|
Содержание
Предисловие
За последние полтора-два десятилетия калибровочные теории выдвинулись на передний план и заняли доминирующее положение в физике микромира. Все известные взаимодействия – сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные – описываются калибровочно-инвариантными лагранжианами (действиями). В рамках классической физики калибровочная инвариантность не доставляла особых хлопот. В случае электродинамики, служившей эталоном для всех остальных полевых теорий, калибровочный произвол устранялся добавлением к уравнениям движения какого-либо дополнительного условия, например условия Лоренца. В гравитации обычно использовалась калибровка Де Дондера–Фока. Но уже первые работы по квантованию электромагнитного поля показали, что калибровочные теории требуют особого подхода. Переход к квантовому описанию предполагает наличие гамильтонова формализма, построение которого оказалось не совсем простым делом. Выяснилось, что уравнения, связывающие скорости и канонические импульсы в электродинамике, неразрешимы, т.е. не все скорости выражаются через импульсы (следствие вырожденности лагранжиана). Как результат, появляются условия на канонические переменные (связи). Требовалось, во-первых, сформулировать теорию динамических систем со связями, во-вторых, сформулировать рецепт их квантования. Применительно к электродинамике эти задачи были решены уже В.Гейзенбергом и В.Паули (1930 г.). В дальнейшем, при создании современной квантовой электродинамики (КЭД) удалось избежать принципиальной проблемы квантования при наличии связей. Было установлено, что в КЭД можно развить теорию возмущений, не чувствительную к тонкостям гамильтоновой динамики, обусловленным вырожденностью лагранжиана. Единственным отличием от некалибровочной теории было существование тождеств Уорда, а единственной дополнительной заботой – необходимость следить за калибровочной инвариантностью результатов. Однако попытки описания более сложных систем с вырожденным лагранжианом (таких, как гравитация) показали необходимость создания общей теории. Такая теория была построена в работах П.A.M. Дирака и П.Бергмана. П.A.M. Дирак дал и рецепт квантования подобных систем. Довольно долгое время это направление не пользовалось популярностью у большинства специалистов. Отношение к нему изменилось после появления объединенной модели слабых и электромагнитных взаимодействий. Права гражданства теперь получили поля Янга–Миллса, т.е. теории с неабелевой калибровочной группой. В модели имелся и малый параметр, поэтому, казалось бы, ничто не мешало применению теории возмущений. Однако, еще раньше Р.Фейнманом было установлено, что прямолинейное перенесение стандартной для КЭД техники на теорию Янга–Миллса приводит к катастрофе – нарушению условия унитарности. Это ясно указывало на недостаточность полуинтуитивных методов и необходимость привлечения общей теории. Ситуация еще более обострилась после того как обнаружилось, что сильные взаимодействия описываются теорией с неабелевой калибровочной группой. Здесь проблема корректного описания встала в полный рост, поскольку взаимодействие могло считаться слабым только на достаточно малых расстояниях. Ограниченность до сих пор безотказного метода теории возмущений подчеркивалась феноменом "пленения" кварков, характеризующимся, в частности, линейно растущим потенциалом (конфайнмент). Мало того, что сама применимость теории возмущений оказывалась под вопросом (ввиду роста константы связи с расстоянием), новая теория сильных взаимодействий – квантовая хромодинамика (КХД) – не давала даже качественного объяснения конфайнмента. Серьезность проблемы усугублялась тем обстоятельством, что не помогло и привлечение новых методов, не связанных с теорией возмущений, таких, например, как квазиклассика. Малая результативность первого натиска на задачу предполагала переход к ее правильной осаде. По-видимому, какие-то существенные черты КХД ускользнули от внимания физиков. Назрела необходимость обратиться к основам теории, тщательно проанализировать ее особенности. Исходным пунктом такого анализа могли служить основополагающие работы Дирака и Бергмана. Монография в значительной степени и посвящена изучению основ механики калибровочных систем (динамических систем со связями). Ввиду того, что подобные системы исследованы недостаточно полно, изучение начинается с простейших моделей. Они вполне элементарны и в то же время обладают всеми характерными особенностями, присущими теориям данного типа. Ясно, что без хорошего знания простых калибровочных систем невозможно ориентироваться в калибровочных теориях с бесконечным числом степеней свободы, т.е. в теориях поля. Эти модели представляют из себя "поля" Янга–Миллса в пространстве – времени (0 + 1), взаимодействующие с "полями материи". Несмотря на их максимальную простоту, может быть именно благодаря ей, они оказались исключительно полезными. Изучение моделей привело к выявлению ряда принципиальных моментов, долгое время остававшихся незамеченными. Уже простейшая из них (скалярная электродинамика в пространстве – времени (0 + 1)) позволила выявить поразительный факт редукции физического фазового пространства (ФП). Оказалось, что ФП единственной физической степени свободы данной системы есть не плоскость, а развертываемый в полуплоскость конус. Это радикально меняет динамику системы, например ведет к удвоению частоты колебаний осциллятора (к удвоению расстояния между уровнями его энергии в квантовой теории). В моделях с произвольной простой калибровочной группой структура ФП оказывается связанной с группой Вейля (W) – дискретной подгруппой калибровочной группы, характеризующей ее корневое пространство (W есть группа отражений относительно гиперплоскостей, ортогональных простым корням). Удивительный синтез весьма абстрактной математики и физики! Другой пример полезности изучения элементарных моделей дает проблема фиксации калибровки. Недостаточность условия Лоренца для устранения калибровочного произвола, обнаруженная в неабелевых теориях вызвала довольно оживленную дискуссию. Между тем, изучение этого вопроса уже на простейшей модели с абелевой калибровочной группой позволило полностью прояснить проблему и дать корректный рецепт квантового описания в произвольной калибровке. Даже приведенных примеров, по-видимому, достаточно для того, чтобы убедиться, что свойства калибровочных и некалибровочных систем могут различаться довольно сильно, что опыта работы с обычными системами может оказаться недостаточно и что без хорошего понимания механики простейших систем трудно разобраться в более сложных, обладающих несколькими физическими степенями свободы. Это тем более справедливо по отношению к теории поля, характеризующейся бесконечным числом независимых переменных. Глава 1 является вводной. В ней приводятся основные формулы классической гамильтоновой механики, необходимые для дальнейшего (принцип наименьшего действия Гамильтона, гамильтоновы уравнения движения, канонические преобразования и т.п.). Вместе с тем, наряду с традиционным материалом, включены разделы, развитие которых стимулировалось потребностями современной теории поля. Прежде всего это механика систем с грассмановыми (антикоммутирующими) переменными и механика смешанных систем с бозевыми и фермиевыми степенями свободы. Обсуждается также совершенно неразработанный вопрос о неканонических преобразованиях, начинающих играть заметную роль в современной физике. Классическим примером здесь может служить переход к "представлению вторичного квантования" в задаче об осцилляторе, т.е. переход q, p –> а, а*, не сохраняющий скобки Пуассона. Другой пример связан с ныне модной проблематикой q-систем (динамических систем, связанных с квантовыми группами). Глава 2 посвящена квантовой теории, именно той ее части, которая связана с континуальными интегралами в гамильтоновой форме. Хотя основные черты аппарата здесь были установлены еще Фейнманом, многие практически важные факты выяснились значительно позже. Из наиболее существенных к ним относятся такие задачи, как замена переменных, переход к криволинейным координатам с нетривиальной топологией, проблема поведения гамильтоновых континуальных интегралов (ГКИ) при канонических преобразованиях, проблема упорядочения операторов в гамильтониане, применение метода континуального интегрирования к задачам с нетривиальной границей и некоторые другие. Перечисленные задачи не являются надуманными – в рамках аппарата ГКИ с ними приходится сталкиваться уже при описании простейших систем со связями. Развитые методы позволяют сформулировать аппарат ГКИ для задач с нетривиальным фазовым пространством. Глава 3 служит элементарным введением в теорию систем со связями. Материал иллюстрируется большим количеством примеров. Глава 4 посвящена проблеме квантования динамических систем со связями. Помимо изложения стандартных рецептов здесь рассмотрена проблема упорядочения операторов в связях, а также изучен нестандартный случай, когда "связи" зависят от скоростей, но не могут быть разрешены относительно последних (разд. 4.3). В главе 5 подробно анализируются динамические системы с калибровочной симметрией. Изучаются структура фазового пространства, проблема исключения нефизических переменных, особенности динамики систем. Рассмотрены модели с абелевыми и неабелевыми калибровочными группами с бозевыми и фермиевыми переменными, смешанные системы с коммутирующими и антикоммутирующими степенями свободы. Подробно исследован вопрос о выборе калибровочного условия. В главе б дается описание моделей из главы 5 в рамках аппарата интегрирования по траекториям в фазовом пространстве. Основная особенность, с которой приходится сталкиваться, – это нетривиальная структурa физического фазового пространства. Методы, разработанные в главе 2, позволяют успешно справиться с задачей. Глава 7 занимает особое место. Если в предыдущих главах изучались простенькие модели, то в последней речь идет о полях, более того, об одной из наиболее трудных проблем теории калибровочных полей – конфайнменте. Данная глава включена в книгу потому, что почти все ее содержание сводится, по существу, к последовательному применению рекомендаций Дирака, разработанных для более общих теорий со связями. Уяснение принципиальной роли связей и расширенной группы калибровочных преобразований позволило взглянуть на феномен с более общей точки зрения. Стала очевидной универсальная природа явления, удалось отделить черты, присущие только КХД, от черт, характерных для любой калибровочной теории. Выяснилось, например, что с точки зрения расслоенных пространств Р-экспонента (оператор параллельного сдвига) является основными единственным элементом любых калибровочных инвариантов. Отвечающие ей возбуждения полей (при условии их стабильности) характеризуются линейной зависимостью энергии от длины контура интегрирования, т.е. объекты с линейной зависимостью энергии от расстояния внутренне присущи подобным теориям и появляются уже на самом раннем этапе их построения. Вместе с тем сравнительная легкость, с которой удается установить общие свойства конфайнмента, только подчеркивает сложность конкретной проблемы описания адронов в КХД, даже в максимально упрощенном варианте массивных кварков и большой константы связи. Книгу могут читать уже студенты старших курсов физико-математических факультетов, хотя ее содержание основано на результатах исследований последних лет, не отраженных в монографической литературе. Все главы можно читать практически независимо. Введение в каждую главу вполне элементарно и не требует особой осведомленности читателя сверх университетских курсов аналитической механики и квантовой теории. Исключение, может быть, составляют последние главы (5, 6 и 7), предполагающие наличие у читателя некоторых сведений по теории простых групп и геометрии расслоенных пространств (последнее желательно, но необязательно). Основные факты теории групп помещены в Приложении 8.1. Авторы глубоко признательны Наталии Васильевне Шабановой, взявшей на себя тяжелый труд по компьютерной подготовке рукописи к печати. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||