
 2. Нерешенные проблемы в теории узлов
Литература
Предметный указатель
Об авторе

 Об авторе

Мантуров Василий Олегович. Родился в Москве в 1979 году. Окончил Независимый московский университет в 1999 г., затем в 2000 г. - механико-математический факультет МГУ. Аспирант МГУ с 2000 года. С 1999 года читает курсы и ведет семинары на кафедре дифференциальной геометрии и приложений МГУ. Автор более десяти научных работ; участник международных конференций, в том числе ICM'98, Берлин. Пленарный докладчик на конференции памяти Г.Ф.Лаптева (Москва, 1999). Основные научные интересы: теория узлов, теория атомов (Фоменко), маломерная топология, группы и алгебры Ли, комбинаторика, минимальные сети.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце