|
Предисловие
 Теория узлов занимает в современной математике видное место, причем самые яркие результаты в этой области были получены за последние два десятилетия. За исследования именно в этой области, за последние 11 лет, работы Джонса, Уиттена, Дринфельда и Концевича были оценены высшей наградой для математиков – филдсовскими медалями. Целью книги является доступное для начинающих математиков достаточно полное описание современного состояния теории узлов и кос с полными доказательствами в таких разделах теории узлов и кос, как полиномиальные инварианты узлов (в том числе знаменитый полином Джонса), инварианты Васильева, интеграл Концевича, теорема Маркова, алгоритм Деорнуа. Мы приводим также точное представление группы кос, полученное в 1999–2000 годах в. В книге много внимания уделяется новой теории кодирования узлов с помощью так называемых d-диаграмм, описанной в работах автора, а также теории виртуальных узлов, изобретщнной недавно Кауфманом и бурно развивающейся в настоящее время. В доказательствах по мере надобности используются сведения из других – как правило, очень красивых, – математических теорий: мультипликативного интеграла, теории связностей, алгебр Хопфа, LD-систем и др. Содержание книги не покрывается существующими монографиями и учебниками по теории узлов. Книга поделена на тематические части, первая из которых представляет собой описание теории узлов до изобретения инвариантов Васильева, вторая – теорию кос, третья – теорию инвариантов Васильева, включая знаменитую конструкцию Концевича, позволяющую представить все инварианты Васильева в виде замечательного (мультипликативного) интеграла, четвщртая – теорию d-диаграмм, пятая – теорию виртуальных узлов и последняя, состоящая из одной лекции, содержит основные конструкции двух симпатичных теорий – лежандровых узлов и узлов в трщхмерном проективном пространстве. Изложение математического материала достаточно замкнуто; книга вполне доступна студентам-математикам, начиная с младших курсов. Настоящая книга представляет собой запись курса лекций "Введение в теорию узлов и их инвариантов", прочитанного для студентов, аспирантов и преподавателей механико-математического факультета Московского государственного университета в 1999–2000 учебном году и читаемого в 2000–2001 учебном году. Вся книга разбита на лекции – от нулевой до двадцать четвщртой в точном соответствии с тем, как они были прочитаны. Некоторые лекции были также прочитаны в Институте теоретической и экспериментальной физики, Москва, июль-август 2000. Важную роль в написании настоящей книги сыграл семинар "Узлы и теория представлений", который, начиная с февраля 2000 года, автор ведет совместно с В.В.Трофимовым на механико-математическом факультете МГУ, и на котором обсуждались актуальные задачи современной теории узлов. Выражаю благодарность моему отцу О.В.Мантурову и моему научному руководителю академику А.Т.Фоменко за постоянное внимание к моим работам, за ряд ценных замечаний и постоянную поддержку, оказанную мне в работе над книгой. Я благодарю своих рецензентов, А.Б.Сосинского и А.В.Чернавского, способствовавших существенному улучшению текста книги. За время написания книги для меня были полезны обсуждения и переписка с В.А.Васильевым, В.В.Трофимовым, П.Деорнуа, В.В.Вершининым, Дж.Бирман, Х.Цишангом, В.П.Лексиным, которым я также рад выразить благодарность. Наконец, я благодарю своих слушателей, особенно А.В.Щепетилова, за ряд важных и существенных замечаний, которые помогли мне серьщзно улучшить текст, а также И.М.Никонова, П.С.Попова, В.В.Серегина, Е.В.Теплякова, А.С.Копылова, А.А.Гайфуллина, М.Б.Скопенкова. В.О.Мантуров март 2001 Оглавление
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||