URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Барбашин Е.А. Функции Ляпунова
Id: 171719
 
299 руб.

Функции Ляпунова. Изд.стереотип.

URSS. 2014. 246 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-04439-4.

 Аннотация

В настоящей книге изложен курс лекций по методу функций Ляпунова, прочитанный автором в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени университете им. В.И.Ленина (ныне Белорусский государственный университет). Основное внимание уделено методам построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Приводятся методы оценки области притяжения, оценки решений, времени регулирования, интегральных критериев качества регулирования. Излагаются достаточные критерии асимптотической устойчивости в целом, критерии абсолютной устойчивости. Приведено большое количество функций Ляпунова для нелинейных систем второго и третьего порядков. Рассмотрен случай, когда нелинейности зависят от двух координат точек фазового пространства. Исследуется также проблема построения векторных функций Ляпунова для сложных систем.

Для понимания материала необходимо знание курса математики в объеме программы технических вузов.

Книга может быть рекомендована всем интересующимся конкретными приложениями теории устойчивости.


 Оглавление

Предисловие
Глава I. Введение
 § 1.Определение устойчивости Вывод уравнений возмущенного движения
 § 2.Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости
 § 3.Теоремы об асимптотической устойчивости в целом
 § 4.Теоремы о неустойчивости
 § 5.Неавтономные системы
Глава II. Линейные системы
 § 1.Существование функций Ляпунова в виде квадратичных форм для линейных систем
 § 2.Оценки решений линейных систем. Вычисление интегральных критериев качества регулирования
 § 3.Построение функций Ляпунова для линейных систем
 § 4.Функции Ляпунова для линейных итерационных систем
 § 5.Функционалы Ляпунова для интегро-дифференциальных уравнений
Глава III. Нелинейные системы
 § 1.Теоремы об устойчивости по первому приближению Оценка области притяжения
 § 2.Оценка решений нелинейных систем с помощью функций Ляпунова. Оценки интегральных критериев качества регулирования
 § 3.О некоторых свойствах функций Ляпунова
 § 4.Общий обзор методов построения функций Ляпунова для нелинейных систем
 § 5.Векторные функции Ляпунова. Устойчивость сложных систем
 § 6.Устойчивость сложных систем в случае, когда подсистемы связаны нелинейно
Глава IV. Абсолютная устойчивость
 § 1.Постановка задачи
 § 2.Система непрямого управления
 § 3.Исследование системы прямого управления. Основной случай
 § 4.Системы прямого управления. Критические случаи
 § 5.Случай многих исполнительных органов
 § 6.Пример применения к задаче абсолютной устойчивости векторной функции Ляпунова
Глава V. Построение функций Ляпунова для некоторых нелинейных уравнений
 § 1.Теоремы об устойчивости в целом нулевого решения одного нелинейного уравнения третьего порядка
 § 2.Примеры построения функций Ляпунова для некоторых нелинейных уравнений третьего порядка
 § 3.Функции Ляпунова для нелинейных уравнений четвертого порядка
Глава VI. Функции Ляпунова для нелинейных систем третьего порядка
 § 1.Одна общая теорема
 § 2.Система со "своей" нелинейностью
 § 3.Исследование системы с тремя нелинейностями
 § 4.Некоторые преобразования и классификация обобщенных условий Рауза -- Гурвица во втором случае
 § 5.Исследование случаев 4, 5 и 7
 § 6.Исследование случаев 2, 3 и 6
 § 7.Некоторые достаточные условия устойчивости в целом
 § 8.Устойчивость в целом в случаях 9, 10 и 20
 § 9.Исследование случаев 8, 11--14, 16, 18, 21 и 22
 § 10.Устойчивость при более сильных ограничениях на нелинейность
 § 11.Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости
 § 12.Устойчивость в целом системы с "чужой" нелинейностью
 § 13.Устойчивость в целом одной системы с двумя нелинейностями
Глава VII. Устойчивость нулевого решения систем третьего порядка с нелинейностью, зависящей от двух переменных
 § 1.Предварительные преобразования изучаемой системы
 § 2.Устойчивость в одном частном случае
 § 3.Устойчивость в целом при отрицательных значениях параметров а и b
 § 4.Случай, когда параметру а и b имеют разные знаки
Литература

 Предисловие

Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления.

Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса (времени регулирования); оценка интегральных критериев качества регулирования и т.д.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решать задачи устойчивости в «большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать также проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления.

Проблема обращения теорем об устойчивости А.М.Ляпунова была одной из самых трудных и интересных проблем рассматриваемой теории. Однако методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения необходимых условий устойчивости и неустойчивости, хотя и позволили установить факт существования таких функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было воспользоваться при исследовании конкретных систем.

Следует заметить, что способ построения функций Ляпунова для линейных автономных систем был указан еще самим А.М.Ляпуновым. При наличии свойства асимптотической устойчивости у системы линейного приближения легко строится функция Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия соответствующей нелинейной системы.

Проблему построения функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы нельзя считать в настоящее время полностью решенной. Имеется лишь некоторый набор приемов, дающих в ряде случаев положительный результат. Описанию этих приемов и посвящена предлагаемая вниманию читателя книга,

В самом начале работы над книгой автор предполагал создать справочник, в котором были бы перечислены все наиболее интересные функции Ляпунова. В процессе работы пришлось отказаться от этого замысла, так как обилие примеров грозило затопить ведущие идеи описываемых методов.

Почти все приводимые в книге функции Ляпунова привлекаются для формулировки достаточных условий асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях (устойчивости в целом). Однако главная цель монографии состоит не в формулировке таких условий, а в том, чтобы продемонстрировать на конкретных примерах существующие в настоящее время приемы построения функций Ляпунова.

В первой главе, имеющей вводный характер, даны основы метода функций Ляпунова, главным образом, для автономных систем. Здесь, в частности, приводятся теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости, в формулировке которых отсутствует требование знакоопределенности производной функции Ляпунова. Теоремы указанного типа, как будет видно из дальнейшего изложения, являются наиболее удобными при решении задач устойчивости в большом.

Вторая глава посвящена линейным системам. Здесь рассматриваются вопросы построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Даются методы оценки решений и методы вычисления интегральных квадратичных критериев качества регулирования. Здесь же дано краткое изложение вопроса построения функций Ляпунова для линейных интегро-дифференциальных уравнений. Для полноты изложения следовало бы рассмотреть аналогичный вопрос и для уравнений с запаздываниями, однако этот материал исчерпывающе изложен в монографии [53] и в статье [99].

В третьей главе, посвященной нелинейным системам, показано на примере, как с помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения решения нелинейных систем, время регулирования, а также приводятся некоторые общие свойства функций Ляпунова и дано общее описание методов построения этих функций. В этой же главе изложена методика построения векторных функций Ляпунова для сложных систем, подсистемы которых связаны между собой линейной и нелинейной зависимостью.

В четвертой главе дается понятие о методах построения функций Ляпунова, развитых в теории абсолютной устойчивости. Однако здесь в основном рассмотрены только основные и простейшие критические случаи, когда матрица линейной части системы имеет один или (в случае системы прямого управления) два нулевых собственных значения. Весь этот материал привлечен, главным образом, для полноты описания. Читателей, желающих более подробно познакомиться с развиваемой здесь теорией, следует адресовать к монографиям [2], [63], [61], [66].

В пятой главе строятся функции Ляпунова для некоторых нелинейных уравнений третьего и четвертого порядков. Наибольший интерес здесь представляют рассуждения, снимающие и ослабляющие ограничения, наложенные на поведение функции Ляпунова в бесконечности.

В шестой главе приведены функции Ляпунова для нелинейных систем третьего порядка с одной, двумя и тремя нелинейностями. Здесь в основном изложены результаты Н.Н.Красовского, В. А. Плисса, А. П. Тузова.

В последней, седьмой, главе строятся функции Ляпунова для систем третьего порядка с нелинейностью, зависящей от двух координат точек фазового пространства.

Автор приносит свою глубокую благодарность А.М.Лётову за ценные замечания и советы и И. В. Гайшуну, проверившему все выкладки и взявшему на себя нелегкий труд изложения материала двух последних глав книги.


 Об авторе

Евгений Алексеевич БАРБАШИН (1918--1969)

Советский ученый в области математики и механики. Доктор физико-математических наук, профессор, академик АН БССР. Окончил Уральский государственный университет и аспирантуру МГУ. В 1952--1958 гг. заведовал кафедрой высшей математики Уральского политехнического института. В 1958--1960 гг. -- заведующий отделом математики Уральского филиала АН СССР, в 1961--1966 гг. -- заведующий отделом математического анализа Свердловского отделения Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова (ныне Институт математики и механики УрО РАН). Глава уральской научной школы по динамическим системам; автор многочисленных трудов по абстрактным динамическим системам, дифференциальным уравнениям, устойчивости движения, теории управления и приложениям к новой технике. Опубликовал более 80 научных работ, среди них 3 монографии: "Введение в теорию устойчивости" (1967), "Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством" (1969; совм. с В. А. Табуевой), "Функции Ляпунова" (1970). Лауреат Государственной премии СССР, награжден орденом Трудового Красного Знамени.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце