URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Колесников А.П. Численный анализ: Аналитические и топологические методы
Id: 169976
 
505 руб.

Численный анализ: Аналитические и топологические методы. Изд.стереотип.

URSS. 2013. 456 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-03813-3.

 Аннотация

В предлагаемой вниманию читателя книге дается систематизированное описание методов численного анализа. Из общего перечня методов выделены топологические методы, названные так потому, что топология аппроксимирующих пространств в них не задана изначально, а определяется, исходя из условий задачи и требований к дифференциально-аналитическим свойствам решения. Вводится понятие А-сплайна, согласованного с оператором задачи. Класс решений формируется как линейная оболочка базисных А-сплайнов. Этот базис имеет вариационное происхождение (и потому наиболее эффективен), точно вычислен и индивидуален для решаемой задачи.

Рассматриваются приложения топологических методов для получения приближенных решений задач математического анализа и для численного решения некоторых задач математического моделирования управляемых оптических систем.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также для научных работников и преподавателей, интересующихся современными методами численного анализа.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Элементы теории приближений
 Введение
 § 1. Приближение алгебраическими многочленами
 § 2. Приближение тригонометрическими многочленами
 § 3. Многочленные сплайны
 § 4. Прямой и обратный методы в теории приближений
 § 5. Точечная интерполяция
 § 6. Задача аппроксимации
 § 7. Задача сглаживания
Глава 2. Методы численного анализа
 Введение
 § 1. Общая классификация методов
 § 2. Сеточный метод
 § 3. Проекционный метод
 § 4. Метод конечных элементов
 § 5. Метод топологических сплайнов
 § 6. Конечные итерационные методы
 § 7. Бесконечные итерационные процессы
Глава 3. Классические задачи численного анализа
 Введение
 § 1. Дифференцирование
 § 2. Интегрирование
 § 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
 § 4. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
 § 5. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных
 § 6. Начально-краевые задачи
 § 7. Интегральные уравнения
Глава 4. Прикладные задачи численного анализа
 Введение
 § 1. Многомерная интерполяция
 § 2. Многомерные стохастические системы
 § 3. Аппроксимация оптических измерений
 § 4. Приближение функций решениями краевых задач
 § 5. Приближение временных процессов решениями начально-краевых задач
 § 6. Детерминированные последовательности: динамическое интерполирование и экстраполирование
 § 7. Случайные последовательности: моделирование и прогноз
Литература

 Предисловие

Моим родителям
Петру Павловичу Колесникову
Марии Михайловне Колесниковой
посвящаю

Численный анализ как раздел математики имеет своей целью создание и обоснование способов преобразования задач математического анализа в форму, пригодную для их решения на вычислительных машинах. Книга преследует две цели.

В ней систематизируются и излагаются в доступной форме методы численного анализа, приводящие непрерывные задачи математического анализа к дискретным. При этом ставится задача передать внутреннюю логику численного анализа как абстрактной математической дисциплины. В основание для классификации методов численного анализа положен метод выбора топологической природы приближающих конструкций. Основные математические аспекты метода исследуются в [41(1)]. Ясно, что рассмотрение фундаментальных вопросов численного анализа с абстрактной точки зрения позволяет устанавливать более общие закономерности, а следовательно, получать и более общие результаты, полезные для приложений.

С другой стороны, с необходимой степенью подробности излагается проблематика построения численных методов решения разнообразных прикладных задач, обслуживаемых этой дисциплиной.

В книге принята следующая схема расположения материала. В первой главе излагаются задачи и методы теории приближений. Для получения эффективных приближений и, как следствие, удовлетворительных численных решений, большое значение имеет надлежащее решение двух вопросов: а) определение топологии в векторном пространстве E, в котором ищется приближение, б) определение базиса в выбранной топологии.

* * *

В первой главе излагается также классический подход, опирающийся на многочленные приближения, эффективный в задачах приближения целых функций. Важной целью первой главы является демонстрация природы ограниченности многочленных приближений, использование которых для приближенных вычислений обычно оправдывается простотой базиса и высокой скоростью ручного счета. В связи с развитием компьютерной техники эти факторы перестали играть какую-либо роль и гораздо большее значение имеют точность и эффективность приближений.

Вводится понятие обратного метода в теории приближений, который заключается в постановке и решении вариационной задачи вычисления базиса, наилучшего для данной задачи приближения. В аппроксимирующих сплайновых пространствах построены решения задач интерполяции, сглаживания и аппроксимации таблично заданных функций. Вводится понятие лагранжевой квазиинтерполяции. Полученные при этом приближения разрывных функций характеризуются отсутствием эффекта Гиббса. Показывается применение теоремы об отсчетах к задачам приближения.

Во второй главе предложена классификация методов численного анализа. Дается краткое описание методов аналитической замены (сеточного и проекционного) и итерационного метода, примененных для решения задач численного дифференцирования и интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений. Построен базис аппроксимирующего пространства, в котором ищутся решения, зависящий от оператора A задачи и которое названо пространством A-сплайнов. Так что базис аппроксимирующего пространства индивидуален для каждой задачи и оптимально выбран (имеет вариационное происхождение). A-сплайны отличает быстрая и устойчивая сходимость.

В третьей главе описаны приближенные методы анализа, связанные с численной реализацией операторного соотношения Ax=y, рассматриваемого в двух вариантах: как уравнение y--> x и как задача вычисления значения y оператора A на элементе x: x--> y. Оператор A предполагается линейным, определенным на подмножествах D(A) банаховых пространств со значениями в множествах R(A). Основное внимание уделено задачам, которые характеризуются как существенно некорректные.

* * *

В задаче A) искомыми считаются как множество корректности, так и псевдорешение, которое ему принадлежит. Численный анализ одного из примеров (интегральное уравнение Фредгольма I-го рода, y(in)R(A)) иллюстрирует явление сверхсходимости при использовании A-сплайнов. При n=3 (n-размерность аппроксимирующего пространства) вычисленная погрешность приближения в равномерной метрике имела первый порядок точности. При n=5 она скачком упала до машинного нуля 10-10 и устойчиво сохраняла это значение до весьма больших значений n (равных нескольким десяткам).

В задаче B) построены сплайновые методы решения начально-краевых задач и метод нахождения частных решений дифференциального уравнения в случае, когда никакие дополнительные условия, обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения, не заданы (это так называемые задачи со свободными границами).

В задаче C) описаны методы вычисления глобальных производных. Изложены также некоторые методы неопределенного интегрирования.

Существенное свойство всех рассмотренных задач заключается в предположении, что исходные данные для них определены как случайные функции или таблично заданы с ошибками, которые не считаются малыми.

В качестве важного приложения топологических методов к задачам численного анализа в главе 4 даются примеры построения моделей наиболее важных фрагментов управляемых (адаптивных) оптических систем. Анализ математических моделей--это, по преимуществу, качественный и численный анализ. Математических моделей, имеющих прикладное значение и доступных исчерпывающему анализу в точной аналитической форме, не бывает. К исследованиям в этой области привлекается широкий круг таких дисциплин, как оптика, автоматическое управление, математическая физика, теория случайных полей, численный анализ и т.д. Объединение столь разных областей в одном научном исследовании отражает сложность рассматриваемой проблемы.

В этой главе рассмотрены важные вопросы многомерной интерполяции, многомерной аппроксимации в случае, когда модель измерения представлена дифференциальным оператором, вопросы приближения функций решениями краевых и начально-краевых задач и т. д.

Изложение ориентируется на читателя, подготовленного к восприятию абстрактного материала. Предлагаемая книга может служить практическим руководством для решения задач проектирования методов вычислений. Однако большое количество примеров делает книгу полезной и для тех читателей, которых интересует не столько разработка численных методов, сколько их применение к прикладным проблемам.

Каждая глава делится на параграфы. Нумерация формул, теорем и т.д. своя внутри каждого параграфа. Система ссылок организована следующим образом: (13.6) означает ссылку на формулу (теорему и т.д.) 6 из параграфа 3 первой главы. При ссылках в пределах текущего параграфа (главы) нумерация параграфов (глав) не дается.


 Об авторе

Колесников Александр Петрович
Математик, профессор, доктор физико-математических наук. Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1967 г. Научные интересы лежат в области вычислительной математики, математического моделирования и информатики. Активно занимался приложениями; в частности, в последней четверти прошлого века принимал участие в выполнении программы важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление --- численный анализ в топологических пространствах.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце