КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения: Теория гомологий
Id: 170772
 
699 руб. 599 руб. Бестселлер!

Современная геометрия: Методы и приложения: Теория гомологий. Т.3. Изд.6

URSS. 2013. 288 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-397-03934-5.
Внимание: АКЦИЯ! Только до 23.08.2017!
СУПЕРПРЕДЛОЖЕНИЕ!
Теперь у посетителей нашего сайта есть уникальная возможность приобрести
ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ЦЕНЕ КОМПЛЕКТ ИЗ ТРЁХ ТОМОВ

Настоящая книга содержит доступное изложение методов теории гомологий, освобожденное от утомительного языка абстрактной гомологической алгебры. Более сложная часть книги содержит введение в современные методы вычисления гомотопических групп и классификации многообразий.

Для научных работников различных специальностей --- математиков, механиков, физиков-теоретиков.


Предисловие

Традиционно теория гомологии играет фундаментальную роль в изложении начал топологии. Начиная с А.Пуанкаре, создавшего основы топологии, теория гомологии рассматривается как первичная начальная основа методов алгебраической топологии. Из теории гомотопий к числу таких начал традиционно относились только фундаментальная группа и накрытия. Практически все классические начальные учебники по топологии (среди которых наилучшим, по мнению авторов, является книга Зейферта и Трельфалля "Топология") начинаются с изложения теории гомологии того или иного класса комплексов. Лишь на более позднем этапе рассматривается (к тому же с точки зрения теории гомологий) теория расслоенных пространств и общая задача о классификации гомотопических классов отображений (теория гомотопий). Вместе с тем методы топологии дифференцируемых многообразии, начавшие интенсивно развиваться с 30-х годов (Уитни и др.), позволяют полностью перестроить изложение фундаментальных основ современной топологии. С новой точки зрения, более близкой к классическому анализу, первичной оказывается элементарная теория гладких многообразии и основанная на ней теория гомотопий и гладких расслоенных пространств. Более того, в течение 70-х годов выяснилось, что именно этот комплекс топологических идей и методов имеет фундаментальные приложения в различных разделах современной физики. Вследствие этих причин авторы считают общенеобходимым учебным топологическим материалом в первую очередь именно основы теории гладких многообразий, теории гомотопий и расслоенных пространств; этот материал включен в учебное пособие Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, "Современная геометрия", часть II. В данной книге этот материал предполагается известным.

Решение более сложных задач самой топологии (вычисление гомотопических групп, классификация гладких многообразии и т.д.), а также многочисленные приложения алгебро-топологической техники в задачах алгебраической геометрии и комплексного анализа требует далеко идущего развития методов именно теории гомологий. В современной топологической литературе полностью отсутствуют книги, по которым можно было бы освоить комплекс методов теории гомологий в их внутритопологических приложениях, упомянутых выше. Настоящая книга имеет своей целью частично восполнить этот пробел.

В изложении теории гомологий авторы старались избежать, по возможности, абстрактного языка гомологической алгебры, чтобы читатель все время помнил, что гомологии, циклы и границы -- это конкретные геометрические образы. В некоторых случаях -- например в разделе, посвященном спектральной последовательности, -- это самоограничение приводит к некоторым трудно истребимым дефектам изложения. Однако последовательное изложение языка и методов современной гомологической алгебры, как показывает опыт, приводит к еще худшим дефектам, затрудняя понимание геометрического смысла теории гомологий. Некоторые фундаментальные методы современной алгебраической топологии (техника спектральных последовательностей и когомологических операций) изложены без полных обоснований, которые потребовали бы кардинального увеличения объема. Напомним, что использование этих методов базируется лишь на формально-алгебраических свойствах входящих в них величин и не использует явных конструкций этих величин, дававшихся в процессе обоснования. В конце книги методы алгебраической топологии применяются к изучению глубоких свойств характеристических классов и гладких структур на многообразиях. По замыслу авторов данная монография должна подводить читателя к чтению современной топологической литературы.

Большой вклад в формирование книги внес редактор Виктор Матвеевич Бухштабер. Благодаря ему целый ряд мест был переделан, улучшены многие доказательства. Авторы благодарят В.М.Бухштабера за эту большую работу.


Оглавление
Предисловие к первому изданию
Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
 § 1.Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм. Их гомотопическая инвариантность
 § 2.Гомологии алгебраических комплексов
 § 3.Симплициальные комплексы. Их гомологии и когомологии. Классификация двумерных замкнутых поверхностей
 § 4.Операция приклейки клетки к топологическому пространству. Клеточные пространства. Теоремы о приведении клеточных пространств. Гомологии и фундаментальная группа поверхностей и некоторых других многообразий
 § 5.Сингулярные гомологии и когомологии. Их гомотопическая инвариантность. Точная последовательность пары. Относительные гомологии
 § 6.Сингулярные гомологии клеточных комплексов. Их совпадение с клеточными гомологиями. Двойственность Пуанкаре для симплициальных гомологий
 § 7.Гомологии прямого произведения. Умножение в когомологиях. Когомологии ${ H}\mskip -\thinmuskip $-пространств и групп Ли. Когомологии унитарной группы
 § 8.Гомологии косых произведений (расслоенных пространств)
 § 9.Задача о продолжении отображений, гомотопий и сечений. Препятствующий класс когомологий
 § 10.Гомологии и методы вычисления гомотопических групп. Теорема Картана--Серра. Когомологические операции. Векторные расслоения
  I.Понятие когомологической операции. Примеры
  II.Комплексы Эйленберга--Маклейна и операции
  III.Вычисление гомотопических групп $\pi_i\otimes {\pmsbm Q}$
  IV.Применение к векторным расслоениям. Характеристические классы
  V.Классификация операций Стинрода в малых размерностях
  VI.Вычисление первых нетривиальных стабильных гомотопических групп сфер
  VII.Стабильные гомотопические классы отображений клеточных комплексов
 § 11.Гомологии и фундаментальная группа
 § 12.Когомологии гиперэллиптических римановых поверхностей. Торы Якоби. Геодезические на многоосных эллипсоидах. Связь с конечнозонными потенциалами
 § 13.Простейшие свойства кэлеровых многообразий. Абелевы торы
 § 14.Гомологии с коэффициентами в пучках
Критические точки гладких функций и гомологии
 § 15.Функции Морса и клеточные комплексы
 § 16.Неравенства Морса
 § 17.Правильная функция Морса--Смейла. Ручки. Поверхности
 § 18.Двойственность Пуанкаре
 § 19.Критические точки гладких функций и категория Люстерника--Шнирельмана
 § 20.Критические многообразия и неравенства Морса. Функции с симметрией
 § 21.Критические точки функционалов и топология пространства путей ${ \Omega }{ M}$
 § 22.Применения теоремы об индексе
 § 23.Периодическая задача вариационного исчисления
 § 24.Функции Морса на трехмерных многообразиях и диаграммы Хегора
 § 25.Унитарная периодичность Ботта и многомерные вариационные задачи
  I.Теорема унитарной периодичности
  II.Унитарная периодичность с точки зрения многомерных вариационных задач
  III.Ортогональная периодичность с точки зрения многомерных вариационных задач
 § 26.Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче ${ n}$ тел
Кобордизмы и гладкие структуры
 § 27.Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы и подмногообразия. Сигнатура многообразий
  I.Постановка задачи. Простейшие сведения о кобордизмах. Сигнатура
  II.Комплексы Тома. Вычисление кобордизмов (по модулю кручения). Форма сигнатуры. Реализация циклов подмногообразиями
  III.Некоторые применения формулы сигнатуры. Сигнатура и проблема инвариантности классов
 § 28.Гладкие структуры на семимерной сфере. Проблема классификации гладких многообразий (нормальные инварианты). Кручение Райдемайстера и основная гипотеза комбинаторной топологии
Литература
Приложение 
 1.Аналог теории Морса для многозначных функций. Некоторые свойства скобок Пуассона. С.П.Новиков
 2.Задача Плато, бордизмы и глобально минимальные поверхности в римановых многообразиях. А.Т.Фоменко
  I.Локально минимальные поверхности
  II.Многомерные вариационные задачи и теория бордизмов
  III.Формулировка теоремы существования глобально минимальных поверхностей, реализующих абсолютный минимум функционала многомерного объема
Предметный указатель

Об авторе
Фоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), АТН РФ (Академии технологических наук Российской Федерации). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей; создал теорию классификации интегрируемых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации (в области математики) за работы по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых систем. Лауреат премии Московского математического общества и премии Президиума АН СССР. Автор более 250 научных работ, 30 монографий и учебников. Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики.