URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях
Id: 175610
 
449 руб.

Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях. Изд.2

URSS. 2014. 326 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-04274-1.

 Аннотация

Геодезические потоки римановых метрик на поверхностях --- это классический объект геометрии. Особое место среди них занимают интегрируемые геодезические потоки. В книге эти потоки рассматриваются в контексте общей теории интегрируемых гамильтоновых систем, на основе развитых в последние годы новых методов их качественного анализа. Такой подход оказывается чрезвычайно полезным для более глубокого понимания топологии и геометрии интегрируемых геодезических потоков. Главным объектом изучения в книге является класс интегрируемых геодезических потоков римановых метрик на двумерных поверхностях. Книга написана простым и ясным языком, снабжена большим числом рисунков.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических специальностей университетов, а также на специалистов математиков и физиков, интересующихся современными приложениями геометрии в смежных областях.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Основные понятия
 § 1.Линейная симплектическая геометрия
 § 2.Симплектические и пуассоновы многообразия
 § 3.Локальные свойства симплектических многообразий
 § 4.Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля
 § 5.Нерезонансные и резонансные системы
 § 6.Число вращения
 § 7.Отображение момента интегрируемой системы и его бифуркационная диаграмма
 § 8.Невырожденные точки отображения момента и функции Ботта
 § 9.Интегралы Ботта с точки зрения четырехмерного симплектического многообразия
 § 10.Основные типы эквивалентностей динамических систем
Глава 2. Топология слоений, порождаемых функциями Морса на двумерных поверхностях
 § 1.Функции Морса
 § 2.Граф Риба функции Морса
 § 3.Понятие атома
 § 4.Простые молекулы
 § 5.Сложные атомы
 § 6.Классификация атомов
 § 7.Общее понятие молекулы
 § 8.Аппроксимация сложных молекул простыми
Глава 3. Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы
 § 1.Классификация невырожденных критических многообразий на изоэнергетических 3-поверхностях
 § 2.Топологическое строение окрестности особого слоя слоения Лиувилля
 § 3.Топологически устойчивые гамильтоновы системы
 § 4.2-атомы и 3-атомы
 § 5.Классификация 3-атомов
 § 6.3-атомы как перестройки торов Лиувилля
 § 7.Молекулы интегрируемой системы
Глава 4. Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы
 § 1.Допустимые системы координат на границе 3-атома
 § 2.Матрицы склейки и избыточные оснащения молекулы
 § 3.Инварианты (числовые метки) $r, \varepsilon , n$
  1.Метки $r_{i}$ и $\varepsilon_{i}$.91
  2.Метки $n_{k}$ и семьи в молекуле.
 § 4.Меченая молекула -- полный инвариант лиувиллевой эквивалентности
 § 5.Влияние ориентаций
  1.Изменение ориентации на ребре молекулы.
  2.Изменение ориентации 3-многообразия $Q$.
  3.Изменение ориентации гамильтонова векторного поля.
 § 6.Теорема реализации
 § 7.Простые примеры молекул
 § 8.Гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна
Глава 5. Траекторная классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы
 § 1.Функция вращения системы на ребре молекулы. Вектор вращения
 § 2.Редукция трехмерной траекторной классификации к двумерной классификации с точностью до сопряженности
  1.Трансверсальные площадки.
  2.Поток Пуанкаре и гамильтониан Пуанкаре.
  3.Теорема редукции.
 § 3.Общая концепция построения траекторных инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
Глава 6. Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
 § 1.Постановка задачи
 § 2.Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на двумерных поверхностях
 § 3.Два примера интегрируемых геодезических потоков
  1.Поверхности вращения.
  2.Метрики Лиувилля.
 § 4.Описание метрик, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи линейных или квадратичных интегралов. Локальная теория
  1.Некоторые общие свойства полиномиальных интегралов геодезических потоков. Локальная теория.
  2.Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают линейный интеграл. Локальная теория.
  3.Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают квадратичный интеграл. Локальная теория.
 § 5.Линейно и квадратично интегрируемые геодезические потоки на замкнутых поверхностях
  1.Случай тора.
  2.Случай бутылки Клейна.
  3.Случай сферы.
  4.Случай проективной плоскости.
Глава 7. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях
 § 1.Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе
 § 2.Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна
  1.Случай квадратичного интеграла.
  2.Случай линейного интеграла.
  3.Случай квази-линейного интеграла.
  4.Случай квази-квадратичного интеграла.
 § 3.Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерной сфере
  1.Случай квадратичного интеграла.
  2.Случай линейного интеграла.
 § 4.Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости
  1.Случай квадратичного интеграла.
  2.Случай линейного интеграла.
Глава 8. Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях и функции вращения
 § 1.Случай тора
  1.Потоки с простыми бифуркациями (атомами).
  2.Потоки со сложными бифуркациями (атомами).
 § 2.Случай сферы
 § 3.Примеры интегрируемых геодезических потоков на сфере
  1.Трехосный эллипсоид.
  2.Стандартная сфера.
  3.Сфера Пуассона.
 § 4.Нетривиальность классов траекторной эквивалентности и метрики с замкнутыми геодезическими
Глава 9. Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
 § 1.Общий принцип Мопертюи
 § 2.Принцип Мопертюи в динамике твердого тела
 § 3.Принцип Мопертюи и явный вид метрик на сфере, порожденных квадратичным гамильтонианом на алгебре Ли группы движений ${{\pmsbm R} ^{\pbf 3}$
 § 4.Классические случаи интегрируемости в динамике твердого тела и отвечающие им интегрируемые геодезические потоки на сфере
  1.Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона.
  2.Случай Клебша и геодезический поток эллипсоида.
  3.Случай Горячева--Чаплыгина и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере.
  4.Случай Ковалевской и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере.
 § 5.Гипотеза о метриках с интегралами больших степеней
 § 6.Теорема Дини и геодезическая эквивалентность римановых метрик
 § 7.Обобщенный принцип Мопертюи--Дини
 § 8.Траекторная эквивалентность задачи Неймана и задачи Якоби
 § 9.Явный вид некоторых замечательных гамильтонианов и их интегралов в разделяющихся переменных
Глава 10. Эквивалентность случая Эйлера в динамике твердого тела и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде
 § 1.Введение
 § 2.Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде и случай Эйлера в динамике твердого тела
 § 3.Лиувиллевы слоения
 § 4.Функции вращения
 § 5.Основная теорема
 § 6.Гладкие инварианты
 § 7.Топологическая несопряженность задачи Якоби и случая Эйлера
Список литературы

 Предисловие

Геодезические потоки римановых метрик на поверхностях -- это классический объект геометрии. Особое место среди них занимают интегрируемые геодезические потоки. Здесь мы рассматриваем их в контексте общей теории интегрируемых гамильтоновых систем, используя развитые в последние годы новые методы их качественного анализа. Такой подход, на наш взгляд, оказывается чрезвычайно полезен для более глубокого понимания топологии и геометрии интегрируемых геодезических потоков.

По существу книга представляет собой обзор, в котором главным объектом изучения является класс интегрируемых геодезических потоков римановых метрик на двумерных поверхностях. Таких потоков довольно много на поверхностях малого рода, в частности, на сфере и на торе. Напротив, на поверхностях рода $>1$, таких потоков нет вообще при разумных ограничениях на характер первого интеграла. Одной из основных наших целей будет классификация интегрируемых геодезических потоков с точностью до эквивалентностей различных типов. Основными из них являются следующие: 1) изометрия, 2) лиувиллева эквивалентность, 3) траекторная эквивалентность (гладкая и непрерывная), 4) геодезическая эквивалентность. В книге мы постарались систематически изложить как классическую, так и современную "технологию", позволяющую решать задачу классификации.

Первая часть книги (главы 1--5) посвящена общим методам и результатам качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем и их инвариантов. С точки зрения этой теории одной из основных характеристик интегрируемой системы служит так называемое слоение Лиувилля, т.е. разбиение фазового пространства на торы Лиувилля и на особые интегральные поверхности. В качестве простейшего примера, облегчающего дальнейшее понимание, в главе 2 мы рассматриваем одномерные слоения Лиувилля, порожденные функциями Морса на двумерных поверхностях. Здесь мы вводим понятия атома и молекулы, описывающие, соответственно, перестройки линий уровня функции и глобальную структуру возникающего слоения с особенностями. Обобщения этих понятий на случай двух степеней свободы используются затем как один из основных инструментов качественного анализа интегрируемых систем.

В главах 3, 4, 5 строится теория траекторной и лиувиллевой классификации интегрируемых невырожденных (боттовских) гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Вводятся топологические траекторные инварианты таких систем. Во многих случаях эти инварианты удается эффективно вычислять, что позволяет, например, сравнивать между собой различные системы и обнаруживать новые, ранее неизвестные изоморфизмы между классическими интегрируемыми системами, хорошо известными в физике и геометрии. В качестве одного из примеров использования теории инвариантов в главе 10 доказывается траекторная топологическая эквивалентность известной задачи Эйлера и задачи Якоби.

Однако, центральной темой настоящей работы является исследование интегрируемых геодезических потоков римановых метрик на поверхностях. Этому посвящены главы 6--8. В частности, дается полная метрическая и лиувиллева классификация линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков на всех двумерных поверхностях. Обсуждаются их локальные и глобальные свойства, а также топологические препятствия к интегрируемости.

В главе 9 излагается принцип Мопертюи, его современные обобщения и приложения к задаче построения интегрируемых геодезических потоков на базе интегрируемых натуральных систем. С использованием этого принципа строятся новые примеры геодезических потоков на сфере, интегрируемых при помощи интегралов степени три и четыре, причем степени этих интегралов оказываются непонижаемыми. Дается современная интерпретация теоремы Дини о геодезически эквивалентных метриках на двумерных поверхностях, и доказывается обобщенный принцип Мопертюи--Дини, объединяющий в естественном смысле эти два классических результата и позволяющий обнаруживать новые примеры изоморфизмов.

Отметим, что в работе рассматриваются в основном геодезические потоки на двумерных многообразиях. Многомерный случай мы здесь систематически не изучаем, хотя многие из перечисляемых результатов имеют естественные многомерные обобщения. В то же время в многомерном случае общая классификационная теория пока далека от завершения. С темой нашего обзора естественно связаны и другие вопросы, например, теория интегрируемых биллиардов, или интегрируемые геодезические потоки метрик Карно--Каратеодори. Мы не затрагиваем здесь этих тем, отсылая интересующихся читателей например к,,.

Мы сочли уместным привести в работе доказательства многих фактов о геодезических потоках ввиду отсутствия их систематического изложения в современной литературе. Кроме того, книга содержит много новых результатов, которые ранее вообще нигде не публиковались.

Мы постарались упорядочить то, что нам известно по этой тематике. В процессе работы над книгой нам удалось уточнить многие доказательства и даже формулировки некоторых теорем. Этому способствовали многочисленные беседы с коллегами, в числе которых были И. К. Бабенко, А. В. Борисов, Х. Дуллин, В. В. Козлов, В. С. Матвеев, Н. Н. Нехорошев, А. А. Ошемков, П. Рихтер, Е. Н. Селиванова, А. М. Степин, И. А. Тайманов, П. Й. Топалов, Ю. Н. Федоров.

Работа над книгой была поддержана грантом поддержки ведущих научных школ 96--15--96142, грантом Президента РФ 96--15--96868 и грантом РФФИ 95--01--01604.

А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко


 Об авторе

Фоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), АТН РФ (Академии технологических наук Российской Федерации). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей; создал теорию классификации интегрируемых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации (в области математики) за работы по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых систем. Лауреат премии Московского математического общества и премии Президиума АН СССР. Автор более 250 научных работ, 30 монографий и учебников. Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце