Понтрягин Л.С.Ак★★★✫ Дифференциальные уравнения и их приложения Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Эта книга представляет собою переработку моего учебника "Обыкновенные дифференциальные уравнения" (5-е изд. – М.: Наука, 1982) в сторону сильного сокращения и упрощения. При этом сохранены все конкретные применения обыкновенных дифференциальных уравнений, данные в учебнике.

Первое из приложений – электрические цепи – рассмотрено в § 14 главы 3. Даны законы Кирхгофа и правила прохождения электрического тока через простейшие двухполюсники: сопротивление, индуктивность, емкость. На этой основе рассмотрены приборы, имеющие практическое значение: трансформатор и фильтры частот.

Далее рассмотрена работа лампового генератора (глава 4, § 19), являющегося источником незатухающих электрических периодических колебаний. Устанавливается связь между этими колебаниями и предельным циклом Пуанкаре. Были сделаны многочисленные попытки объяснить электрические колебания линейной теорией, но это, естественно, оказалось невозможным. А.А.Андронову принадлежит заслуга обнаружения связи между предельными циклами Пуанкаре и незатухающими электрическими колебаниями.

И, наконец, в § 20 главы 4 дается разработанная Вышнеградским теория регулятора Уатта. Регулятор Уатта появился вместе с паровой машиной как прибор, поддерживающий постоянную скорость работы паровой машины. Работа регулятора Уатта заключается в том, что с увеличением скорости работы паровой машины подача пара уменьшается, а при уменьшении скорости подача пара увеличивается, и таким образом устанавливается стабильная скорость. До конца XIX столетия регулятор Уатта благополучно справлялся со своей задачей, а в конце XIX столетия он перестал ее выполнять. Вместо того чтобы стабилизировать скорость работы паровой машины, он создавал раскачку этой скорости. Многочисленные усилия многих специалистов выяснить причину этого явления с целью его устранения долгое время не имели успеха. Только в работе Вышнеградского, выдающегося русского инженера (он же был министром финансов), проблема была успешно разрешена. Он дал такую математическую идеализацию регулятора Уатта, из которой очевидным образом выяснилась причина нарушения его работы и дал рекомендацию устранения этой причины. Оказалось, что достаточно повысить трение в регуляторе Уатта, чтобы ликвидировать неустойчивость его работы.

Об авторе

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение в результате несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.