URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии
Id: 178581
 
1099 руб.

Курс гомотопической топологии. Изд.2

URSS. 2014. 512 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-0749-4.

 Аннотация

Настоящая книга содержит учебный курс гомотопической топологии и ее многочисленных приложений, ставший в свое время первым подобным курсом в отечественной литературе. Среди основных тем, затронутых в книге: теория клеточных комплексов, гомотопические группы, гомологии и когомологии, метод спектральных последовательностей, гомотопические свойства многообразий. В доступной широкому кругу читателей форме рассказывается о месте и роли гомотопической топологии в современной математике и физике. Читатель, освоивший курс, сможет свободно ориентироваться в специальной научной литературе.

Книга иллюстрирована рисунками, выполненными А.Т.Фоменко. Эти рисунки не являются точными изображениями теорем или топологических конструкций. Это --- лишь попытка неформального изображения некоторых топологических идей и ассоциаций, порожденных красивыми и глубокими теоремами гомотопической топологии. Некоторые иллюстрации юмористичны.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей вузов.


 Оглавление


ПРЕДИСЛОВИЕ


Введение. ВАЖНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Классические пространства 1. Евклидовы пространства, сферы и шары (11). 2. Вещественные проективные пространства (12). 3. Комплексные и кватернионные проективные пространст¬ва (13). 4. Проективная плоскость Кэли (13). 5. Многообразия Грассмана (15). 6. Многообразия флагов < 16). 7. Компактные классические группы (16). 8. Многообразия Штифеля (16). 9. Классические действия классических групп в классических пространствах (16). 10. Классические поверхности (17).

§ 2. Операции над топологическими пространствами 1. Произведения (20). 2. Цилиндр, конус и надстройка (21). 3. Приклеивания. Цилиндр и конус отображения (22). 4. Джойн (22). 5. Пространства отобра¬жений, путей и петель (23). 6. Операции над пространствами с отмеченной точкой (24).

Глава 1. ГОМОТОПИИ

§ 3. Гомотопии и гомотопические эквивалентности 1. Определение гомотопии (26). 2. Множества тт(Х, У) (26). 3. Гомотопическая эквивалентность (27). 4. Ретракты (29). 5. Пример гомотопического инва¬рианта: категория Люстерника - Шнирельмана (30). 6. Случай пространств с отмеченной точкой, пар, троек и т.д. (30).

§ 4. Естественные групповые структуры в множествах тг(Х, У)

§ 5. Клеточные пространства 1. Основные определения (35). 2. Комментарии к определению клеточного пространства (36). 3. Отношение к операциям из

§ 2 (37). 4. Клеточные разбиения классических пространств (38). 5. Теорема Борсука о продолжении гомотопии (43). 6. Следствия из теоремы Борсука (44). 7. Теорема о клеточ¬ной аппроксимации (44). 8. Борьба с химерой: доказательство леммы о сво¬бодной точке (46). 9. Первые применения теоремы о клеточной аппрокси¬мации (48).

§ 6. Фундаментальная группа 1. Определение (50). 2. Зависимость от отмеченной точки (51). 3. Вычисле¬ние фундаментальных групп (51).

§ 7. Накрытия 1. Определение и примеры (57). 2. Теорема о накрывающей гомотопии (58).. 3. Накрытия и фундаментальная группа (59). 4. Регулярные накрытия (61). 5. Универсальные накрытия (61). 6. Теорема о поднятии отображения (61). 7. Критерий эквивалентности накрытий (62). 8. Существование и классифи¬кация накрытий (62).

§ 8. Гомотопические группы 1. Определение; коммутативность (63). 2. Зависимость от отмеченной точ¬ки (64). 3. Гомотопические группы и накрытия (64). 4. Относительные го¬мотопические группы (65). 5. "Гомотопические группы" п0(Х, xQ) и nl(X,A;xQ) (66). 6. Связи между относительными и абсолютными гомото¬ пическими группами (67). 7. Гомотопическая последовательность пары (67). 8. Следствия точности (68).

§ 9. Расслоения 1. Определения (70). 2. Накрывающие гомотопии (71). 3. Доказательство тео¬ремы о накрывающей гомотопии (72). 4. Расслоения в смысле Серра (73). 5. Слои (74). 6. Любое отображение гомотопически эквивалентно расслоению в смысле Серра (76). 7. Гомотопическая последовательность расслоения (77). 8. Первые применения точности (78). 9. Заключение: исполнение обещания из

§ 8 (79).

§ 10. Теорема о надстройке и гомотопические группы сфер 1. Основная теорема (79). 2. Первые применения (82). 3. Степень отображе¬ния Sn-+Sn (83). 4. Стабильные гомотопические группы сфер (84). 5. Ум¬ножение Уайтхеда и "трудная часть теоремы Фрейденталя" (84).

§11. Гомотопические группы и клеточные пространства 1. Аддиционная теорема (86). 2. Применение аддиционной теоремы: гомото-пические группы букетов (88). 3. Первая нетривиальная гомотопическая группа клеточного пространства (88). 4. Слабая гомотопическая эквивалент¬ность как отображение (89). 5. Теорема Уайтхеда (91). 6. Клеточная ап¬проксимация топологических пространств (91). 7. Пространства Эйленберга-Маклейна (K(ir, п) *ы) (92). 8. Единственность К(п, я)'ов (93). 9. Заклеива¬ние и убивание гомотопических групп (93).

Глава 2. ГОМОЛОГИИ

§ 12. Сингулярные гомологии 1. Сингулярные симплексы, цепи и гомологии (95). 2. Цепные комплексы, отображения и гомотопии (96).. 3. Простейшие вычисления (98). 4. Отно¬сительные гомологии (100). 5. Относительные гомологии как абсолют¬ные (101). 6. Дополнения (105).

§ 13. Вычисление гомологии клеточных пространств 1. Гомологии сфер. Изоморфизм надстройки (106). 2. Гомологии букетов сфер и вообще букетов (107). 3. Отображения сфер в сферы и букетов сфер в букеты ctyep (107). 4. Клеточный комплекс (109). 5. Гомологии клеточного комплекса (111). 6. Классический комплекс (112). 7. Некоторые вычисле¬ния (113), 8. Цепные отображения клеточных комплексов (116).

§ 14. Гомологии и гомотопии 1. Гомологии и слабые гомотопические эквивалентности (117). 2. Теорема Гу-ревича(П9). 3. Случай и = 1 (120). 4. Относительный вариант теоремы Гуре-вича (121). 5. Теорема Уайтхеда (122).

§ 15. Гомологии с коэффициентами и когомологии 1. Определения (123). 2. Перенесение уже известных нам результатов (124). 3. Коэффициентные последовательности (126). 4. Алгебраическая подготовка к "формулам универсальных коэффициентов" (127). 5. Формулы универсальных коэффициентов (128). 6. Формула Кюннета (130).

§ 16. Умножения 1. Введение (132). 2. Прямое построение ^-умножения (134). 3. Определение Х-умножения (135). 4. Применение: инвариант Хопфа (136). 5. Дополнение: другие умножения (138).

§ 17. Гомологии и многообразия 1. Гладкие многообразия (140). 2. Фундаментальный класс (143). 3. Изомор¬физм Пуанкаре (144). 4. Индексы пересечения и двойственность Пуанка¬ре (146). 5. Применение: формулы Лефшеца (149). 6. Коэффициенты зацеп¬ления (151). 7. Обратные гомоморфизмы (153). 8. Связь с w-умножени-ем(155). 9. Обобщения изоморфизма и двойственности Пуанкаре (156).

§ 18. Теория препятствий 1. Препятствия к распространению непрерывного отображения (160). 2. Относи-тельный случай (162). 3. Применение: когомологии и отображения в К(п, п)'ы (163). 4. Другое применение: теоремы Хопфа (165). 5. Препятствие к продолжению сечения (165).

§ 19. Векторные расслоения и характеристические классы 1. Векторные расслоения и операции над ними (167). 2. Касательные и нор¬мальные расслоения гладких многообразий (170). 3. Ассоциированные рас¬ слоения и характеристические классы (171). 4. Характеристические классы и классифицирующие пространства (174). 5. Важнейшие свойства классов Шти-феля - Уитни, Эйлера, Черна и Понтрягина (177). 6. Характеристические клас¬сы в топологии гладких многообразий (181).

Глава 3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ

§ 20. Спектральная последовательность, ассоциированная с фильтрацией 1. Общие определения (187). 2. Общие теоремы (189). 3. Присоединенная гра-дуированная группа (190). 4. Когомологический вариант теории Лере (191). 5. Графическое изображение спектральной последовательности (192). 6. Но¬вое понимание клеточного вычисления гомологии (193). 7. Новое понимание гомологических последовательностей пар и троек (194). 8. Обобщение на бес-конечные фильтрации (194).

§21. Спектральная последовательность расслоения 1 1. Вычисление начальных членов спектральной последовательности в предпо-ложении гомологической простоты расслоения (195). 2. Случай непростого расслоения (198). 3. Первые применения (200).

§ 22. Дополнительные свойства спектральных последовательностей расслоений 2< 1. Гомоморфизмы спектральных последовательностей (203). 2. Нулевая строка и нулевой столбец (205). 3. Трансгрессия (206). 4. Применение: три точных последовательности (207). 5. Трансгрессия и характеристический класс (210).

§ 23. Мультипликативная структура в когомологической спектральной последова- тельности 2 1. Формулировки: свойства мультипликативной структуры (211). 2. Построе¬ние умножения (212). 3. Первое применение: когомологии группы SU(n)(212). 4. Когомологии других классических групп (214). 5. Еще один пример (217).

§ 24. Метод Серра вычисления гомотопических групп 21 1. Когомологии пространств петель (219). 2. Метод убивающих прост¬ранств (220).

§ 25. Ранги гомотопических групп 22 1. Конечная порожденность и конечность гомотопических групп (222). 2. Вы-числение колец H*(K(irt п); Q) (224). 3. Ранги гомотопических групп сфер (225). 4. Теорема Картана - Серра (227). 5. Комментарии к теореме Кар-тана - Серра (229).

§ 26. Нечетные компоненты гомотопических групп 23 1. Когомологии H*(K(Z^ п) ; Zp') при (р, р') =■ 1 (230). 2. Частичное вычисле¬ние кольца Н*(К(Хр п); Z) (230). 3. Частичное вычисление когомологии K{Z, п) (234). 4. Частичное вычисление р-компонент гомотопических групп сфер (234).

Глава 4. КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 238

§ 27. Общая теория 23 £ 1. Определение (238). 2. Классификация (238). 3. Примеры (239). 4. Стабиль¬ные операции (240), 5. Алгебра стабильных операций (244).

§ 28. Стинродовы квадраты 244 1. Введение (244). 2. Теорема существования и единственности Sq* (245). 3. Доказательство формулы Картана (247). 4. Другие конструкции стинродо-вых квадратов (249).

§ 29. Алгебра Стинрода 250 1. Строение алгебры Стинрода Аа. Формулировки (250). 2. Теорема А. Боре-ля (251). 3. Теорема Ж.-П. Серра (253)л 4. Устройство алгебры А (254). 5. Со-отношения (254). 6. Вычисление ®q@s(q, Z, Z2) (256).7. Алгебра Стинрода mod р (257). 8. Другие классификационные теоремы (258).

§ 30. Применения стинродовых квадратов 1. Вычисление гомотопических групп (259). 2. Стинродовы квадраты и классы Штифеля - Уитни (261). 3. Вторые препятствия (264). 4. Несуществование сфе-роидов с нечетным инвариантом Хопфа (265). 5. Линзы (265).

Глава 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА

§ 31. Общая идея 1. Введение (268). 2. Метод Серра и метод Адамса (269). 3. Спектральная по-следовательность (270).

§ 32. Необходимый алгебраический материал 1. Модули (271). 2. Проективные модули (272). 3. Проективные резольвен¬ты (273). 4. Тог и Ext (274).

§ 33. Построение спектральной последовательности 1. Топологическая фильтрация Адамса (275). 2. Группы и дифференциалы спектральной последовательности (278). 3. Теорема Адамса (280). 4. Доказа-тельство утверждений (1) и (2) (280). 5. Отступление: замечание о резольвен¬тах (283). 6. Продолжение доказательства. Случай конечных стабильных гомо-топических групп (284). 7. Дополнительные свойства спектральной последова-тельности Адамса (289). 8. Окончание доказательства теоремы Адамса в общем случае (291).

§ 34. Мультипликативные структуры 1. Композиционное умножение в стабильных гомотопических группах сфе¬ры (294). 2. Алгебраическое отступление: алгебры Хопфа (296). 3. Алгебра Стинрода как алгебра Хопфа (297). 4. Умножение в спектральной последова¬тельности Адамса (298).

§ 35. Применение спектральной последовательности Адамса к вычислению стабиль- ных гомотопических групп сфер 1. Аддитивная структура члена Ег (301). 2. Мультипликативная структура (307) 3. Нечетные компоненты (310). 4. Теоремы Адамса о начальном члене его спектральной последовательности (311). 5. Заключение (312).

§ 36. Частичные операции 1. Построение частичных операций (313). 2. Частичные операции и второй диф-ференциал в спектральной последовательности Адамса (315). 3. Частичные операции и гомотопические группы сфер (316). 4. Системы Постникова (316).

Глава 6. tf-ТЕОРИЯ И ДРУГИЕ ЭКСТРАОРДИНАРНЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИИ

§ 37. Общая теория 1. Введение (318). 2. Определения (319). 3. Периодичность Ботта (324). 4. Ха¬рактер Черна (329). 5. Экстраординарные гомологии и когомологии (331).

§ 38. Вычисление Я-функтора: спектральная последовательность Атиа - Хирцебруха 1. Построение спектральной последовательности Атиа - Хирцебруха (334). 2. Примеры вычислений (338). 3. Дифференциалы спектральной последова-тельности Атиа - Хирцебруха (340).

§ 39. Операции Адамса 1. Определение и свойства (341). 2. Простое доказательство несуществования сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа (Адаме - Атиа) (345).

§ 40. /функтор 1. Определение и связь с гомотопическими группами сфер (346). 2. Гипотеза Адамса (350). 3. Применение к гомотопическим группам сфер (357).

§ 41. Теорема Римана - Роха 1. Общая теорема Римана - Роха (360). 2. Теорема Римана - Роха в ^-теории для комплексных расслоений (364). 3. Применение: вычисление е-инвариан-та (367). 4. Теорема Римана - Роха в Я'-теории для спинорных расслое¬ний (369). 5. Первое применение: теоремы целочисленности (376). 6. Второе применение: теоремы невложимости (377). 7. Заключение: происхождение названия (379).

§ 42. Формула Атиа - Зингера (набросок) 380 1. Эллиптические операторы и их индексы (380). 2. Примеры (381). 3. Формула (383). 4. Снова примеры (383).

§ 43. Кобордизмы 385 1. Определения (385). 2. Вычисления (391). 3. Связь с ^-теорией (395). 4.Ко-гомологические операции в кобордизмах и спектральная последовательность Адамса - Новикова (397).

СПИСОК КНИГ ПО ТОПОЛОГИИ 401


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 403


 Об авторах

Анатолий Тимофеевич ФОМЕНКО

Академик Российской академии наук (РАН), действительный член Международной академии наук высшей школы (МАН ВШ), действительный член Академии технологических наук Российской Федерации (АТН РФ). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Автор более 200 научных работ, 30 математических монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии.
Дмитрий Борисович ФУКС

Доктор физико-математических наук. В 1955-1990 гг. был студентом, аспирантом, ассистентом, старшим и ведущим научным сотрудником МГУ им. М. В. Ломоносова. С 1990 г. живет и работает в Калифорнии (США). В настоящее время является профессором Калифорнийского университета в г. Дэвис. Работал и работает в разных математических областях: в алгебраической и дифференциальной топологии, гомологической алгебре, теории представлений, симплектической и контактной топологии, полигональной геометрии, теории динамических систем (биллиарды). Является автором нескольких математических книг, в числе которых "Когомология бесконечномерных алгебр Ли" и "Математический дивертисмент" (вторая - в соавторстве с С. Табачниковым).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце