Хинчин А.Я. Цепные дроби Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие к третьему изданию

Настоящее, третье издание превосходной книги А.Я.Хинчина предпринято Государственным издательством физико-математической литературы уже после смерти ее автора. Именно поэтому книга издается без всяких изменений, если не считать небольших примечаний библиографического характера, отмеченных буквами (Б.Г.).

Несмотря на то, что А.Я.Хинчин написал эту книгу уже более четверти века назад, она сохранила всю прелесть новизны. Недаром за последние десять лет она выдержала большое число изданий в ряде стран. Более того, в связи с развитием новых средств вычислительной техники возник естественный интерес к разнообразным вычислительным алгоритмам, в том числе и к алгоритму цепных дробей. В этом направлении несколько лет назад появилась полезная монография А.Н.Хованского ("Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа", Гостехиздат, 1956). Хотя А.Я.Хинчин и не ставил перед, собой подобных целей, тем не менее его книга может служить превосходным введением как в изучение алгоритма цепных дробей, так и в глубокие и интересные проблемы метрической теории чисел, развитию которой автор отдал много сил и инициативы. В значительной степени вся третья глава книги является результатом его исследований.

Я надеюсь, что предлагаемая книжка будет прочитана широким кругом лиц с таким же увлечением, с каким многие, в том числе и автор этих строк, прочли ее двадцать пять лет назад.

Предисловие ко второму изданию

Настоящее второе издание перепечатано с первого без существенных изменений.

Со времени первого издания других монографий о цепных дробях на русском языке не появилось. Из общих руководств по теории чисел, содержащих элементарные сведения о цепных дробях, можно упомянуть курсы Д.А.Граве, Б.А.Венкова и И.В.Арнольда.

Октябрь, 1949 г.

Из предисловия к первому изданию

Теория цепных (или, как их чаще называют, непрерывных) дробей изучает специальный алгоритм, являющийся одним из важнейших орудий анализа, теории вероятностей, механики и в особенности теории чисел. Настоящее элементарное руководство имеет целью ознакомить читателя только с так называемыми простейшими цепными дробями вида:

a₀+1(a₁+1/(a₂+...))

и притом преимущественно в предположении, что все "элементы " а_i(i>=1) – целые положительные числа. Этот наиболее важный и вместе с тем наиболее изученный класс цепных дробей лежит в основании почти всех арифметических и весьма многих аналитических приложений теории.

Появление элементарной монографии по теории цепных дробей я считаю необходимым потому, что эта теория, прежде составлявшая один из пунктов математической программы средней школы, в настоящее время из этой программы исключена и потому в новые руководства элементарной алгебры не входит; с другой стороны, программы высшей школы (даже математических отделений университетов) также этой теории не предусматривают, вследствие чего и соответствующие новые руководства для высшей школы, естественно, ничего не говорят о цепных дробях. И специалист, встречающийся с необходимостью овладеть этим элементарным аппаратом, вынужден разыскивать либо дореволюционные учебники, либо заграничные специальные руководства.

Имея, таким образом, своей основной целью заполнение указанного пробела в нашей учебной литературе, предлагаемая монография по необходимости вынуждена быть элементарной и по возможности доступной; этим в значительной степени предопределяется ее стиль. Содержание ее, однако, несколько выходит за пределы того минимума, который является абсолютно необходимым для всяких приложений. Это относится прежде всего ко всей последней главе, содержащей основания метрической (или вероятностной) теории цепных дробей, – важной новой главе, созданной почти целиком советскими учеными; это относится затем к целому ряду мест во второй главе, где я пытался, насколько это возможно в столь элементарных рамках, оттенить основоположную роль аппарата цепных дробей при изучении арифметической природы иррациональностей. Я полагал, что раз уже издаются в виде отдельной монографии основы теории цепных дробей, было бы жаль оставить без упоминания те моменты и связи этой теории, которые наиболее занимают современную научную мысль.

Что касается расположения материала, то здесь нуждается в пояснении только выделение в особую предварительную главу "формальной" части учения, т.е. в основном той его части, где элементы цепных дробей предполагаются любыми положительными (не обязательно целыми) числами, а часто и еще общее – просто независимыми переменными. Недостатком такого выделения является то, что формальные свойства изучаемого аппарата преподносятся читателю раньше его предметного содержания – и потому в отрыве от этого содержания, – что в педагогическом отношении, несомненно, представляется нежелательным.

Однако, не говоря уже о том, что этим путем достигается большая методологическая четкость (ибо читатель непосредственно видит, какие свойства цепных дробей вытекают из самой структуры аппарата и какие имеют место лишь в предположении целых положительных элементов), такое предваряющее выделение формальной части позволяет в дальнейшем развивать арифметическую теорию, составляющую подлинный предмет всего учения, на готовой формальной базе, а потому и сосредоточивать все внимание читателя на предметном содержании излагаемого материала, не отвлекая его в сторону чисто формальными рассмотрениями.

Москва, 12 февраля 1935 г.

Об авторе

Выдающийся математик, доктор физико-математических наук, блестящий представитель Московской математической школы. Профессор МГУ им.М.В.Ломоносова (с 1922 г.), СГУ (1935–1937). Член-корреспондент АН СССР с 1939 г. В 1941 г. стал лауреатом Государственной премии СССР. C 1943 по 1957 гг. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ. Ученик Н.Н.Лузина. Действительный член Академии педагогических наук, один из ее основателей (1943). Награжден четырьмя орденами, в том числе орденом Ленина.

Им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел, теории вероятностей, статистической физике.