URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Прохоров Л.В., Шабанов С.В. Гамильтонова механика калибровочных систем
Id: 173290
 
358 руб.

Гамильтонова механика калибровочных систем. Изд.стереотип.

URSS. 2013. 296 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-484-01330-2.

 Аннотация

Настоящая монография посвящена проблемам динамических систем с калибровочной симметрией. Подробно излагаются теория динамических систем со связями, теория систем с грассмановыми переменными, метод гамильтоновых континуальных интегралов. Отдельная глава посвящена проблеме конфайнмента. В работу вошли результаты исследований последних лет (нетривиальное фазовое пространство, остаточная дискретная калибровочная группа и др.). Монография может служить введением в современную теорию калибровочных систем и метод гамильтоновых континуальных интегралов.

Книга рассчитана на специалистов по квантовой теории поля. Она может быть полезна также студентам старших курсов и аспирантам физических факультетов вузов.


 Содержание

Предисловие
Глава 1. Гамильтонов формализм
 1.1.Принцип наименьшего действия
 1.2.Гамильтоновы уравнения движения
 1.3.Скобки Пуассона
 1.4.Канонические преобразования
 1.5.Производящие функции канонических преобразований
 1.6.Симметрии и интегралы движения
 1.7.Лагранжев формализм для грассмановых переменных
 1.8.Гамильтонов формализм для грассмановых переменных
 1.9.Гамильтонова динамика на супермногообразиях
 1.10.Канонические преобразования на симплектических супермногообразиях
 1.11.Неканонические преобразования
 1.12.Примеры систем с нетривиальной симплектической структурой
  1.12.1. Частица с трением. 1.12.2. q-Осциллятор.
Глава 2. Гамильтоновы континуальные интегралы
 2.1.Введение
  2.1.1. Предварительные замечания. 2.1.2. Квантование.
 2.2.Гамильтоновы континуальные интегралы в квантовой механике
  2.2.1. Определение гамильтонова континуального интеграла. 2.2.2. Лагранжевы континуальные интегралы.
 2.3.Нестандартные члены и базисные правила эквивалентности
  2.3.1. Нестандартные члены. 2.3.2. Базисные правила эквивалентности. 2.3.3. Базисные интегралы в криволинейных координатах. Лагранжевы базисные правила эквивалентности.
 2.4.Правила эквивалентности
  2.4.1. Гамильтоновы правила эквивалентности. 2.4.2. Лагранжевы правила эквивалентности
 2.5.Правила перемены опорной точки
  2.5.1. Неоднозначность формальной записи (2.2.7). 2.5.2. Правила перемены опорной точки.
 2.6.Канонические преобразования и гамильтоновы континуальные интегралы
  2.6.1. Предварительные замечания. 2.6.2. Замена переменных в лагранжевых континуальных интегралах. Координаты, топологически эквивалентные декартовым. 2.6.3. Канонические и унитарные преобразования. 2.6.4. Канонические преобразования гамильтоновых континуальных интегралов.
 2.7.Задачи с нетривиальными граничными условиями
  2.7.1. Частица в "ящике". 2.7.2. Частица в поле потенциала qk. 2.7.3. Топологически нетривиальные координаты.
 2.8.Квантование в рамках метода континуального интегрирования
  2.8.1. Лагранжев формализм. 2.8.2. Гамильтонов формализм.
Глава 3. Динамические системы со связями
 3.1.Введение
 3.2.Общий анализ динамических систем со связями
  3.2.1. Гамильтонов формализм. 3.2.2. Образцы систем со связями. 3.2.3. Лагранжев формализм.
 3.3.Физические переменные в системах со связями
  3.3.1. Расширенная группа калибровочных преобразований. 3.3.2. Исключение нефизических переменных в случае связей второго рода. Скобка Дирака. 3.3.3. Формализм первого порядка и гамильтонова механика.
 3.4.Нелинейные скобки Пуассона и системы со связями
  3.4.1. Динамика с нетривиальной симплектической структурой и системы со связями второго рода. 3.4.2. Абелева конверсия связей второго рода. 3.4.3. Переменные Дарбу и конверсия связей.
Глава 4. Квантование динамических систем со связями
 4.1.Рецепт квантования Дирака
  4.1.1. Системы со связями первого рода. 4.1.2. Системы со связями второго рода. 4.1.3. Связи первого рода. Правомерность исключения нефизических переменных до квантования. 4.1.4. Связи первого рода. Эффективный гамильтониан.
 4.2.Упорядочение операторов в связях
  4.2.1. Квантование систем с равным нулю гамильтонианом. 4.2.2. Упорядочение операторов в связях.
 4.3.Релятивистская частица
  4.3.1. Классическая теория. 4.3.2. Квантовая теория.
 4.4.Исключение нефизических переменных. Связи второго рода
Глава 5. Фазовое пространство в калибровочных теориях
 5.1.Модель
  5.1.1. Классическая гамильтонова теория. 5.1.2. Фазовое пространство в полярных координатах. 5.1.3. Квантовая теория. Инвариантный и неинвариантный подходы.
 5.2.Гармонический осциллятор с коническим фазовым пространством
  5.2.1. Квантовая теория. Координатное представление. 5.2.2. "Представление вторичного квантования".
 5.3.Остаточная дискретная калибровочная группа и выбор физических переменных
  5.3.1. Неинвариантный подход. 5.3.2. Описание физических переменных криволинейными координатами. 5.3.3. Квантовая теория в инвариантных переменных и выбор калибровки.
 5.4.Модели с произвольной простой калибровочной группой
  5.4.1. Классическая теория. Выделение физических переменных. 5.4.2. Квантовая теория. Гармонический осциллятор. 5.4.3. Классическая теория. Анализ динамики групп ранга 2. 5.4.4. Инвариантные координаты для групп ранга 2. 5.4.5. Квантовая теория. Координатное представление. 5.4.6. Теорема Шевалле и калибровочно-инвариантные волновые функции осциллятора.
 5.5.Калибровочные системы с грассмановыми переменными
  5.5.1. Классическая теория. Минимальная модель с абелевой калибровочной группой. 5.5.2. Квантовая теория. Минимальная модель. 5.5.3. Модель с произвольной калибровочной группой. Присоединенное представление.
 5.6.Сложные механические системы с бозевыми переменными
  5.6.1. Две частицы в двумерном пространстве. 5.6.2. Квантовая теория модели (5.6.2). Осциллятор. 5.6.3. Квантовая теория модели (5.6.2). Координатное представление. 5.6.4. Квантовая механика Янга--Миллса.
 5.7.Системы с бозевыми и фермиевыми степенями свободы
  5.7.1. Простейшая модель. 5.7.2. Оператор Лапласа-Бельтрами в криволинейных координатах на суперпространстве. 5.7.3. Теорема Шевалле в теории смешанных систем.
 5.8.Следствия изменения структуры физического фазового пространства
  5.8.1. Метод Венцеля-Крамерса-Бриллюэна. 5.8.2. Функции Грина и структура физического фазового пространства. 5.8.3. Функции Грина и выбор физических переменных.
Глава 6. Континуальные интегралы в калибровочных теориях
 6.1.Предварительные замечания
 6.2.Гамильтоновы континуальные интегралы в теории калибровочных систем с коническим фазовым пространством
  6.2.1. Гармонический осциллятор. Дискретная калибровочная группа Z2. 6.2.2. Гармонический осциллятор с калибровочной группой SO(3). 6.2.3. Модель с калибровочной группой SO(n).
 6.3.Модели с более сложным фазовым пространством
  6.3.1. Модель с произвольной калибровочной группой. Присоединенное представление. 6.3.2. Гамильтонов континуальный интеграл для абелевой матричной модели.
 6.4.Модель с грассмановыми переменными
 6.5.Гамильтонов континуальный интеграл в произвольной калибровке
  6.5.1. Калибровочная группа (2). 6.5.2. Система с произвольной калибровочной группой.
 6.6.Гамильтоновы континуальные интегралы для смешанных систем с калибровочной группой
  6.6.1. Остаточная калибровочная симметрия и гамильтоновы континуальные интегралы для смешанных систем (группа SO(2)). 6.6.2. Гамильтоновы континуальные интегралы в криволинейных суперкоординатах и смешанные системы с произвольной калибровочной группой.
 6.7.Некоторые следствия модификации гамильтоновых континуальных интегралов для калибровочных систем
  6.7.1. Квантовомеханические инстантоны. 6.7.2. Функции Грина для калибровочных систем с нетривиальным физическим фазовым пространством и метод гамильтоновых континуальных интегралов.
Глава 7. Конфайнмент
 7.1.Введение
  7.1.1. Краткая история вопроса. 7.1.2. Общие замечания о проблеме конфайнмента. 7.1.3. Особенности калибровочных теорий поля.
 7.2.Кинематика. Калибровочные поля и расслоенные пространства
  7.2.1. Калибровочные поля как геометрические объекты теории расслоенных пространств. 7.2.2. Инвариантные структуры в теориях с группами U(1), SU(2), SU(3).
 7.3.Динамика. Квантование
  7.3.1. Внесение динамики. 7.3.2. Квантование. 7.3.3. Проблема ветвления струн.
 7.4.Внешние поля зарядов и статические силы. Конфайнмент
  7.4.1. Электродинамика. 7.4.2. Неабелевы теории. 7.4.3. Обсуждение. 7.4.4. Конфайнмент.
Глава 8. Приложения
 8.1.Краткие сведения по теории групп
  8.1.1. Основные определения. 8.1.2. Краткие сведения по алгебрам Ли. 8.1.3. Свойства меры k2(h).
 8.2.Грассмановы переменные
  8.2.1. Анализ на грассмановых алгебрах. 8.2.2. Квантовое описание систем с грассмановыми переменными. 8.2.3. Решения классических уравнений движения для смешанных систем со связями.
 8.3.Интегралы Гаусса, обобщенная формула Пуассона, ядро Qn и определитель Ван Флека
  8.3.1. Многомерные гауссовы интегралы. 8.3.2. Вывод формулы (2.7.58). 8.3.3. Другой вывод формулы (2.7.89) для ядра Qn. 8.3.4. Определитель Ван Флека.
 8.4.Устранение калибровочного произвола и остаточные преобразования
  8.4.1. Рецепты устранения калибровочного произвола. 8.4.2. Пример построения остаточных преобразований S.
 8.5.Калибровочно-инвариантное представление ядра единичного оператора
  8.5.1. Голоморфное представление. 8.5.2. Координатное представление.
Указатель литературы

 Предисловие

За последние полтора-два десятилетия калибровочные теории выдвинулись на передний план и заняли доминирующее положение в физике микромира. Все известные взаимодействия -- сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные -- описываются калибровочно-инвариантными лагранжианами (действиями). В рамках классической физики калибровочная инвариантность не доставляла особых хлопот. В случае электродинамики, служившей эталоном для всех остальных полевых теорий, калибровочный произвол устранялся добавлением к уравнениям движения какого-либо дополнительного условия, например условия Лоренца. В гравитации обычно использовалась калибровка Де Дондера--Фока. Но уже первые работы по квантованию электромагнитного поля показали, что калибровочные теории требуют особого подхода. Переход к квантовому описанию предполагает наличие гамильтонова формализма, построение которого оказалось не совсем простым делом. Выяснилось, что уравнения, связывающие скорости и канонические импульсы в электродинамике, неразрешимы, т.е. не все скорости выражаются через импульсы (следствие вырожденности лагранжиана). Как результат, появляются условия на канонические переменные (связи). Требовалось, во-первых, сформулировать теорию динамических систем со связями, во-вторых, сформулировать рецепт их квантования. Применительно к электродинамике эти задачи были решены уже В.Гейзенбергом и В.Паули (1930 г.). В дальнейшем, при создании современной квантовой электродинамики (КЭД) удалось избежать принципиальной проблемы квантования при наличии связей. Было установлено, что в КЭД можно развить теорию возмущений, не чувствительную к тонкостям гамильтоновой динамики, обусловленным вырожденностью лагранжиана. Единственным отличием от некалибровочной теории было существование тождеств Уорда, а единственной дополнительной заботой -- необходимость следить за калибровочной инвариантностью результатов. Однако попытки описания более сложных систем с вырожденным лагранжианом (таких, как гравитация) показали необходимость создания общей теории. Такая теория была построена в работах П.A.M. Дирака и П.Бергмана. П.A.M. Дирак дал и рецепт квантования подобных систем. Довольно долгое время это направление не пользовалось популярностью у большинства специалистов. Отношение к нему изменилось после появления объединенной модели слабых и электромагнитных взаимодействий. Права гражданства теперь получили поля Янга--Миллса, т.е. теории с неабелевой калибровочной группой. В модели имелся и малый параметр, поэтому, казалось бы, ничто не мешало применению теории возмущений. Однако, еще раньше Р.Фейнманом было установлено, что прямолинейное перенесение стандартной для КЭД техники на теорию Янга--Миллса приводит к катастрофе -- нарушению условия унитарности. Это ясно указывало на недостаточность полуинтуитивных методов и необходимость привлечения общей теории.

Ситуация еще более обострилась после того как обнаружилось, что сильные взаимодействия описываются теорией с неабелевой калибровочной группой. Здесь проблема корректного описания встала в полный рост, поскольку взаимодействие могло считаться слабым только на достаточно малых расстояниях. Ограниченность до сих пор безотказного метода теории возмущений подчеркивалась феноменом "пленения" кварков, характеризующимся, в частности, линейно растущим потенциалом (конфайнмент). Мало того, что сама применимость теории возмущений оказывалась под вопросом (ввиду роста константы связи с расстоянием), новая теория сильных взаимодействий -- квантовая хромодинамика (КХД) -- не давала даже качественного объяснения конфайнмента. Серьезность проблемы усугублялась тем обстоятельством, что не помогло и привлечение новых методов, не связанных с теорией возмущений, таких, например, как квазиклассика. Малая результативность первого натиска на задачу предполагала переход к ее правильной осаде. По-видимому, какие-то существенные черты КХД ускользнули от внимания физиков. Назрела необходимость обратиться к основам теории, тщательно проанализировать ее особенности. Исходным пунктом такого анализа могли служить основополагающие работы Дирака и Бергмана.

Монография в значительной степени и посвящена изучению основ механики калибровочных систем (динамических систем со связями). Ввиду того, что подобные системы исследованы недостаточно полно, изучение начинается с простейших моделей. Они вполне элементарны и в то же время обладают всеми характерными особенностями, присущими теориям данного типа. Ясно, что без хорошего знания простых калибровочных систем невозможно ориентироваться в калибровочных теориях с бесконечным числом степеней свободы, т.е. в теориях поля. Эти модели представляют из себя "поля" Янга--Миллса в пространстве -- времени (0 + 1), взаимодействующие с "полями материи". Несмотря на их максимальную простоту, может быть именно благодаря ей, они оказались исключительно полезными. Изучение моделей привело к выявлению ряда принципиальных моментов, долгое время остававшихся незамеченными. Уже простейшая из них (скалярная электродинамика в пространстве -- времени (0 + 1)) позволила выявить поразительный факт редукции физического фазового пространства (ФП). Оказалось, что ФП единственной физической степени свободы данной системы есть не плоскость, а развертываемый в полуплоскость конус. Это радикально меняет динамику системы, например ведет к удвоению частоты колебаний осциллятора (к удвоению расстояния между уровнями его энергии в квантовой теории). В моделях с произвольной простой калибровочной группой структура ФП оказывается связанной с группой Вейля (W) -- дискретной подгруппой калибровочной группы, характеризующей ее корневое пространство (W есть группа отражений относительно гиперплоскостей, ортогональных простым корням). Удивительный синтез весьма абстрактной математики и физики! Другой пример полезности изучения элементарных моделей дает проблема фиксации калибровки. Недостаточность условия Лоренца для устранения калибровочного произвола, обнаруженная в неабелевых теориях вызвала довольно оживленную дискуссию. Между тем, изучение этого вопроса уже на простейшей модели с абелевой калибровочной группой позволило полностью прояснить проблему и дать корректный рецепт квантового описания в произвольной калибровке.

Даже приведенных примеров, по-видимому, достаточно для того, чтобы убедиться, что свойства калибровочных и некалибровочных систем могут различаться довольно сильно, что опыта работы с обычными системами может оказаться недостаточно и что без хорошего понимания механики простейших систем трудно разобраться в более сложных, обладающих несколькими физическими степенями свободы. Это тем более справедливо по отношению к теории поля, характеризующейся бесконечным числом независимых переменных.

Глава 1 является вводной. В ней приводятся основные формулы классической гамильтоновой механики, необходимые для дальнейшего (принцип наименьшего действия Гамильтона, гамильтоновы уравнения движения, канонические преобразования и т.п.). Вместе с тем, наряду с традиционным материалом, включены разделы, развитие которых стимулировалось потребностями современной теории поля. Прежде всего это механика систем с грассмановыми (антикоммутирующими) переменными и механика смешанных систем с бозевыми и фермиевыми степенями свободы. Обсуждается также совершенно неразработанный вопрос о неканонических преобразованиях, начинающих играть заметную роль в современной физике. Классическим примером здесь может служить переход к "представлению вторичного квантования" в задаче об осцилляторе, т.е. переход q, p --> а, а*, не сохраняющий скобки Пуассона. Другой пример связан с ныне модной проблематикой q-систем (динамических систем, связанных с квантовыми группами).

Глава 2 посвящена квантовой теории, именно той ее части, которая связана с континуальными интегралами в гамильтоновой форме. Хотя основные черты аппарата здесь были установлены еще Фейнманом, многие практически важные факты выяснились значительно позже. Из наиболее существенных к ним относятся такие задачи, как замена переменных, переход к криволинейным координатам с нетривиальной топологией, проблема поведения гамильтоновых континуальных интегралов (ГКИ) при канонических преобразованиях, проблема упорядочения операторов в гамильтониане, применение метода континуального интегрирования к задачам с нетривиальной границей и некоторые другие. Перечисленные задачи не являются надуманными -- в рамках аппарата ГКИ с ними приходится сталкиваться уже при описании простейших систем со связями. Развитые методы позволяют сформулировать аппарат ГКИ для задач с нетривиальным фазовым пространством.

Глава 3 служит элементарным введением в теорию систем со связями. Материал иллюстрируется большим количеством примеров.

Глава 4 посвящена проблеме квантования динамических систем со связями. Помимо изложения стандартных рецептов здесь рассмотрена проблема упорядочения операторов в связях, а также изучен нестандартный случай, когда "связи" зависят от скоростей, но не могут быть разрешены относительно последних (разд. 4.3).

В главе 5 подробно анализируются динамические системы с калибровочной симметрией. Изучаются структура фазового пространства, проблема исключения нефизических переменных, особенности динамики систем. Рассмотрены модели с абелевыми и неабелевыми калибровочными группами с бозевыми и фермиевыми переменными, смешанные системы с коммутирующими и антикоммутирующими степенями свободы. Подробно исследован вопрос о выборе калибровочного условия.

В главе б дается описание моделей из главы 5 в рамках аппарата интегрирования по траекториям в фазовом пространстве. Основная особенность, с которой приходится сталкиваться, -- это нетривиальная структурa физического фазового пространства. Методы, разработанные в главе 2, позволяют успешно справиться с задачей.

Глава 7 занимает особое место. Если в предыдущих главах изучались простенькие модели, то в последней речь идет о полях, более того, об одной из наиболее трудных проблем теории калибровочных полей -- конфайнменте. Данная глава включена в книгу потому, что почти все ее содержание сводится, по существу, к последовательному применению рекомендаций Дирака, разработанных для более общих теорий со связями. Уяснение принципиальной роли связей и расширенной группы калибровочных преобразований позволило взглянуть на феномен с более общей точки зрения. Стала очевидной универсальная природа явления, удалось отделить черты, присущие только КХД, от черт, характерных для любой калибровочной теории. Выяснилось, например, что с точки зрения расслоенных пространств Р-экспонента (оператор параллельного сдвига) является основными единственным элементом любых калибровочных инвариантов. Отвечающие ей возбуждения полей (при условии их стабильности) характеризуются линейной зависимостью энергии от длины контура интегрирования, т.е. объекты с линейной зависимостью энергии от расстояния внутренне присущи подобным теориям и появляются уже на самом раннем этапе их построения. Вместе с тем сравнительная легкость, с которой удается установить общие свойства конфайнмента, только подчеркивает сложность конкретной проблемы описания адронов в КХД, даже в максимально упрощенном варианте массивных кварков и большой константы связи.

Книгу могут читать уже студенты старших курсов физико-математических факультетов, хотя ее содержание основано на результатах исследований последних лет, не отраженных в монографической литературе. Все главы можно читать практически независимо. Введение в каждую главу вполне элементарно и не требует особой осведомленности читателя сверх университетских курсов аналитической механики и квантовой теории. Исключение, может быть, составляют последние главы (5, 6 и 7), предполагающие наличие у читателя некоторых сведений по теории простых групп и геометрии расслоенных пространств (последнее желательно, но необязательно). Основные факты теории групп помещены в Приложении 8.1.

Авторы глубоко признательны Наталии Васильевне Шабановой, взявшей на себя тяжелый труд по компьютерной подготовке рукописи к печати.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце