Карпенко А.С. Развитие многозначной логики Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Современная многозначная логика является исключительно разветвленной областью символической логики по своему применению, развитию и проблематике. Среди различных неклассических направлений в логике многозначная логика занимает особое место по следующим причинам. Во-первых, в силу своего применения в совершенно различных областях самой неклассической логики. В некотором смысле можно говорить об универсальности и наибольшей общности, достигнутой в многозначной логике, что обеспечивается весьма мощным техническим аппаратом, средства которого играют важную роль в решении внутренних проблем неклассических логик. Во-вторых, особая значимость конечнозначных логик связана с применением в теории релейно-контактных схем, в исследовании проблем искусственного интеллекта и в теоретическом программировании, а также связана с тем, что они позволяют описывать работу самых различных реальных вычислительных устройств и автоматов. В-третьих, широкое использование в математике: математический анализ "нечеткости" (fuzzy) и аппроксимирующих рассуждений, построение различных моделей для теорий множеств, используя подходящие системы многозначной логики, доказательство независимости систем аксиом. Наконец, многозначная логика используется в лингвистике и философии. Найдено применение к решению различных парадоксов, пересмотрена теория истины А.Тарского (см. раздел 5.4.6.2). Подчеркнем, что само возникновение первой системы многозначной логики мотивировано чисто философской проблематикой, а именно опровержением фаталистического аргумента Аристотеля.

Наиболее важные применения многозначной логики рассмотрены в книге С.Готтвальда [Gottwald 2001, Part IV]. Впечатляющий список современного применения многозначной логики приведен в [Baaz, Ferm\"uller and Salzer 2001: 1357]. О применении трехзначных логик см. ниже раздел 3.7.

Эти обстоятельства и целый ряд других факторов способствуют тому, что многозначная логика весьма интенсивно развивается, внося тем самым коррективы в само понимание предмета многозначной логики, и уже сейчас это понимание требует глубокого осмысления. Поскольку изучение матричных логик Лукасевича и Поста наряду с алгеброй логики Буля (двузначная логика) явилось основой для создания теории многозначной логики, то им будет уделено специальное внимание.

В первой главе дается элементарное изложение классической логики. Более подробно рассмотрены свойства классической логики высказываний, для того, чтобы с ними можно было сравнивать свойства многочисленных трехзначных логик.

Вторая глава посвящается интуитивному пониманию многозначной логики и ее возникновению. Рассмотрены два источника появления многозначной логики: доказательство независимости аксиом пропозициональной классической логики C_2 и опровержение фаталистического аргумента Аристотеля.

Трехзначные логики рассматриваются в третьей главе. Основное внимание уделено существенным различиям между классической двузначной логикой и трехзначными логиками, главными из которых являются логика Я.Лукасевича, логика Д.А.Бочвара, логика А.Гейтинга, логика С.Клини и паранепротиворечивая логика Батенса-Розоноэра. Изучаются различные их взаимоотношения. Взаимоотношение некоторых паралогик представлено решеткой В.М.Попова. Специальное внимание уделено трехзначным изоморфам C₂. Рассматривается также промежуточная регулярная логика Клини, обладающая весьма необычными свойствами. Вводится понятие p-логики. Обращается внимание на применение трехзначной логики для решения логико-философских проблем квантовой механики. В конце ставится важная методологическая проблема: являются ли трехзначные логики ограничением C₂ или ее расширением? Глава завершается интересным результатом Н.Е.Томовой, где строится решетка импликативных расширений регулярных логик Клини, в которой появляются совершенно новые трехзначные логики. Подчеркнем, что уже трехзначные логики являются той главной лабораторией, которая позволяет погрузиться в мир многозначных логик.

В четвертой главе вводятся понятия логической матрицы, нормальной матрицы, характеристической матрицы. Вводится определение матричной семантики. Дается определение операции прямого умножения матриц и в качестве примера умножается матрица для классической двузначной логики сама на себя. Также вводится операция добавления к матрице нового элемента, а затем рассматривается комбинирование этих двух операций над матрицами, что приводит в итоге к построению характеристической матрицы для интуиционистской логики. В этой же главе вводятся необходимые понятия теории (логических) решеток, дающие элементарное представление об алгебраических свойствах различных многозначных логик, в алгебраической основе которых, как правило, лежат дистрибутивные решетки, алгебры де Моргана и алгебры Клини. Отдельный класс логик характеризуется квази-решетками. Дается характеризация алгебры Буля, приводятся ее примеры, наиболее важным из которых является алгебра Линденбаума, и вводятся другие "логические" алгебры, такие как алгебры Гейтинга, алгебры Брауэра, дважды алгебры Гейтинга, симметрические алгебры Гейтинга, p-алгебры. Вводятся такие новые понятия как, промежуточная решетка, некоммутативная алгебра Клини, промежуточная p-алгебра, слабая p-алгебра и для двух последних их формулировки с приставкой "дважды". Поясняется, что понимается под алгебраической семантикой и в чем состоит развитие алгебраической логики. Специальное внимание уделено трехэлементным алгебрам Лукасевича.

В пятой главе происходит обобщение трехзначных логик на конечнозначный случай. Несомненно, самым интересным классом конечнозначных логик является класс логик Лукасевича L_n. Этим логикам уделяется особое внимание (см. также гл.7). Здесь подробно исследуются их свойства, приводится аксиоматизация и алгебраизация L_n. Рассматриваются также другие конечнозначные логики: Гёделя G_n, Лукасевича–Мойсила, Бочвара B_n, паранепротиво-речивые. Здесь же вводятся и исследуются логики Поста P_n, являющиеся фундаментом в различных технических приложениях. Также в этой главе впервые в отечественной литературе систематически рассматриваются четырехзначные логики. Важным является результат Н.М.Ермолаевой и А.А.Мучника о расширениях четырехзначной классической логики и построении решетки этих расширений. Особое внимание уделяется четырехзначной логике Белнапа и ее расширениям соответствующими импликациями. В связи с логикой Белнапа дается краткий обзор по бирешеткам и их обобщениям. Предлагается пропозициональный базис (логика Tr) для построения новой теории истинности и устанавливается связь с проблемой логического фатализма.

Главной темой шестой главы является рассмотрение метода аксиоматизации конечнозначных (предикатных) логик, предложенного О.М.Аншаковым и С.В.Рычковым. При этом широкий класс наиболее известных многозначных логик аксиоматизируется как расширение классической логики.

Седьмая глава является центральной по своей значимости, в которой многозначная логика предстает в виде функциональной системы. Вначале вводится операция суперпозиции, а затем на множестве всех подмножеств множества n-значных функций определяется оператор замыкания, посредством которого вводятся понятия замкнутого класса функций, базиса, функциональной полноты и предполноты. Рассмотрен критерий функциональной полноты для конечнозначных логик. Выявлены принципиальные различия между классической (двузначной) логикой и произвольной конечнозначной логикой, главным из которых является переход от счетного множества замкнутых классов функций к континуальному множеству замкнутых классов за счёт добавления только одного нового истинностного значения. Обсуждается вопрос критерия счетности/континуальности для трехзначных логик. Уделено внимание функциональным свойствам конечнозначных логик Лукасевича, которые удивительным образом оказались связанными со свойствами простых чисел (теорема В.К.Финна). Следствия из этого открытия оказались совсем неожиданными: структурализация простых чисел в виде корневых деревьев; построение такой логики K_n+1, которая имеет класс тавтологий т.т.т., когда n есть простое число; штрих Шеффера для простых чисел; алгоритм порождения классов простых чисел.

Восьмая глава посвящена бесконечнозначным логикам, важнейшей из которых является логика Лукасевича L. Кроме этого рассматриваются интуиционистская логика Int и некоторые суперинтуиционистские логики, например, логика Гёделя–Даммита G_infty. Представляет интерес синтез логик L_infty и G_infty. Кроме этого, уделено внимание основным льюисовским модальным системам, релевантной логике R и родственной ей логике RM, иерархии паранепротиворечивых логик Н. да Косты C_n. Рассматривается алгебраизация L_infty, семантика Крипке для Int и обсуждается вопрос о переходе к неистинностно-функциональной семантике в связи с паранепротиворечивыми логиками. Отмечается тенденция современного развития логики, направленная на изучение целых классов логик, а также появление методов для комбинирования совершенно различных систем логик.

Девятая глава посвящена теории нечетких множеств и нечетким логикам. Обращается внимание на понятие нечеткозначной логики и на алгебру нечетких истинностных значений типа 2. Строится иерархия нечетких алгебр. Нечеткая логика рассматривается как в широком смысле (теория нечетких множеств), так и в узком смысле. В последнем случае выделяется родственный класс бесконечнозначных логик, основанный на t-нормах. Рассматривается базисная (предикатная) логика Хаека BL и ее расширения.

В десятой главе исследуется на сегодняшний день сложнейшая проблема теории многозначных логик, а именно проблема интерпретации истинностных значений. Обсуждается тезис Сушко о том что каждая логика является двузначной. Приводится его критика. Тем не менее, оказывается, что весьма широкий класс конечнозначных логик можно проинтерпретировать только в терминах классических истинностных значений: T (истина) и F (ложь). Рассматривается разработанная автором так называемая фактор-семантика для таких логик и определены границы ее применения. Здесь в качестве истинностных значений высказываниям приписываются определенные подмножества T-F-последова-тельностей (подмножества булевых векторов). Отсюда возникла идея о структурализации истинностных значений. Главный вывод: логика есть наука об истинностных значениях.

В качестве Приложения будут представлены конечные булевы решетки наиболее важных импликативных и импликативно-негативных логик. Для их построения существенно используется аппарат многозначных логик, а именно метод доказательства независимости аксиом, рассмотренный нами в разделе 2.3. В последнем разделе книги обсуждаются проблемы классификации логик. Констатируется, что современный этап развития логики характеризуется тем, что логика превращается в науку о конструкциях логик.

Метод изложения материала концентрический, т.е. вначале дается интуитивное и неформальное понимание тех или иных понятий, которые впоследствии уточняются. В первую очередь это относится к самому определению многозначной логики.

Вопрос о библиографии по многозначным логикам заслуживает специального рассмотрения. Литература здесь совершенно необозрима и, по-видимому, имеет тенденцию к экспоненциальному росту.

Первой и давно ставшей классической работой по многозначной логике является монография Дж.Россера и А.Тюркетта [Rosser and Turquette 1952], переизданная в 1958 г. Следующая книга принадлежит А.А.Зиновьеву [Зиновьев 1960] (переведена на английский язык в 1963 г.). В исправленном и переработанном виде вышла большой статьей в сборнике (см. [Зиновьев 1968]). Новый вариант остался практически неизвестным, тем более что к этому времени вышла книга Р.Аккерманна [Ackermann 1967], а затем весьма обстоятельная (значительно превосходящая по объему материала все три предыдущих книги вместе взятые), с философским содержанием и с хорошо разработанной библиографией, монография Н.Решера [Rescher 1969]. Эта книга оказала большое влияние на развитие многозначной логики во всём мире. Отметим также книгу на румынском языке [Dumitriu 1971] и книгу на немецком языке [Gottwald 1989]. Компактным введением в многозначную логику является монография Г.Малиновского [Malinowski 1993] (см. также [Malinowski 2006]). Теория многозначных логик изложена в [Bolc and Borowik 1992] и их формально-логическое применение в [Bolc and Borowik 2000]. Обратим внимание на очень полезную и разностороннюю книгу С.Готтвальда [Gottwald 2001] (английский вариант предыдущей книги), содержащую доказательства основных результатов в многозначной логике. При необходимости мы даем соответствующие ссылки на эту книгу. Имеется также книга [Bergmann 2008], рассматривающая в основном трехзначные и бесконечнозначные логики.

Имеется большой обзор по многозначной логике Р.Вольфа [Wolf 1977], где библиография Решера дополнена и доведена до 1974 г. Подробная библиография была составлена в Японии: часть I–60-е годы [Miyama 1979] и часть II – с 1970 г. по 1974 г. [Miyama 1980]. Отметим также обзор А.Роуза [Rose 1981] и более современный обзор А.Уркварта [Urquhart 1986]. См. также [B\'eziau 1997], [Panti 1998] и [Malinowski 2002]. Нынешнее состояние дел в многозначной логике (для специалистов) представлено в обзоре Р.Хэнли [H\"ahnle 2001]. Стоит также отметить статью С.Готтвальда, написанную для известной электронной "Стэнфордской Философской Энциклопедии" [Gottwald, 2004] и его же обзор для фундаментального труда "Философия логики" [Gottwald 2007].

Важнейшим и основным источником современной литературы по многозначным логикам и в особенности их применению и различным приложениям служат материалы ежегодного международного симпозиума по многозначной логике (International Symposium on Multiple-Valued Logic), которые проводятся начиная с 1971 г. В материалах 9-го симпозиума [Ginser and Butler J.T. 1979] содержится библиография по многозначной логике начиная с середины 1974 г. по апрель 1978 г. Она дополняет библиографию по многозначной логике, имеющей применение в вычислительной технике [Epstein, Frieder and Rine 1974], и библиографию, помещенную в хронологическом обзоре по логическим функциям для цифровых вычислительных систем [Rine 1977]. Обзоры и литература по специальным техническим разделам применения многозначной логики к компьютерным наукам имеются в трудах 16-го [Hurst 1986], 18-го [Hurst 1988] и 21-го [Moraga 1991] симпозиумов. В материалах 22-го симпозиума [Butler S. and Butler J. 1992] дается обзор и анализ работы первых 21 симпозиумов и приводятся различные статистические данные. Указанные авторы разработали также базу данных статей, авторов и тем.

Существует своего рода справочник по теории и применению многозначной логики к компьютерным наукам [Rine (ed.), 1977; 1984], получивший широкое распространение. Ряд статей книги носит характер обзоров по специальным разделам самой многозначной логики. Во втором издании этой книги (1984), значительно дополненном, имеется обзор (pp.xvi-xxxiv) по применению многозначной логики к цифровым вычислительным системам. Обзор охватывает период с 1952 по 1983 г. и разбит на семь разделов. Здесь можно найти работы об использовании многозначной логики в качестве языка при проектировании нового поколения ЭВМ. См. также обзоры в [Hurst 1984] и [Smith 1988]. Хорошее введение в теорию многозначных релейно-контактных схем содержится в монографиях [Muzio and Weselkamper 1986] и [Epstein 1993]. См. также [Sasao 1999]. Заметим только, что уже в 1958 г. в Московском государственном университете им М.В.Ломоносова был сконструирован первый трехзначный компьютер под названием "Сетунь" (см. [Брусенцов и др. 1965]).

Общим вопросам теории и применения многозначной логики посвящен сборник статей [Fitting and Orlowska (eds.), 2003]. Современное техническое использование и применение многозначной логики рассмотрено в монографии [Miller and Thornton 2007].

Дедуктивным аспектам многозначной логики посвящены монографии Р.Хэнли [H\"ahnle 1994] и З.Стачняка [Stachniak 1996]. Философские аспекты обсуждаются в [Зиновьев 1960], [Rescher 1969], [Нааск 1974; Haack 1996]. Современный подход к нечеткой логике разработан в [H\'ajek 1998]. Здесь же дается краткий исторический экскурс развития многозначной логики (гл.10).

Стоит обратить внимание на феномен многозначных логик Лукасевича, интерес к которым по прошествии многих лет только возрастает. В монографии [Cignoli, D'Ottaviano and Mundici 2000] исследуются алгебраические свойства бесконечнозначной логики Лукасевича, которая представляет для этого исключительно богатый материал, а в монографии [Карпенко 2000] (см. также [Karpenko 2006]) исследуются функциональные свойства конечнозначных логик Лукасевича, следствия из которых оказались совсем неожиданными (см. ниже раздел 7.6). Отметим также книгу "Лукасевич и современная логика" [Baghramian and Simons 2000x].

Стоит отметить также отечественные работы, имеющие вводный характер: [Гиндикин 1972, \S11] и [Гаврилов и Сапоженко 1977, гл.3], а также статьи в энциклопедиях: [Зиновьев 1964], [Кудрявцев 1982] и [Карпенко 2001a]. Большим событием явилось переиздание работ Д.А.Бочвара, его учеников и последователей. См. [Финн (ред.), 2008a; 2008b].

Настоящая книга является существенно переработанным и значительно расширенным вариантом книги [Карпенко 1997]. Работы В.К.Финна (см. список использованной литературы), связанные с функциональными свойствами многозначных логик и взаимоотношением трехзначных логик, оказали решающее влияние на выбор многозначной логики, как основного направления в логических исследованиях.

Данная книга может служить справочником по многозначной логике с тщательным соблюдением хронологии ее развития и с большим списком использованной литературы. Причем в силу той особой роли, которую играет теория функциональных свойств многозначных логик в компьютерных науках и в различных приложениях, основное внимание будет уделено пропозициональным логикам. Главное здесь то, что средств пропозиционального языка часто бывает достаточно, чтобы выявить наиболее существенные и принципиальные отличия многозначной логики от классической двузначной логики. На сегодняшний день наиболее полное рассмотрение теории предикатных многозначных логик можно найти в монографии С.Готтвальда [Gottwald 2001].

Книга написана на основе специальных курсов, читавшихся в течение ряда лет на философском факультете Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова, студентам, специализирующимся по логике. Книга рассчитана на самый широкий круг читателей и не предполагает никаких предварительных знаний.

Автор благодарен В.М.Попову за ряд критических замечаний, высказанных в разное время, и В.И.Шалаку, высказанных при обсуждении книги, а также Л.Ю.Девяткину и Н.Е.Томовой за техническую поддержку.

Об авторе

Доктор философских наук, заведующий сектором логики Института философии РАН, профессор кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Ответственный редактор ежегодника "Логические исследования". Автор более 150 научных работ, изданных в нашей стране и за рубежом, в том числе монографий "Фатализм и случайность будущего: Логический анализ" (2-е изд. М.: URSS, 2008), "Логики Лукасевича и простые числа" (3-е изд. М.: URSS, 2009; в английском переводе – "Lukasiewicz Logics and Prime Numbers", Luniver Press, 2006). Под псевдонимом Александр Чаха опубликовано два сборника стихов с одним и тем же названием "Белый Кардинал" (М., 1995, 1997).