Зубарева Н.Б., Куличкин П.А. Тайны музыки и математическое моделирование:
Алгебра или гармония?.. Гармония и алгебра! № 62. Изд. стереотип.

Содержание

Алгебра или гармония? Гармония и алгебра!

Известные слова пушкинского Сальери о "поверке алгеброй гармониих" обрели ныне популярность поистине необычайную. Еще лет двадцать-двадцать пять назад дискуссии на данную тему были уделом довольно узкого круга специалистов – сторонников математического моделирования в искусстве и их противников.

Сегодня ситуация изменилась. Появился персональный компьютер, а вместе с ним – компьютерная музыка, компьютерная живопись, компьютерная поэзия.. .Вопрос "Может ли машина сочинять?.." уже давно не поднимается. Когда компьютерная музыка стала реальностью – дискуссия в научном мире постепенно начала перемещаться в несколько иную плоскость. Противники математики с новой силой обрушились на применение количественных (т.е. фактически математических) методов для исследования явлений искусства. Нападки на точные методы, ранее единичные, сегодня стали масштабным явлением.

Позиция подобных критиков однозначна: алгебра и гармония – "две вещи несовместные". Как гений и злодейство. Это мнение, со множеством вариаций повторяемое противниками любого математического вмешательства в искусствоведение (вообще) и музыковедение (в частности), восходят к давней традиции:

Искусство звуков черпает из бездонного кладезя природы, а не из лужи арифметики. Эта истина непреложна, с какой бы точки зрения ни рассматривалась музыка – с теоретической или практической.

Истинные музыканты! Думайте сами, ищите и познавайте в своем искусстве, в своей науке, в своих звуках, в своем гении все, что может возвысить и украсить Вас. И никаких чисел, никаких алгебраических или геометрических исчислений звуков, никакой математики и никакой числовой теории не понадобится для выражения Ваших мыслей.

Вместе с тем, давняя традиция знает и другое мнение, выраженное авторитетами отнюдь не менее известными:

Музыка есть математическая наука, в коей изучаются тоны с точки зрения их созвучия и несозвучия, а также разделяющие их промежутки времени, с тем чтобы знать, как создаются мелодии.

Никакое человеческое исследование не может почитаться истинной наукой, если оно не изложено математическими способами выражения.

Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, которая вычисляет, сама того не сознавая.

Известно также, что физик Альберт Эйнштейн играл на скрипке, а композитор Александр Бородин был известным химиком и автором более 90 трудов в этой области. В чем тут дело? Не в том ли, что музыкальное искусство обладает особой притягательностью для умов, ориентированных на строгость и точность? Однако спор продолжается, и суть его, по всей видимости, отнюдь не в истоках: вряд ли кто-то всерьез решится оспаривать пифагорейское учение.

Сегодня возможен некий "третий подход", в рамках которого математика как наука практическая существует лишь постольку, поскольку ее методы находят результативное применение в самых разных областях и сферах природы, а также продуктивной деятельности человека. Поэтому гармония может быть признана совершенной тогда, когда она "поверена" алгеброй, а алгебра может быть признана эффективной лишь в том случае, когда позволяет раскрыть некоторые фундаментальные закономерности, в том числе – закономерности музыкального искусства. Вот почему движение музыковедения и математики навстречу друг другу попросту закономерно и в силу этого необходимо:

Все, что нельзя выразить в цифрах, – не наука; это – мнение.

Однако с чего может быть начато такое движение? И почему оно не набрало ускорения до сих пор, несмотря на то, что его признаки уже наметились? Так, еще четверть века назад было замечено (Петров, 1983), что из 435 выдающихся композиторов – классиков русской и зарубежной музыки, до XX в. лишь 11% занимались музыковедением и музыкальной критикой, тогда как позднее число композиторов с подобными теоретическими склонностями возросло до 20% (вывод, статистически значимый на уровне 98%, критерий хи-квадрат).

Есть, однако, и движение в противоположном направлении: как пишет К. Мартиндейл (1990), долговременная тенденция развития искусства (и музыки в том числе) характеризуется нарастанием "примордиального" (непосредственно-чувственного) начала, – тогда как развитие всего гуманитарного знания характеризуется, напротив, падением этого компонента, наука становится все более сухой, абстрактной, удаляясь от непосредственно-чувственной ткани. Впрочем, имеются и ростки интеграции искусства и науки о нем – так называемый "Конструктивный Концептуализм" – направление искусства, в каждом произведении которого сочленяются непосредственно-чувственное его восприятие и теоретическая рефлексия по поводу этого восприятия (см., например: Петров В.М. и Грибков B.C. (1996), с.527–537).

Так почему же встречное движение музыковедения и математики не слишком далеко продвинулось относительно его первых признаков? Попробуем найти ответ в специфических чертах музыкознания как науки. Чем музыковедение отличается, скажем, от физики? Например, тем, что если физика как наука вполне может существовать "сама по себе", то музыковедение трудно представить без композиторского творчества. Физика занимается естественными, природными закономерностями (тем, что ей "дано"). А что изучает музыковедение? Музыкальные сочинения, – то есть, продукты не естественного, а "искусственного" производства? Как известно, это не совсем так. Музыковедение изучает не "любые последовательности звуков искусственного происхождения", а лишь некоторые (которые считаются собственно музыкой). Тогда где граница между "музыкой" и "не музыкой"? И что вообще можно считать музыкой?

Если не уходить от таких вопросов, а отвечать на них принципиально и бескомпромиссно, то рано или поздно придется согласиться с тем, что "по-настоящему" музыкальными являются не все сочинения, а лишь те, которые соответствуют природным, естественным закономерностям. Безусловно, такими свойствами обладают сочинения великих мастеров. Попробуйте что-нибудь улучшить в сонатах Моцарта – Вам это не удастся, как бы Вы не хотели. Потому что моцартовская соната – это истина, как и то, что сила, действующая на тело, равна произведению массы на ускорение.

Если допустить, что музыковедение изучает лишь такие, совершенные образцы музыкальных сочинений, тогда оно, фактически, является естественной наукой, поскольку изучает природные закономерности. И как следствие, для этой особого рода естественной науки ОБЯЗАН существовать соответствующий математический аппарат, в ней могут ставиться эксперименты, создаваться теории, предсказывающие будущие музыкальные явления и т.д. Выходит так?..

Возможно, что и так. Теоретически. Но на практике ситуация несколько сложнее. Человеку, как известно, свойственно ошибаться. Ошибаются и композиторы. Далеко не каждое сочинение безупречно. Как определить, соответствует то или иное сочинение музыкальной природе или нет?

Попробуем немного упростить задачу. Допустим, что сочинения великих мастеров всегда соответствуют музыкальной природе (кстати, именно такой смысл вкладывал в термин "великий мастер" композитор и теоретик Арнольд Шёнберг). Но как идентифицировать великого мастера, если ты сам не великий мастер?

Положим, отличить великого мастера от второсортного музыканта не составляет особого труда. А если два композитора примерно равновелики, но один из них гений, а другой – нет (как Моцарт и Сальери у Пушкина). Тогда как? Известно, что Роберт Шуман однажды произнес (имея в виду Фредерика Шопена): "Шапки долой, господа! Перед вами гений!". Но насколько будет точна ВАША оценка Шопена, если Вы – не Шуман? И является ли сам Роберт Шуман великим мастером?.. Найти объективные критерии для ответов на такие вопросы крайне трудно, если вообще возможно.

X. Айзенк (1995) – автор наиболее фундаментального на сегодняшний день исследования о гениальности – пришел к выводу, что существует целая лестница гениальности, причем переходы от одной ступени к другой совершаются практически незаметно. Как же тогда отличить совершенное сочинение от не вполне совершенного, если мы и с композиторами-то разобраться не можем?.. И это еще только одна из трудностей.

Другая трудность связана с тем, что создать полноценную теорию в музыковедении сложнее, чем в физике, по объективным причинам. Попробуем немного отвлечься и рассмотрим популярный пример из области физики.

Один автомобиль едет из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120 км/ч. Другой – из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 90 км/ч. С какой скоростью они сближаются? Решение знает любой школьник: скорости следует сложить. Ответ – автомобили приближаются друг к другу со скоростью 210 км/ч. Эта формула (преобразование Галилея) описывает достаточно большое количество явлений, которые нас окружают. Но не все. Сегодня таких примеров не так уж мало. Вот один из них. Элементарные частицы в коллайдере движутся навстречу друг к другу со скоростями близкими, но чуть меньшими, чем скорость света (обозначим скорость частиц за V). С какой скоростью они будут сближаться? Наш обыденный разум, привыкший к преобразованию Галилея, говорит, что со скоростью V+V=2V. А это не соответствует действительности: скоростей, больших скорости света в природе не существует, a 2V -намного больше, чем скорость света. Для элементарных частиц в коллайдере преобразование Галилея "не работает", и необходимо использовать преобразование Лоренца (которое включает в себя преобразование Галилея как частный случай).

Что происходит, когда наш разум сталкивается с чем-то непривычным? Происходят попытки объяснить непривычное в привычных терминах, а когда это не удается – возникают, как говорят, "нездоровые сенсации". Характерный пример – периодически вспыхивающие дискуссии в СМИ по поводу теории относительности или квантовой механики, участие в которых принимают, как правило, люди далекие от физики.

Чем ситуация в музыке отличается от ситуации в физике? Практически ничем, кроме того, что столкновения с непривычным в музыке происходят гораздо чаще. Рассмотрим с этой точки зрения понятия консонанса и диссонанса на примере чистой квинты – интервала в пять ступеней и три с половиной тона с частотным соотношением звуков 2:3. Когда многоголосие еще только формировалось – движение параллельными квинтами (категорически запрещаемое в классической гармонии) было общеупотребительным. Можно сказать, что квинта считалась несовершенным консонансом, а остальные интервалы – диссонансами. Совершенными консонансами считались только унисон и октава. Позднее за квинтой закрепился статус совершенного консонанса, и квинтовые параллелизмы оказались запрещенным приемом. К несовершенным консонансам в этот период относили терции и сексты. Затем и кварта перешла в разряд совершенных консонансов. А в двадцатом веке оказалось вполне возможным движение параллельными септимами (да только ли септимами!). Что по данному поводу может сказать музыкант-теоретик сегодня?

Разница между консонансом и диссонансом не качественная, а количественная.

Но возможно ли было обобщение такого рода 200–300 лет назад? Трудно сказать, документальные свидетельства об этом до нас не дошли. Впрочем, логично предположить, что человек, способный на столь глобальное обобщение, должен был слышать будущую музыку на те же 200–300 лет вперед. Кто из музыкантов обладал таким мощным пред слышанием? Разве что, Иоганн Себастьян Бах. Действительно, в его сочинениях есть элементы почти всех явлений будущей музыки, вплоть до XX века. Но Бах не оставил научных трудов: писать их ему было просто некогда. Кто-то подсчитал, что для записи всех музыкальных сочинений И.С. Баха (без использования скорописи) не хватило бы всей его жизни.

И.С. Бах был популярен во все эпохи, кроме одной. Той, в которую ему довелось жить и работать. Современники и следующее за ними поколение музыкантов попросту не смогли усвоить то количество нового, которое содержалось в его музыке. Так же непопулярны среди собственных современников были и последующие композиторы, которых мы сейчас называем "классиками": Моцарт, Бетховен, Вагнер, Малер...

Композитор-классик – это безумец, который пишет музыку, непонятную для своего поколения.

Реакция общественного мнения на творчество великих мастеров практически ничем не отличалась от того, что думает современный обыватель о Большом Адронном Коллайдере.

Оказывается, что теоретическая рефлексия элементарно не успевала за композиторским творчеством: для новаторства в сфере науки теоретик должен быть композитором (хотя бы в какой-то степени), а у композитора все новации реализуются в музыкальных сочинениях. Получается замкнутый круг, в котором даже для музыкальной теории едва-едва находится место. Где уж тут говорить о математическом аппарате?

Однако сложность проблемы – это не повод ее не решать. Если говорить о законах музыки как о чем-то, что выше человеческого произвола, то придется вернуться к той мысли, что музыковедение – естественная наука особого рода – фактически наука о природе. А не использовать математику в науках о природе – слишком большая роскошь. Другое дело, что на сегодняшний день мы в (силу только что указанных причин) не имеем столь же совершенных математических средств, который находится в распоряжении, скажем, тех же физиков. Но ведь и Галилей не знал дифференциального и интегрального исчисления!

Многочисленные защитники "заповедного характера" искусствознания, – пишет В.М.Петров (2004), – кажется, уже смирились с тем, что количественные методы успешно применяются при анализе массовых явлений контактов населения с искусством, крупных движений в искусстве, смены стилевых направлений и т.п. И это естественно, ибо чем крупнее масштаб изучаемого явления, тем меньше внимания при его изучении можно уделять различным конкретным деталям, аспектам, частностям. Видимо, по этой причине именно крупномасштабные явления стали тем полем, на котором количественные методы одержали свои первые убедительные победы. "Линия обороны" сейчас держится у границ отдельного художественного произведения, уникальность и неповторимость которого дают основания заявлять, что к его анализу количественные методы неприложимы". Впрочем, и эта "непреложимость" была опровергнута в последних работах (как В.М. Петрова, так других исследователей).

Практика показывает, что сегодняшнему музыковедению под силу преодоление и этого барьера, так же как и совершение ряда принципиально важных "шагов" навстречу точным наукам и, как следствие, – по направлению к обретению собственного математического аппарата. Ради движения в указанном направлении была задумана и написана настоящая книга. И мы приглашаем Вас пройти вместе наш небольшой, но очень важный и увлекательный путь.

Об авторах

Зубарева Наталья Борисовна

Кандидат искусствоведения, доцент, заведующая кафедрой теории и истории музыки Пермского государственного института искусства и культуры. Сфера ее научных интересов включает самые разнообразные реалии художественной жизни — от отдельных произведений искусства до крупных пластов культуры. Для работ Н. Б. Зубаревой характерен комплексный подход с привлечением теории и методологии философии, лингвистики, психологии, математики и других наук, благодаря чему ее исследования приобретают общегуманитарное значение.

Куличкин Петр Александрович

Композитор, кандидат культурологии. Окончил Пермский государственный технический университет по специальности «Прикладная математика», а также Российскую академию музыки им. Гнесиных по специальности «Композиция». В настоящее время — старший преподаватель кафедры теории и истории музыки Пермского государственного института искусства и культуры. Член Союза композиторов России. Основная сфера научных интересов — применение количественных (математических) методов в различных областях искусствознания.