Рассматривается сингулярное разложение произвольной матрицы как основа современных методов решения задачи наименьших квадратов, а также смежных вычислительных задач: определение линейной зависимости между столбцами матрицы, аппроксимация матриц, решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, решение однородных систем, определение собственных векторов матрицы.
Пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений, а также для специалистов, связанных с математическими методами обработки данных.
Предисловие.........................3
Введение........................... 5
Глава 1. Линейная алгебра и теория матриц
§1.1. Векторы ж матрицы.................. 10
§1.2. Нормы векторов к матриц............... 16
Глава 2. Сингулярные числа и сингулярное разложение
матриц
§2.1. Сингулярные числа................... 20
§2.2. Теорема о сингулярном разложении.......... 21
§2.3. Обусловленность сингулярного разложения....... 27
§2.4. Линейная зависимость столбцов матрицы........ 30
§2.5. Аппроксимация матриц................ 31
§2.6'. Нахождение собственных векторов матрицы...... 33
Глава 3. Обобщенные решения системы линейных алгебраических уравнений
§3.1. Сингулярные базисы................. 43
§3.2. Системы линейных алгебраических уравнений..... 44
§3.3. Обобщенные решения системы линейных уравнений... 49
§3.4. Псевдообратная матрица............... 52
§3.5. Устойчивость нсевдорепгений............. 56
§3.6. Решение плохо обусловленных систем линейных уравнений 58
§3.7. Задача наименьших квадратов............. 59
Глава 4. Реализация сингулярного разложения матриц
§4.1. Основные ортогональные преобразования........ 67
§4.2. Q Ik алгоритм..................... 71
§4.3. Алгоритм сингулярного разложения.......... 73
§4.4. Стандартные подпрограммы сингулярного разложения. 76
Литература........................ 79
