Понтрягин Л.С.Ак★★★✫ Основы комбинаторной топологии

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

Первое издание этой книжки вышло в 1947 году. Предлагаемое второе издание печатается без изменений. Несмотря на то, что за прошедший период времени вышло большое количество литературы по комбинаторной топологии, эта книжка не утрачивает своих прежних преимуществ: сжатости и тщательности изложения, отличаясь благоприятным образом от более современных, но зато более обширных и абстрактных книг. Она содержит ряд основных понятий теории гомологии и заканчивается изложением важнейшего результата комбинаторной топологии – теоремы о числе неподвижных точек отображения.

Книжка написана на основе полугодового курса комбинаторной топологии, который я несколько раз читал в Московском государственном университете. Формально у читателя предполагаются лишь незначительные знания из теории функций действительного переменного, теории матриц и теории коммутативных групп; в действительности же для понимания книги требуется значительная математическая культура. Существенным недостатком книги является полное отсутствие в ней примеров, которые так нужны для уяснения геометрического содержания комбинаторной топологии. В книге используются некоторые весьма немногочисленные сведения относительно метрических пространств, которые теперь обычно включаются в курс анализа. Сведения эти можно почерпнуть, например, из книги Ж.Дьедонне "Основы современного анализа". Сведения из теории коммутативных групп, употребляемые в настоящей книге, можно найти в моей книге "Непрерывные группы".

Введение

Основы комбинаторной топологии были заложены на грани прошлого и нашего столетий великим французским математиком Пуанкаре, который черпал постановки математических задач из естествознания. В большей части его работ важную роль играет геометрическая интерпретация аналитических задач и геометрическая интуиция. Исходя из задач анализа, Пуанкаре пришел к мысли о необходимости изучения геометрических и в первую очередь топологических свойств многомерных многообразий. Первоначально Пуанкаре считал, что многообразие задается системой уравнений и неравенств относительно координат многомерного евклидова пространства. В таком многообразии он выделял подмногообразия меньшего числа измерений также при помощи уравнений. Уже при такой трактовке выявились те основные понятия, которые играют теперь главную роль в комбинаторной топологии. Если в n-мерном многообразии М имеется замкнутое подмногообразие Z меньшей размерности r, r<n, то возможны два случая: 1) в М существует ограниченное (r+1)-мерное подмногообразие С, границей которого служит Z; 2) в М не существует подмногообразия С с границей Z. В первом случае говорят, что Z гомологично нулю в М, и пишут: Z 0 в М. Во втором случае говорят, что Z негомологично нулю в М.

Пусть, например, М – область плоскости, заключенная между двумя концентрическими окружностями. Если за Z принять теперь окружность, концентрическую с исходными и расположенную в М, то очевидно, что Z не может служить границей в М и, следовательно, не гомологично нулю в М. Если же принять за Z окружность, которая ограничивает круг, целиком расположенный в М, то Z 0 в М. Из приведенного примера ясно видна связь понятия гомологии с анализом. Если в области М задана аналитическая функция, то интеграл от нее по контуру Z равен нулю в случае, когда Z 0 в М, и может быть не равен нулю в противном случае. Здесь же видно, что контур Z целесообразно рассматривать с заданным на нем направлением, так как от направления зависит знак интеграла. Аналогичная связь с интегрированием имеет место и в многомерном случае (формула Стокса); на место направления контура Z тогда становится ориентация многообразия М.

Уже после первой работы Пуанкаре обнаружилось, что аналитическая трактовка многообразий – задание их при помощи уравнений – приводит к ряду затруднений и может служить источником ошибок. Тогда Пуанкаре ввел новый прием изучения многообразий, – он стал разбивать их на элементарные куски – симплексы, правильно примыкающие друг к другу. Этот прием в полной мере сохраняет свое значение до сих пор и является основным в комбинаторной топологии. Благодаря ему понятие гомологии было формализовано, а гомологические инварианты многообразия, введенные Пуанкаре, – числа Бетти и коэффициенты кручения – получили точный логический смысл. Пуанкаре, введший числа Бетти и коэффициенты кручения многообразий, не сумел, однако, доказать их топологическую инвариантность; заслуга эта принадлежит американским математикам Александеру и Веблену. Они же установили, что вся теория гомологии применима не только к многообразиям, но и к геометрическим объектам более общего типа, именно к полиэдрам.

После Пуанкаре теория гомологии развивалась очень интенсивно. К ней присоединилась теория пересечений Лефшеца, которая была известна Пуанкаре лишь в зачаточном виде. Лефшецом и Хопфом были доказаны теоремы о неподвижных точках отображений. Александером была открыта новая теорема двойственности, которая вместе с теоремой двойственности Пуанкаре послужила базой для широкого развития топологических теорем двойственности, в чем большое участие приняли советские математики. Также при участии советских математиков была построена теория верхних гомологии. Наконец, Александров нашел пути применения теории гомологий к теоретико-множественным объектам и тем установил синтез комбинаторной и теоретико-множественной топологии.

В настоящее время теория гомологии продолжает развиваться, но главной задачей, как я считаю, является теперь применение ее к решению геометрических проблем, в постановку которых самое понятие гомологии не входит. Некоторые из них решены полностью, – такова задача о нахождении суммы индексов неподвижных точек при отображении полиэдра в себя. Решение других находится в зачаточном состоянии, – такова задача о классификации непрерывных отображений одного полиэдра в другой.

В настоящее время широко понимаемая теория гомологии является основным хорошо развитым аппаратом комбинаторной топологии, и знание ее для занятий комбинаторной топологией совершенно необходимо.

В предлагаемой книге дается изложение основ теории гомологии и некоторых ее приложений. В главе I определяются понятия комплекса и его групп Бетти. В главе II доказывается топологическая инвариантность групп Бетти. В главе III даются приложения теории гомологии: строятся гомологические инварианты непрерывного отображения одного полиэдра в другой и устанавливается некоторое достаточное условие существования неподвижной точки при отображении полиэдра в себя.

Об авторе

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение от несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.