URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Вабищевич П.Н. Аддитивные операторно-разностные схемы (схемы расщепления)
Id: 169298
 
549 руб.

Аддитивные операторно-разностные схемы (схемы расщепления)

URSS. 2013. 464 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-396-00515-0.

 Аннотация

В монографии рассмотрены аддитивные разностные схемы приближенного решения многомерных нестационарных задач для уравнений с частными производными. Выделены классы схем с расщеплением по пространственным переменным (схемы переменных направлений), схемы расщепления по физическим процессам. При использовании компьютеров параллельной архитектуры строятся схемы декомпозиции области --- регионально-аддитивные схемы. Рассмотрены безусловно устойчивые аддитивные схемы многокомпонентного расщепления для эволюционных уравнений первого и второго порядков, систем уравнений. Материал книги базируется на общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем.

Для специалистов по вычислительной математике, прикладному математическому моделированию, студентов старших курсов.


 Оглавление

Предисловие
Основные обозначения
Глава 1. Введение
 1.1.Численные методы
 1.2.Аддитивные операторно-разностные схемы
 1.3.Основные результаты теории аддитивных операторно-разностных схем
 1.4.О содержании книги
Глава 2. Устойчивость операторно-разностных схем
 2.1.Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения
  2.1.1.Гильбертовы пространства
  2.1.2.Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве
  2.1.3.Операторы в конечномерном гильбертовом пространстве
  2.1.4.Задача Коши для эволюционного уравнения первого порядка
  2.1.5.Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
  2.1.6.Краевая задача для одномерного параболического уравнения
  2.1.7.Уравнения второго порядка
 2.2.Двухслойные операторно-разностные схемы
  2.2.1.Основные понятия
  2.2.2.Устойчивость по начальным данным
  2.2.3.Устойчивость по правой части
  2.2.4.Схемы с весами
 2.3.Трехслойные операторно-разностные схемы
  2.3.1.Устойчивость по начальным данным
  2.3.2.Переход к двухслойной схеме
  2.3.3.rho-устойчивость трехслойных схем
  2.3.4. Оценки в более простых нормах
  2.3.5.Устойчивость по правой части
  2.3.6.Схемы с весами для уравнений первого порядка
  2.3.7.Схемы с весами для уравнений второго порядка
 2.4.Устойчивость в конечномерных банаховых пространствах
  2.4.1.Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
  2.4.2.Схема с весами
  2.4.3.Разностные схемы для одномерного параболического уравнения
 2.5.Устойчивость проекционно-разностных схем
  2.5.1.Введение
  2.5.2.Устойчивость схем конечных элементов
  2.5.3.Устойчивость проекционно-разностных схем
  2.5.4.Условия rho-устойчивости проекционно-разностных схем
  2.5.5.Схемы с весами
  2.5.6.Устойчивость по правой части
  2.5.7.Устойчивость трехслойных схем по начальным данным
  2.5.8. Устойчивость по правой части
  2.5.9. Схема для уравнения первого порядка
Глава 3. Операторы расщепления
 3.1.Нестационарные задачи конвекции-диффузии
  3.1.1.Дифференциальные задачи
  3.1.2.Дифференциально-разностная задача
  3.1.3.Двухслойные разностные схемы
 3.2.Операторы расщепления в задачах конвекции-диффузии
  3.2.1.Расщепление по пространственным переменным
  3.2.2.Расщепление по физическим процессам
  3.2.3.Схемы для задач с полуограниченным снизу оператором
 3.3.Методы декомпозиции области
  3.3.1.Введение
  3.3.2.Модельные краевые задачи
  3.3.3.Стандартные разностные аппроксимации
  3.3.4.Декомпозиция области
  3.3.5.Задачи с несамосопряженными операторами
 3.4.Разностные схемы для решения нестационарных векторных задач
  3.4.1.Введение
  3.4.2.Постановка задачи
  3.4.3.Оценки решения дифференциальных задач
  3.4.4.Аппроксимация по пространству
  3.4.5.Схемы с весами
  3.4.6.Попеременно-треугольное расщепление
 3.5.Задачи гидродинамики несжимаемой жидкости
  3.5.1.Дифференциальная задача
  3.5.2.Дискретизация по пространству
  3.5.3.Особенности задач гидродинамики в естественных переменных
  3.5.4.Априорная оценка для дифференциальной задачи
  3.5.5.Аппроксимация по пространству
  3.5.6.Аддитивные разностные схемы
Глава 4. Аддитивные схемы двухкомпонентного расщепления
 4.1.Схемы переменных направлений
  4.1.1.Постановка задачи
  4.1.2.Схема Писмена--Рекфорда
  4.1.3.Устойчивость схемы переменных направлений
  4.1.4.Точность схемы переменных направлений
  4.1.5.Другие схемы переменных направлений
 4.2.Факторизованные схемы
  4.2.1.Общее рассмотрение
  4.2.2.Схемы переменных направлений как факторизованные схемы
  4.2.3.Устойчивость и точность факторизованных схем
  4.2.4.Принцип регуляризации для построения факторизованных схем
  4.2.5.Факторизованные схемы многокомпонентного расщепления
 4.3.Попеременно-треугольный метод
  4.3.1.Общее описание попеременно-треугольного метода
  4.3.2.Исследование устойчивости и сходимости
  4.3.3.Трехслойные аддитивные схемы
  4.3.4.Задачи с несамосопряженными операторами
 4.4.Уравнения второго порядка
  4.4.1.Модельная задача
  4.4.2.Факторизованные схемы
  4.4.3.Схемы попеременно-треугольного метода
Глава 5. Схемы суммарной аппроксимации
 5.1.Аддитивные формулировки для дифференциальной задачи
  5.1.1.Модельная задача
  5.1.2.Промежуточные задачи
  5.1.3.Понятие суммарной аппроксимации
  5.1.4.Схемы суммарной аппроксимации второго порядка
 5.2.Схемы суммарной аппроксимации
  5.2.1.Схемы покомпонентного расщепления
  5.2.2.Оценки решений промежуточных задач
  5.2.3.Устойчивость схем покомпонентного расщепления
  5.2.4.Сходимость схем покомпонентного расщепления
  5.2.5.Сходимость аддитивных схем в банаховых пространствах
 5.3.Аддитивно-усредненные схемы
  5.3.1.Дифференциальная задача
  5.3.2.Аддитивные разностные схемы
  5.3.3.Устойчивость аддитивно-усредненных схем
 5.4.Другие варианты схем покомпонентного расщепления
  5.4.1.Чисто неявные аддитивные схемы
  5.4.2.Схемы переменных направлений как аддитивные схемы
  5.4.3.Аддитивные схемы второго порядка точности
  5.4.4.Сходимость схем повышенной точности
Глава 6. Регуляризованные аддитивные схемы
 6.1.Мультипликативная регуляризация разностных схем
  6.1.1.Принцип регуляризации разностных схем
  6.1.2.Аддитивная регуляризация
  6.1.3.Мультипликативная регуляризация
 6.2.Мультипликативная регуляризация аддитивных схем
  6.2.1.Задача Коши для уравнения первого порядка
  6.2.2.Регуляризация аддитивных схем
  6.2.3.Устойчивость и сходимость
  6.2.4.Регуляризованные и аддитивно-усредненные схемы
 6.3.Схемы повышенного порядка точности
  6.3.1.Постановка задачи
  6.3.2.Явная трехслойная схема
  6.3.3.Регуляризованные схемы
  6.3.4.Аддитивно-усредненная схема
 6.4.Регуляризованные схемы для уравнений второго порядка
  6.4.1.Модельная задача
  6.4.2.Регуляризованная схема
  6.4.3.Аддитивно-усредненные схемы для уравнений второго порядка
 6.5.Регуляризованные схемы с общими регуляризаторами
  6.5.1.Общие регуляризаторы
  6.5.2.Аддитивные схемы с общим регуляризатором
  6.5.3.Факторизованные аддитивные схемы
  6.5.4.Обобщения
Глава 7. Аддитивные схемы на основе аппроксимации оператора перехода
 7.1.Операторно-разностные схемы
  7.1.1.Дифференциально-операторная задача
  7.1.2.Разностные аппроксимации по времени
  7.1.3.SM-устойчивые схемы для задач с самосопряженным оператором
  7.1.4.Факторизованные SM-устойчивые разностные схемы
  7.1.5.Задачи с кососимметричным оператором
 7.2.Аддитивные схемы с мультипликативным оператором перехода
  7.2.1.Дифференциально-операторные задачи
  7.2.2.Схемы покомпонентного расщепления
 7.3.Схемы расщепления с аддитивным оператором перехода
  7.3.1.Аддитивная аппроксимация оператора перехода
  7.3.2.Аддитивные схемы
  7.3.3.Регуляризованные аддитивные схемы
 7.4.Другие аддитивные схемы
  7.4.1.Схемы второго порядка
  7.4.2.Факторизованные схемы
  7.4.3.Неоднородные аппроксимации оператора перехода
  7.4.4.Схемы высокого порядка аппроксимации
Глава 8. Векторные аддитивные схемы
 8.1.Векторные схемы для уравнений первого порядка
  8.1.1.Векторная дифференциальная задача
  8.1.2.Устойчивость векторных аддитивных схем
  8.1.3.Устойчивость по правой части
 8.2.Устойчивость векторных аддитивных схем в банаховых пространствах
  8.2.1.Постановка задачи
  8.2.2.Векторная аддитивная схема
  8.2.3.Исследование устойчивости
 8.3.Схемы второго порядка точности
  8.3.1.Постановка задачи
  8.3.2.Трехслойные векторные схемы
  8.3.3.Схемы попеременно-треугольного метода
 8.4.Векторные схемы для уравнений второго порядка
  8.4.1.Задача Коши для уравнения второго порядка
  8.4.2.Векторная задача
  8.4.3.Разностная схема с весами
  8.4.4.Аддитивные схемы
  8.4.5.Устойчивость аддитивных схем
Глава 9. Итерационные методы
 9.1.Элементы теории итерационных методов
  9.1.1.Постановка задачи
  9.1.2.Метод простой итерации
  9.1.3.Чебышевский набор итерационных параметров
  9.1.4.Двухслойные методы вариационного типа
  9.1.5.Метод сопряженных градиентов
 9.2.Итерационный метод переменных направлений
  9.2.1.Итерационный метод при двухкомпонентном расщеплении
  9.2.2.Исследование сходимости
  9.2.3.Модифицированный метод переменных направлений
  9.2.4.Многокомпонентное расщепление
 9.3.Попеременно-треугольный итерационный метод
  9.3.1.Итерационный метод
  9.3.2.Скорость сходимости
  9.3.3.Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод
 9.4.Итерационные методы кластерного агрегирования
  9.4.1.Переход к системе уравнений
  9.4.2.Итерационный метод
  9.4.3.Параллельный вариант
  9.4.4.Агрегация неизвестных
Глава 10. Аддитивные схемы при расщеплении оператора при производной по времени
 10.1.Векторные аддитивные схемы
  10.1.1.Введение
  10.1.2.Постановка задачи
  10.1.3.Векторная задача
  10.1.4.Аддитивные векторные схемы
  10.1.5.Обобщения
 10.2.Общее расщепление
  10.2.1.Введение
  10.2.2.Постановка задачи
  10.2.3.Схема с весами
  10.2.4.Схемы с диагональным оператором B
  10.2.5.Общий случай
Глава 11. Системы эволюционных уравнений с сопряженными операторами
 11.1.Схемы расщепления для системы уравнений с сопряженными операторами
  11.1.1.Введение
  11.1.2.Постановка задачи
  11.1.3.Априорные оценки
  11.1.4.Схемы с весами
  11.1.5.Схемы расщепления для нахождения p-й компоненты решения
  11.1.6.Аддитивные схемы для системы уравнений
 11.2.Аддитивные схемы для системы уравнений первого порядка
  11.2.1.Постановка задачи
  11.2.2.Примеры
  11.2.3.Схемы с весами
  11.2.4.Явно-неявные схемы
  11.2.5.Аддитивные схемы покомпонентного расщепления
  11.2.6.Регуляризованные аддитивные схемы
 11.3.Другой класс систем уравнений первого порядка
  11.3.1.Постановка задачи
  11.3.2.Схема с весами
  11.3.3.Аддитивные схемы
  11.3.4.Более общие задачи
  11.3.5.Задачи гидродинамики
Литература
Предметный указатель

 Предисловие

Прикладное математическое моделирование связано прежде всего с необходимостью решения нестационарных задач. Элементами математической модели могут быть как задачи с начальными данными для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и, что бывает чаще всего, нестационарные уравнения с частными производными. Для дискретизации по пространству используются разностные или конечно-элементные аппроксимации в различных вариантах. После этого мы приходим к нестационарным задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Специфика задач математической физики проявляется в высокой жесткости таких систем.

Задачи рассматриваются в соответствующих конечномерных вещественных гильбертовых или банаховых пространствах -- задачи с начальными условиями для дифференциально-операторных уравнений. Мы изучаем линейные задачи, которые записываются в виде эволюционных уравнений первого и второго порядка и их систем. Исследуемые математические модели обычно нелинейны -- мир нелинеен и линейные модели, как говорил А.А.Самарский, являются жалким частным случаем. На линейных базовых моделях отрабатываются вычислительные алгоритмы, строятся изящные теоретические конструкции по обоснованию их корректности и точности. Численные методы для приближенного решения линейных задач являются методологической основой алгоритмов для нелинейных задач.

Дискретизация по времени проводится с использованием тех или иных разностных аппроксимаций. Это позволяет перейти от задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений к операторно-разностным схемам. Построение безусловно устойчивых схем базируется на использовании неявных схем. Явные схемы с учетом жесткости систем обыкновенных дифференциальных уравнений для вычислительной практики интереса не представляют. Оптимизация вычислительного алгоритма решения нестационарной задачи связана с упрощением задачи на верхнем слое.

Типичной является ситуация, когда операторы задачи представляются в виде суммы операторов. Аддитивные операторно-разностные схемы связываются с переходом от сложной задачи к цепочке более простых для отдельных операторных слагаемых в таком расщеплении, которое может иметь различную природу. Отдельные операторы, например, могут связываться с расщеплением по пространственным переменным, иметь различную прикладную интерпретацию и т.д.

Классическими примерами аддитивных разностных схем являются схемы переменных направлений, локально-одномерные схемы. Они широко используются в вычислительной практике уже более полувека. Их исследование базируется на фундаментальном понятии суммарной аппроксимации. Построены также новые классы аддитивных разностных схем, существенно расширена область их применения. Необходимо отметить решающее влияние на прогресс в данной области исследований именно российской (советской) школы вычислительной математики.

Основные результаты исследований по теории аддитивных схем (схем расщепления) отражены в книге Аддитивные схемы для задач математической физики, которая написана в соавторстве с А.А.Самарским. Эта книга впервые была опубликована в 1999 г. издательством Наука незначительным тиражом. В силу этого она сразу же стала библиографической редкостью и фактически осталась незамеченной читателем. Это обстоятельство, а также возможность отразить прогресс в построении и исследовании аддитивных схем за последнее время стали основным побудительным мотивом к написанию новой книги.

В настоящей книге дается описание основных классов аддитивных операторно-разностных схем. Используется минимальный математический аппарат, связанный с базовыми свойствами операторов в конечномерных пространствах. Исследование аддитивных схем (схем расщепления) опирается на общую теорию устойчивости операторно-разностных схем А.А.Самарского, рассматриваемых в конечномерных гильбертовых пространствах.

Москва, Якутск
октябрь 2012 г.
П.Н.Вабищевич

 Об авторе

Петр Николаевич ВАБИЩЕВИЧ

Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (г.Москва) и Северо-Восточном федеральном университете им. М.К.Аммосова (г.Якутск). П. Н. Вабищевичем разработаны новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внесен большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса. П. Н. Вабищевич - автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, а также более 10 патентов РФ.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце