Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем Изд. стереотип.

URSS. 2019. 320 с. ISBN 978-5-382-01887-4.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Аннотация

В работе излагаются элементы теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным в специальным образом построенной энергетической норме. Доказана эквивалентность энергетической нормы сеточной L2-норме. Построены априорные оценки, выражающие устойчивость разностных схем по правой части. Изложение сопровождается многочисленными... (Подробнее)

Оглавление

Введение
1.	Исходная дифференциальная задача
	1.1.	Постановка задачи
	1.2.	Собственные и присоединенные функции
		1.2.1.	Основная и сопряженная спектральные задачи
		1.2.2.	Собственные и присоединенные функции основной спектральной задачи
		1.2.3.	Явный вид собственных и присоединенных функций сопряженной задачи
		1.2.4.	Биортонормированность системы собственных и присоединенных функций
	1.3.	Существование и единственность решения
		1.3.1.	Построение решения в виде ряда по собственным и присоединенным функциям
		1.3.2.	Теоремы существования и единственности
2.	Критерий устойчивости разностной схемы для нелокальной задачи теплопроводности
	2.1.	Правила действий с операторными неравенствами
	2.2.	Абстрактная схема с весами
	2.3.	Схема с нелокальными граничными условиями
	2.4.	Основной разностный оператор в случае
	2.5.	Основной разностный оператор в случае принадл. (0, 1)
	2.6.	Теоремы об устойчивости по начальным данным
	2.7.	Теоремы об устойчивости в случае принадл. (0, 1)
3.	Исследование нормы
	3.1.	Исходная задача и разностная схема
	3.2.	Свойства операторов A и A^* в случае
	3.3.	Биортонормированность и базисность
	3.4.	Разностная задача с условиями периодичности
	3.5.	Границы спектра оператора нормы при
	3.6.	Свойства операторов A и A^* в случае принадл. (0, 1)
	3.7.	Биортонормированность систем собственных функций
	3.8.	Границы спектра оператора нормы при принадл. (0, 1)
4.	Устойчивость по правой части
	4.1.	Общие теоремы об устойчивости по правой части
	4.2.	Устойчивость по правой части разностной схемы с нелокальными граничными условиями
5.	Параметризация оператора нормы
	5.1.	Критерий устойчивости разностной схемы для уравнения теплопроводности
	5.2.	Постоянные параметры
	5.3.	Краевые условия второго типа
6.	Устойчивость нелокальной двумерной разностной задачи
	6.1.	Постановка задачи
	6.2.	Частичное разделение переменных
	6.3.	Устойчивость явной схемы с параметром
	6.4.	Двумерная задача
	6.5.	Постоянные параметры оператора нормы
7.	Нелокальная двумерная разностная задача с параметром в граничном условии
	7.1.	Разностная схема
	7.2.	Устойчивость разностной схемы
8.	Примеры разложений по системе собственных и присоединенных функций
	8.1.	Собственные и присоединенные функции дифференциальной задачи
	8.2.	Примеры разложения функций в биортогональный ряд
	8.3.	Тестовые примеры
9.	Собственные и присоединенные функции разностных операторов
	9.1.	Собственные и присоединенные векторы матриц второго порядка
		9.1.1.	Собственные и присоединенные векторы
		9.1.2.	Сопряженная задача
		9.1.3.	Простые собственные значения
		9.1.4.	Разложение по системе собственных и присоединенных векторов
	9.2.	Собственные и присоединенные функции разностных задач
	9.3.	Примеры
		9.3.1.	Общие положения
		9.3.2.	Непосредственное построение матрицы M в случае N=3
		9.3.3.	Матрицы M и J в случаях N=4 и N=5
		9.3.4.	Вычисление сумм
	9.4.	Примеры разложений сеточных функций в биортогональную сумму
10.	Устойчивость по начальным данным
	10.1.	Устойчивость разностной схемы в случае матриц порядка 2 и 3
		10.1.1.	Построение решения
		10.1.2.	Устойчивость в H_D системы двух уравнений
		10.1.3.	Исследование оператора нормы
		10.1.4.	Теорема об устойчивости в случае N=3
		10.1.5.	Построение оператора нормы (пример)
	10.2.	Задача на собственные значения с условиями периодичности
	10.3.	Исследование оператора нормы
		10.3.1.	Оператор нормы: вычисление границ спектра
11.	Нелокальная задача с параметром в граничном условии
	11.1.	Собственные значения и собственные функции дифференциальных операторов
	11.2.	Собственные значения и собственные функции разностных операторов
		11.2.1.	Собственные значения и собственные функции основной и сопряженной разностных задач
		11.2.2.	Упорядочение собственных значений разностной задачи
	11.3.	Вычисление границ спектра оператора нормы
12.	Модельные примеры
	12.1.	Модельный пример, N=2
	12.2.	Модельный пример, N=3
		12.2.1.	Основной оператор и его свойства
		12.2.2.	Примеры
Литература
Предметный указатель
Об авторах

Введение

К необходимости исследования нелокальных разностных схем приводят математические модели, возникающие при изучении ряда прикладных задач. Примером такого рода задач является процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц. В теории теплопроводности хорошо известна нелокальная задача, описывающая процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне при заданном общем изменении количества тепла. Рассматриваются также задачи, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны.

Остановимся подробнее на результатах отдельных работ, посвященных нелокальным краевым задачам в дифференциальной и в разностной постановках. Применение метода разделения переменных к задачам с нелокальными граничными условиями привело к необходимости изучения спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Особенностью рассматриваемых задач, затрудняющей их исследование, является несамосопряженность пространственного дифференциального оператора и, как следствие, неполнота системы его собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть как конечное, так и бесконечное число. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В.А.Ильиным. Большой интерес представляют работы В.А.Ильина и Е.И.Моисеева, в которых найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. В работах Н.И.Ионкина изучалась устойчивость и сходимость разностных схем с весами для уравнения теплопроводности, а также был предложен алгоритм нахождения численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Используя разложение искомого решения в биортогональную сумму по собственным и присоединенным функциям разностного оператора и двусторонние неравенства для коэффициентов биортогонального разложения, были получены (при определенных условиях на шаги сетки) априорные оценки решения разностной задачи в сеточной L₂-норме через начальные условия и правую часть. Из этих априорных оценок следует устойчивость разностной схемы и ее сходимость к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью O(\tau +h²). Устойчивость разностных схем для нелокальных задач теплопроводности изучалась в работах.

В основу настоящей книги положены специальные курсы, прочитанные студентам кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова. Предполагается, что читатель знаком с элементами теории разностных схем, например в объеме первых глав книги. Авторы придерживаются направления в теории устойчивости нестационарных разностных схем, которое было определено первоначально А.А.Самарским в работе (см. также) и развито затем в его работах с соавторами. Характеризуя направление в целом, можно отметить следующие его особенности. Разностная схема определяется здесь как операторно-разностное уравнение в конечномерном линейном пространстве с евклидовой метрикой и рассматривается как самостоятельный объект исследования, формально не зависимый от каких-либо исходных дифференциальных уравнений. Вводится единая каноническая форма записи всех линейных двуслойных и трехслойных разностных схем, и общие для данного класса схем условия устойчивости формулируются в терминах операторных неравенств, связывающих операторы разностной схемы. При этом исследование устойчивости каждой конкретной схемы сводится к приведению ее к канонической форме и проверке выполнения соответствующих операторных неравенств.

Первая часть настоящей книги (главы 1–7) посвящена изложению основ теории устойчивости нелокальных разностных схем. В главе Original differential problem рассматривается уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами и нелокальными граничными условиями. Приводятся результаты исследования корректности, которое основано на разложении решения в ряд по системе собственных и присоединенных функций оператора второй производной с нелокальными граничными условиями. В главе Stability criterium рассматривается разностная схема с весами, аппроксимирующая уравнение теплопроводности с нелокальным граничным условием. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным в некоторой специальным образом построенной энергетической норме. Показано, что найденные условия устойчивости невозможно ослабить за счет выбора нормы. В главе Norm's investigation доказана эквивалентность упомянутой энергетической нормы сеточной L₂-норме. Проведенное исследование позволило в главе Stabilty on right hands получить априорные оценки, выражающие устойчивость разностных схем по правой части. При этом ограничения на шаги сетки, гарантирующие устойчивость по правой части, совпадают с найденными критериями устойчивости по начальным данным. Содержание глав 1–4 можно считать основой теории устойчивости нелокальных разностных схем для уравнения теплопроводности. В последующих главах, технически более сложных, теория устойчивости развивается в двух направлениях: расширяется класс норм, в которых гарантируется устойчивость, и проводятся исследования разностных схем для нелокальных двумерных по пространственным переменным задач теплопроводности.

Во второй части книги (главы 8–12) приведены многочисленные примеры исследования конкретных разностных схем, рассмотрены наиболее интересные частные случаи. По существу, вторую часть можно рассматривать как сборник упражнений с решениями по тематике глав 1–5.

Авторы выражают глубокую благодарность академику А.А.Самарскому, который инициировал создание этой книги. Авторы признательны академику В.А.Ильину за обсуждение книги и полезные замечания.

Об авторах

Алексей Владимирович ГУЛИН

Родился в 1942 г. Профессор кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова, заслуженный профессор Московского университета. Область научных интересов связана с исследованием численных методов решения задач математической физики, в особенности с теорией устойчивости разностных схем. Автор 130 научных работ, в том числе монографий и учебных пособий (в соавторстве с академиком А.А.Самарским) "Численные методы" (М., 1989), "Численные методы математической физики" (М., 2003, 2Не изд.), "Устойчивость разностных схем" (М.: URSS, 2005, 2Не изд.).

Николай Иванович ИОНКИН

Родился в 1944 г. Доцент кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова, заслуженный преподаватель Московского университета. Область научных интересов: вычислительная математика, разностные методы. Основные научные результаты связаны с исследованием аналитических и разностных методов для нелокальных краевых задач. Автор более 50 научных работ, в том числе "Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием" ("Дифференциальные уравнения". 1977. Т. 13. N2. С.294–304), "О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи" ("Актуальные вопросы прикладной математики". М.: Изд-во МГУ, 1989. С.61–69).

Валентина Алексеевна МОРОЗОВА

Родилась в 1973 г. Доцент кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова. Основные научные результаты связаны с исследованием разностных схем для задач с нелокальными краевыми условиями. Автор 20 научных работ, в том числе "Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи" ("Дифференциальные уравнения". 2001. Т. 37. N7. С.926–932; в соавторстве с А.В.Гулиным и Н.И.Ионкиным).