Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа.
Часть 1: Группы. Группа Галуа. Разрешимые уравнения. Некоторые приложения теории Галуа. Уравнения с наперед заданными группами. Элементы теории чисел. Ч.1. Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие

Настоящая книга не является первой в русской литературе, в которой излагается теория Галуа. Она изложена в курсах алгебры Ващенко-Захарченко, Граве, Сушкевича; ей посвящено несколько монографий на русском языке.

Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Появилось немало других алгебраических вопросов, решаемых при помощи теории Галуа: связь между групповой и арифметической природой уравнений, проблема резольвент и т.п. Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли в другие отделы математики и частью создали, частью подвинули вперед такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т.п.

Сообразно с новыми областями приложений, сама теория Галуа изменила свой язык. Вместо корней уравнения объектом изучения сделались поля алгебраических чисел; вместо подстановок – автоморфизмы полей, и т.п. Современные книги излагают теорию Галуа двояко: в курсах общей алгебры чаще можно встретить старый способ изложения, в то время как в книгах, посвященных алгебраическим числам и идеалам, изложение по большей части построено по-новому. При составлении настоящей книги я имел в виду познакомить читателя с обоими способами изложения и установить между ними связь.

Книга предназначена для студентов старших курсов, желающих специализироваться по алгебре (например готовящих по теории Галуа дипломную работу), аспирантов, а также для математиков-неалгебраистов, желающих познакомиться с основами теории Галуа. Имея в виду эти разнородные потребности, я испытывал известное колебание относительно порядка расположения материала. Дело в том, что каждая книга может быть построена систематически, согласно логически развертываемому плану; построенная таким образом книга удобна, как справочник^ так как в ней легко найти нужное определение или теорему. Для первоначального же ознакомления с предметом более удобно другое, методическое построение книги, где, формулируя или доказывая то или иное положение, мы заранее знаем, для чего оно нам понадобится. В конце концов я остановился на первом, систематическом способе построения книги, руководясь следующими соображениями: во-первых, книга рассчитана не только на первоначальное ознакомление с теорией Галуа, являясь, так сказать, вторым концентром; во-вторых, я считаю полезным приучать начинающих математиков к чтению книг не подряд, а возможно скорее ориентируясь во всем ее материале. Привычка к такому чтению совершенно необходима при всякой серьезной научной работе, так как литература даже по узким вопросам бывает настолько велика, что систематически прочесть ее почти невозможно, да и нецелесообразно, и потому для научного работника является весьма ценным качеством умение быстро ориентироваться во всем материале, который содержит данная литература.

Я позволю себе наметить примерный план, по которому начинающий математик должен читать книгу. Исторический очерк можно сразу читать или не читать, – это не имеет особого значения; главу I (о группах) лучше сначала пропустить, а начать сразу с главы II. § 1 посвящен беглому повторению университетского курса алгебры в нужном для нас объеме. § 2 также не требует знакомства с группами. Для §§ 3 и 4 необходимо только понятие группы, получаемое в § 1 главы I. Для § 5 главы II уже нужны §§ 2 и 3 главы I, прячем § 3 нужен только начиная с главы II, § 5. 10. После главы II, § 5 полезно прочесть главу I, § 4. Начиная с главы II, § 6. 5 нужен § 5 главы I.

Для главы III, §§ 1 и 2, нужен § б главы I (об абелевых группах), причем те из читателей, которые не изучали теории чисел, должны прочесть помещенное в конце книги "Добавление". Для главы III, § 3 уже нужен § 7 главы I.

Главы IV и V могут быть прочтены независимо друг от друга.

Можно, конечно, читать книгу и подряд, за исключением "Добавления" (для незнающих теории чисел), которое необходимо прочесть перед главой I, § 6.

Для удобства ориентации к книге приложен "Указатель терминов", а также указатель страниц, на которых помещены теоремы, для которых я ввел единую нумерацию (за исключением "Добавления", в котором теоремы перенумерованы римскими цифрами).

Параграфы и "пункты" (последние помечены просто арабскими цифрами, без значка "п.") ведут счет, начиная с каждой главы (и соответственно параграфа). Формулы имеют два значка, из которых первый указывает на параграф, а второй на номер формулы внутри параграфа. Это дает возможность легко находить нужные формулы, так как номера глав и параграфов помечены вверху каждой страницы.

Несмотря на элементарность изложения настоящей I части (мне пришлось избегать понятия идеала и даже целого алгебраического числа), я старался по возможности ввести читателей в круг современных проблем теории Галуа. Отведя разрешимости уравнений в радикалах сравнительно небольшое место, я дал понятие о проблеме построения уравнений с заданными группами, изложив два различные метода такого построения. Для второго метода мне однако не удалось дать строгого обоснования, которое потребовало бы знания теории идеалов. В конце книги я поместил параграф о "квадрируемых луночках". Этот вопрос, правда, не имеет большого принципиального интереса; его интерес заключается в методике решения, а также в характерной для алгебры и теории чисел постановке задачи: найти все случаи, удовлетворяющие тому или другому требованию. Такого рода задачи ставятся также при решении более важных вопросов алгебры.

При изложении основ теории Галуа я отступил от обычного классического способа определения группы Галуа при помощи резольвенты Галуа. Именно, я, следуя примеру Мертенса и Шатуновского, ввел понятие функциональных модулей (глава II, § 4). Мне кажется, что этот путь более соответствует духу теории Галуа и вместе с тем дает возможность непосредственно обозреть все "соотношения между корнями", которые при классическом изложении оторваны от идеи группы Галуа. Это дает также возможность несравненно легче провести доказательство теоремы 90: "группа сравнения изоморфна с некоторым делителем группы уравнения".

В тексте решено много примеров, а также дано 47 упражнений для самостоятельной работы читателя. На них читатель убеждается, что нахождение группы Галуа, весьма простое теоретически, на практике достигается путем всевозможных ухищрений, так как иначе необходимые выкладки были бы непомерно длинны.

Главные приложения современной теории Галуа: связь между арифметической и групповой природой уравнений, а также проблема резольвент, которые требуют знакомства с теорией идеалов и непрерывными группами, будут изложены в дальнейших частях книги.

Об авторе

Чеботарев Николай Григорьевич

Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР (1929). В 1916 г. окончил Киевский университет. С 1927 г. — профессор Казанского университета. Лауреат Сталинской премии первой степени (1948), заслуженный деятель науки РСФСР и ТАССР. Награжден орденом Ленина и другими орденами и медалями. Добился создания при Казанском университете Научно-исследовательского института математики и механики (1934), который и возглавлял с 1935 по 1947 гг. Впоследствии институту было присвоено его имя.

Н. Г. Чеботарев является автором решения проблемы Фробениуса о бесконечности множества простых чисел, принадлежащих классам подстановок группы Галуа. Он также добился высоких результатов в области проблемы резольвент (эта проблема связана с решением алгебраических уравнений). Широкую известность получили его работы в области теории Галуа, групп Ли, теории диофантовых приближений, теории целых аналитических функций.