URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Тюкин И.Ю., Терехов В.А. Адаптация в нелинейных динамических системах
Id: 174325
 
449 руб.

Адаптация в нелинейных динамических системах. № 36. Изд.стереотип.

URSS. 2014. 384 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-382-01473-9.

 Аннотация

В настоящей книге излагается оригинальный подход к проблеме адаптации в нелинейных динамических системах. Адаптивность как свойство приспособления рассматривается применительно к задачам обработки информации в нелинейных динамических системах, математическая модель которых известна не полностью. В первую очередь теория и методы адаптации ориентированы на задачи управления в открытых динамических системах. Но приводимые в книге методы и алгоритмы адаптации успешно могут быть распространены и на решение задач обработки эмпирической информации в разных областях науки и техники.

Книга базируется на использовании аппарата функционального анализа, нелинейной динамики, теории аппроксимации и синергетики. Приведенные примеры решенных на основе введенной теории, методов и алгоритмов адаптации задач иллюстрируют междисциплинарный характер проблемы адаптации в динамических системах различной природы и назначения. Поэтому книга рассчитана на довольно широкий круг читателей --- специалистов в области кибернетики, прикладной математики, биофизики и других отраслей науки и техники.

Книга может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов технических университетов и аспирантов, обучающихся по специальностям в области управления и информатики.


 Оглавление

От редакции
Предисловие от редколлегии (Г.Г.Малинецкий)
Основные термины, обозначения и их определения
Введение
1. Проблемы адаптации в управляемых нелинейных детерминированных системах
 § 1.1.Логические основы проблемы адаптивного управления
  1.1.1.Поисковый принцип адаптации и экстремальные системы
  1.1.2.Беспоисковый принцип адаптации
 § 1.2.Математические постановки задачи адаптивного управления
 § 1.3.Методы синтеза адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами
  1.3.1.Системы с линейной и выпуклой параметризацией
  1.3.2.Системы с невыпуклой параметризацией
  1.3.3.Метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов и принцип инвариантного погружения в задачах адаптивного управления
 § 1.4.Проблемы адаптивного управления нелинейными объектами
 § 1.5.Новый подход к решению проблемы адаптации в нелинейных системах
2. Функциональный анализ динамических систем
 § 2.1.Операторное описание динамических систем
 § 2.2.Свойства операторов устойчивых систем
 § 2.3.Постановка задачи функционального анализа и регулирования неравновесных, открытых и неустойчивых систем
 § 2.4.Анализ и синтез систем с локально ограниченными операторами
  2.4.1.Анализ реализуемости соединений систем с локально ограниченными операторами
  2.4.2.Задача функционального синтеза адаптивного регулятора. Принцип разделения
 § 2.5.Анализ асимптотического поведения систем с локально ограниченными операторами
 § 2.6.Анализ асимптотического поведения неустойчивых систем
  2.6.1.Теорема о малом контурном усилении для неравномерной сходимости
  2.6.2.Характеризация притягивающего множества по Милнору
  2.6.3.Системы с сепарабельной динамикой
3. Задачи адаптивного управления для классов нелинейных объектов
 § 3.1.Постановка задачи адаптивного управления в условиях функциональной неопределенности и нелинейной параметризации
 § 3.2.Синтез прямого адаптивного управления нелинейными динамическими объектами
  3.2.1.Метод виртуального алгоритма адаптации. Достаточные условия реализуемости
  3.2.2.Задача вложения. Достаточные условия разрешимости
  3.2.3.Задача прямого адаптивного управления классом объектов с моделями в нижнетреугольной форме
 § 3.3.Задача адаптивного регулирования к инвариантным множествам
  3.3.1.Объекты с параметрической неопределенностью и нелинейной параметризацией
  3.3.2.Объекты с сигнальными возмущениями и линейной параметризацией
 § 3.4.Задача адаптивного управления взаимосвязанными нелинейными системами
  3.4.1.Системы с немоделируемой динамикой
  3.4.2.Функциональная нормализация немоделируемых возмущений
  3.4.3.Децентрализованное адаптивное управление
 § 3.5.Задача параметрической идентификации объектов с нелинейно параметризованными моделями одного класса
 § 3.6.Задача недоминирующего управления объектами с нелинейной параметризацией общего вида
4. Искусственные нейронные сети в задаче адаптивного управления
 § 4.1.Задача адаптивного управления объектами с неопределенной физической моделью возмущений
 § 4.2.Задача ко-монотонной нейросетевой аппроксимации функций
 § 4.3.Задача синтеза алгоритмов настройки параметров
  4.3.1.Формальная постановка задачи
  4.3.2.Аппроксимация функций с помощью логистических уравнений
  4.3.3.Синтез алгоритмов оценки параметров систем логистических уравнений
5. Решения прикладных задач адаптивного управления и идентификации нелинейных динамических систем
 § 5.1.Задача управления динамикой автомобиля в режиме разгона/торможения в условиях неопределенности качества дорожного покрытия
  5.1.1.Система прямого адаптивного управления
  5.1.2.Результаты моделирования
 § 5.2.Задача идентификации моделей электрической активности клеток нервной системы по измерениям мембранного потенциала
  5.2.1.Формальная постановка задачи
  5.2.2.Анализ модели
  5.2.3.Синтез алгоритма идентификации
 § 5.3.Задача адаптивного сравнения шаблонов в системах обработки визуальной информации
  5.3.1.Постановка задачи
  5.3.2.Условия синхронизации осцилляторов-детекторов совпадений
  5.3.3.Синтез подсистемы адаптивной фильтрации оптических возмущений
  5.3.4.Результаты экспериментальной апробации системы
Послесловие
Приложение 1. Дополнение к методам нелинейного адаптивного управления
 § П1.1.Адаптивный обход интегратора
 § П1.2.Адаптивный обход интегратора с функциями настройки
 § П1.3.Минимаксный алгоритм адаптивного управления для систем с нелинейной параметризацией
Приложение 2. Доказательства утверждений главы 2
 § П2.1.Доказательство теоремы 2.1
 § П2.2.Доказательство теоремы 2.3
 § П2.3.Доказательство теоремы 2.4
 § П2.4.Доказательство теоремы 2.5
 § П2.5.Доказательство теоремы 2.6
 § П2.6.Доказательство теоремы 2.7
 § П2.7.Доказательство леммы 2.2
 § П2.8.Доказательство леммы 2.3
 § П2.9.Доказательство следствия 2.2
 § П2.10.Доказательство следствия 2.3
 § П2.11.Доказательство следствия 2.4
Приложение 3. Доказательство утверждений главы 3
 § П3.1.Доказательство теоремы 3.1
 § П3.2.Доказательство следствия 3.1
 § П3.3.Доказательство теоремы 3.2
 § П3.4.Доказательство теоремы 3.3
 § П3.5.Доказательство леммы 3.1
 § П3.6.Доказательство теоремы 3.4
 § П3.7.Доказательство следствия 3.2
 § П3.8.Доказательство теоремы 3.5
 § П3.9.Доказательство теоремы 3.6
 § П3.10.Доказательство теоремы 3.7
 § П3.11.Доказательство теоремы 3.8
 § П3.12.Доказательство теоремы 3.9
 § П3.13.Доказательство теоремы 3.10
 § П3.14.Доказательство теоремы 3.11
 § П3.15.Доказательство следствия 3.3
Приложение 4. Доказательство утверждений главы 4
 § П4.1.Доказательство теоремы 4.1
 § П4.2.Доказательство теоремы 4.2
 § П4.3.Доказательство леммы 4.1
 § П4.4.Доказательство теоремы 4.3
Литература
Предметный указатель

 Предисловие от редколлегии (Г.Г.Малинецкий)

Преодоление трудного начинается с легкого, осуществление великого начинается с малого, ибо в мире трудное образуется из легкого, а великое -- из малого.
Лао-Цзы

Книгу, которую вы держите в руках, вероятно, ждет долгая и счастливая жизнь. Это не значит, что у нее будет очень много читателей -- обилие формул и высокий математический уровень предполагают серьезную предварительную подготовку. Эта книга не поможет студентам и аспирантам, осваивающим теорию управления, "выучить и сдать". Не поможет в силу глубокого анализа и оригинальности выдвигаемого подхода. Эта работа не привлечет ни популяризаторов науки, ни специалистов по внедрению инноваций. Поставленные в ней вопросы более фундаментальны и значимы, чем ответы на них, которые сегодня могут предложить авторы, да и наука об управлении в целом.

Вместе с тем эта работа представляется одним из наиболее глубоких, оригинальных и значимых исследований в теории управления среди появившихся в России в последнее десятилетие. На причины этого и хочется обратить внимание в предисловии. Важно, чтобы отдельные деревья не заслонили в сознании читателя леса, чтобы тучи и туман не скрыли путеводную звезду, которая ведет авторов.

В науке немного основополагающих идей. Одним из побудительных мотивов в научной деятельности является искус универсальности, возможность увидеть единое во многом. В теории управления такую идею выдвинул один из основоположников кибернетики Норберт Винер. Эта идея была связана с осознанием универсальности механизмов управления в организме, обществе, в природных и технических системах. По сути дела, это взгляд на мир как на множество управляемых и управляющих систем. Трудно переоценить толчок, который дала эта идея инженерам и исследователям.

Современная теория управления представляет собой обширную, состоявшуюся дисциплину со своими проблемами, математическим аппаратом, традициями. По оценке патриарха отечественной теории управления, академика А.А.Красовского, только одному разделу теории -- адаптивному управлению (который рассматривается в книге) -- посвящено более 10 тысяч работ.

В этом успехе, в бурном развитии есть и проблемы, и корни будущих трудностей. Нереально надеяться, что специалист прочтет, осмыслит и будет активно пользоваться результатами даже нескольких сот работ в своей профессиональной жизни. Поэтому приходится сосредотачиваться на главном, на идеях и основополагающих результатах. И поэтому особенно велика роль ученых и исследований, выявляющих и осмысливающих главное в таких обширных, давно развивающихся областях. Именно такова эта книга.

В ней рассматривается то принципиально новое, что внесено в сотнях работ по теории адаптивного управления, выполненных за последние 60 лет. Это особенно важно, поскольку и начинающим, и состоявшимся ученым необходимо увидеть барьер, к которому они подошли (и который научные популяризаторы часто называют передним краем науки). В\'идение одного из этих барьеров, связанного с теорией адаптивного управления, блестяще представлено в книге. Большое впечатление производит тщательность анализа и скрупулезность авторов -- новые идеи, постановки задач, формулировки найдены в монографиях, оригинальных статьях, тезисах конференций, проводившихся десятки лет назад. Собственно, это и обеспечивает непрерывность и целостность научного поиска. Появление таких работ возможно только в крупных научных школах, где усилия нескольких поколений исследователей в течение десятилетий вкладываются в решение ключевых научных проблем. Авторы представляют ленинградскую школу в теории управления, результаты которой получили мировое признание.

Теория управления -- старая область исследований. Если вести отсчет от создания основ вариационного исчисления и работ Эйлера, то ей около 300 лет. Ее вторая молодость, связанная, прежде всего, с оборонными задачами и электронными системами, пришлась на 50-е, 60-е годы прошлого века. Наведение ракет и космические полеты потребовали создания и математического аппарата, и вычислительных алгоритмов. При этом ключевые задачи были связаны с техническими системами, четко определенными и неизменными целевыми функциями и относительно небольшим влиянием внешней среды. Впрочем, еще одним важным источником развития были задачи планирования, и в частности планирования в экономике. Работы академика Л.В.Канторовича, удостоенные Нобелевской премии по экономике (1975), показывают, насколько велики были надежды на применение идей теории управления в социально-экономической сфере. Как знать, может быть, их ждет возрождение в недалеком будущем.

В 60-х годах XX века имел место взлет прикладной математики. Исследователи, вдохновленные успехами электроники, поставили вопрос об адаптации исследуемых или проектируемых систем к условиям, меняющимся в очень широких пределах. Выдающийся советский ученый академик С.И.Вавилов считал вопрос о механизмах адаптации организмов ключевым в области, которая позже начала называться биофизикой. Опыты, поставленные под его руководством в Физическом институте АН СССР, показали, что глаз после аккомодации способен в определенных условиях регистрировать отдельные кванты. С другой стороны, прогресс техники привел к развитию идеи самонастраивающихся систем, которые настраиваются на оптимальный в данных условиях режим работы. Их позже и стали называть адаптивными, полагая, что это "автоматическая система, осуществляющая поиск оптимального состояния и изменяющая режим работы системы или перестраивающая ее параметры (а иногда и структуру) в соответствии с найденным оптимальным состоянием".

В больших серьезных теориях очень часто есть элементарная "игрушка", которая позволяет увидеть и суть, и результат в простейшей ситуации. Например, в теории управления одна из таких игрушек -- маятник П.Л.Капицы. Это обычный физический маятник с быстро колеблющейся точкой подвеса. Маятник имеет устойчивое и неустойчивое состояния равновесия. Быстрые колебания позволяют стабилизировать верхнее, неустойчивое положение равновесия. Эта модель иллюстрирует принцип, сыгравший важную роль в теории и в конструировании нескольких технических систем.

Теории адаптивного управления повезло. У нее есть такие "игрушки". Они связаны с адаптивным поведением конечных автоматов (систем, имеющих конечный набор состояний, меняющих свое состояние в дискретные моменты времени). Теория таких автоматов была построена в научной школе академика И.М.Гельфанда в Институте прикладной математики АН СССР М.В.Цетлиным, В.Ю.Крыловым и их коллегами. Автомат выбирает одну из стратегий, а среда, состояние которой меняется, "наказывает" или "награждает" его в зависимости от уместности стратегии в данном состоянии среды. Естественно, чтобы "разумно" действовать, автомат должен иметь память, "настраиваться", "обучаться", "извлекать уроки из своих предыдущих действий". Оказалось, что такие элементарные механизмы адаптации и эффективны, и содержательны, и достаточно просты для анализа.

Тут, пожалуй, ст\'оит в рассказе о былых надеждах и успехах поставить точку и согласиться с авторами -- современная теория адаптивного управления зашла в тупик. И суть книги И.Ю.Тюкина, В.А.Терехова -- указать путь из этого тупика.

Строя теорию, исследователи упрощают, конкретизируют, ограничивают поле анализа, множество моделей и используемых инструментов. Они воздвигают барьеры, чтобы придать исследованию в одних случаях строгость, в других -- конкретность, в третьих -- привлечь известный математический аппарат. И следующим поколениям исследователей подчас приходится ломать барьеры и выходить за очерченные рамки. Иногда это дает удивительные результаты.

В качестве примера здесь можно привести теорию нейронных сетей. В 1970-х годах было получено множество строгих результатов, доказаны прекрасные теоремы, выделены принципиально неразрешимые для нейронных сетей задачи. Но для упрощения ситуации рассматривались однослойные сети. Однако стоило убрать этот барьер, перейти к трехслойным сетям -- и пути решения неразрешимых прежде задач стали очевидны.

Пафос книги "Адаптация в нелинейных динамических системах" в том же. В том, чтобы убрать барьеры, возведенные при создании многих предшествующих теорий адаптивного управления.

Эти барьеры были связаны, например, с представлением о простом адаптивном регуляторе. Во многих предыдущих работах эта простота предполагалась или постулировалась. Но откуда следует, что управляющая система должна быть проще управляемых? В новой компьютерной реальности, когда процессорами можно снабдить множество систем, эффективность управления намного более значима, чем простота. Это должна учитывать и теория. Кроме того, стоит оглянуться и на опыт живого. Видимо, мозг в чем-то существенно сложнее всего того, чем он управляет.

Другое ограничение связано с использованием функций Ляпунова. Этот замечательный аппарат оказался ключом ко множеству теоретических и прикладных систем. Но что означает существование такой функции? То, что управляемая динамическая система имеет "цель", и задача нашего управления помочь скорее достичь этой цели. Но опыт вначале качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем нелинейной динамики и теории самоорганизации -- синергетики -- показал, что во множестве открытых нелинейных систем наличие "цели", желаемого устойчивого положения равновесия, к которому следует стремиться, является, скорее, исключением, чем правилом. Для таких систем характерно наличие нескольких различных режимов функционирования, нескольких аттракторов (притягивающих множеств в фазовом пространстве), существование периодических, а иногда и хаотических режимов. В них, по сути, "пройденный путь" не менее важен, чем "цель". И многие задачи управления должны ставиться по-другому. Если, выводя на орбиту космический аппарат, мы старались минимизировать затраты топлива на пути, то при управлении многими технологическими процессами, организмом, вычислительной системой нас интересует их функционирование в течение всего времени. И мы управляем, чтобы улучшить его, максимально используя потенциал системы ("принцип кормчего", как называл такой подход выдающийся советский исследователь академик Н.Н.Моисеев). Но это совсем другой взгляд на управление.

Кроме того, все более важной становится задача стабилизации неустойчивых состояний равновесия или движений. Все больше сторонников завоевывает идея вести многие технологические процессы в нестационарном режиме. Здесь теория адаптивного управления тесно смыкается с такими бурно развивающимися разделами нелинейной динамики, как теория управления хаосом и теория хаотической синхронизации.

Основой основ теории управления является выпуклость множества, на котором оптимизируется процесс, и выпуклость функции, которая оптимизируется. Но во множестве реальных ситуаций не выполняется ни то ни другое требование! Тем не менее управлять необходимо.

Конечно, следует отдать себе отчет в том, что современная теория управления во многом линейна. Это огромное упрощение. Но реальность заставляет двигаться вперед. И адаптивное управление предполагает нелинейность и объектов управления, и управляющих систем.

Книга, посвященная адаптивному управлению, издается в серии "Синергетика: от прошлого к будущему". На это есть несколько причин.

Адаптация и самоорганизация и по своим принципам, и по результатам оказываются близки. Адаптация, связанная с оценкой параметров внешней среды и их изменениями, опирается на "диссипативные элементы", позволяющие демпфировать и усреднять быстрые изменения, с тем чтобы выявлять тренды и тенденции, под которые надо подстраивать систему. С другой стороны, классические примеры самоорганизации -- диссипативные структуры -- также связаны с рассеянием энергии с процессами "пространственного усреднения" (диффузией, вязкостью, теплопроводностью). И результаты в обоих случаях обычно оказываются схожи -- лучшая приспособленность к изменению внешних условий благодаря их более точному отражению в свойствах или структуре системы, меньшее рассеяние энергии в новом состоянии.

И в теории адаптивного управления, и в теории самоорганизации ключевую роль играет концепция параметров порядка. Во множестве систем, рассматриваемых в теории управления, нельзя "управлять всем". И на вопрос: "Чем же надо управлять?" специалист все чаще отвечает: "Параметрами порядка".

И теория самоорганизации, и теория адаптивного управления начинают пользоваться плодами научной революции, произошедшей в нелинейной динамике. Революцией, связанной с открытием странных аттракторов, с исследованиями динамического хаоса, фракталов, явления хаотической синхронизации, стохастического резонанса. И, видимо, в обеих теориях главные концептуальные сдвиги и прикладные результаты, связанные с этим, впереди.

Замечательной особенностью этой книги является четкое выделение этих барьеров, рефлексия современного состояния теории. Это основа для того, чтобы и авторам, и другим ученым преодолеть барьеры. Если бы в книге было сделано только это, то и тогда она заслуживала бы внимание и специалистов, и молодых исследователей.

Но сделано намного больше. Общие соображения формализованы и доведены до постановки конкретных математических задач. Академик Яков Борисович Зельдович -- выдающийся физик и в течение многих лет сотрудник Института прикладной математики АН СССР -- советовал "заниматься формализацией, как только понята суть". Именно это тщательно, аккуратно, на высоком математическом уровне сделано для многих проблем теории адаптивного управления. Очень ценно приложение, содержащее доказательства используемых теорем.

В настоящее время в прикладной математике произошли две "тихие революции". Первая связана с исследованием и достигнутым пониманием свойств динамических систем размерности больше двух. Родившиеся в этой теории понятия -- динамический хаос, бифуркации, странные аттракторы, фракталы, эффект бабочки -- сейчас на слуху. Компьютерное моделирование позволило теории здесь шагнуть далеко вперед.

Вторая "тихая революция" связана с развитием и широким использованием нейронных сетей. Образно говоря, идеи нейронных сетей сразу шагнули в сферу технологий, минуя область науки.

Авторы книги предлагают воспользоваться в теории адаптивного управления результатами второй, нейросетевой, революции. По сути, нейронная сеть, в определенном смысле, может рассматриваться как модель изучаемой системы. Обучив в ходе реального функционирования или на модельных примерах сеть, можно получить "alter ego" объекта управления. На этой основе заниматься адаптивным управлением значительно проще.

Еще одним большим достоинством книги являются конкретные задачи, решение которых опирается на предлагаемые подходы. Задачи рассмотрены подробно, и результаты "доведены до числа". Собственно, задачи три. Это управление динамикой автомобиля в режиме разгона/торможения в условиях неопределенности качества дорожного покрытия; идентификация моделей электрической активности клеток нервной системы по измерениям мембранного потенциала; адаптивное сравнение шаблонов в системах обработки визуальной информации. Эти задачи относятся к разным областям -- конструированию, идентификации нелинейных математических моделей, техническому зрению. И в каждом из этих случаев предлагаемые в книге подходы к адаптивному управлению приводят к интересным, значимым результатам.

В научных дисциплинах порой удается выделить "идеи науки зрелого возраста". Идеи, которые дают всей области исследований второе дыхание, меняют приоритеты, становятся локомотивами для других разделов.

В геометрии это, к примеру, Эрлангенская программа Феликса Клейна. Идея выделить в уже существующей геометрии множество разных геометрий в зависимости от того, какие преобразования в них допускаются и что остается инвариантным при таких преобразованиях, определила логику развития большой области математики на век вперед.

Замечательная идея грубости или структурной устойчивости, высказанная в 40-х годах XX века, начала выстраивать и во многом определять облик всей теории динамических систем в течение многих десятилетий. Многие красивые теории, в сущности, оказываются воплощениями этой идеи после уточнения, какие свойства должна сохранить динамическая система и каков класс ее допустимых возмущений.

Хочется надеяться, что теория адаптивного управления сейчас, с учетом достижений и опыта смежных областей, интереса к междисциплинарным подходам и новых компьютерных возможностей окажется "идеей зрелого возраста" для теории управления в целом. Поможет ей обрести второе дыхание. Возможно, важную роль в становлении новой парадигмы адаптивного управления сыграет эта глубокая, оригинальная, интересная книга. Будущее покажет.

Председатель редколлегии серии "Синергетика: от прошлого к будущему" профессор Г.Г.Малинецкий

 Об авторах

Иван Юрьевич ТЮКИН

Доктор технических наук, ведущий научный сотрудник кафедры автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ".

В 1998 г. окончил факультет автоматики и вычислительной техники, кафедру автоматики и процессов управления СПбГЭТУ "ЛЭТИ". В 2001 и 2006 гг. защитил кандидатскую и докторскую диссертации по специальности "системный анализ, управление и обработка информации в технических системах". Специалист в области управления нелинейными динамическими объектами в условиях неопределенности. Автор 60 научных работ по теории адаптивных систем. В период с 2000 по 2007 гг. работал в научной лаборатории Форда (США), Институте мозга РИКЕН (Япония), а также в центре математического моделирования университета Лестера (Великобритания).

Научные интересы включают адаптивное и нелинейное управление, нелинейную динамику, динамику кооперативных процессов, математическое моделирование нейро- и биосистем.

Валерий Александрович ТЕРЕХОВ

Доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ".

Специалист в области теории адаптивных систем управления, теории инвариантности, нейроуправления нелинейными динамическими объектами. Автор 115 научных трудов, в том числе семи научных монографий, учебников и учебных пособий для студентов вузов. Среди них "Современная прикладная теория управления: Новые классы регуляторов технических систем" (2000, Ч. III); "Нейросетевые системы управления" (1999, дважды переиздано в 2002 г.), "Адаптивное управление в технических системах" (2001).

Наиболее известные научные результаты относятся к теории многоканальных систем регулирования, многомерных инвариантных и адаптивных регуляторов технологических объектов.

В.А.Терехов является создателем и руководителем научного направления по применению искусственных нейронных сетей в задачах управления в СПбГЭТУ "ЛЭТИ".

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце