URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии
Id: 166739
 
426 руб.

Курс дифференциальной геометрии. Изд.4

URSS. 2013. 344 с. Мягкая обложкаISBN 978-5-484-01319-7.

 Аннотация

Вниманию читателя предлагается курс дифференциальной геометрии, написанный известным отечественным математиком С.П.Финиковым (1883--1964). Во введении даются основные определения и рассматриваются простейшие свойства простой дуги кривой и простого куска поверхности. В первой части излагается теория кривых, описываются натуральные уравнения кривой и теория огибающих. Во второй части подробно рассматривается теория поверхностей. Также в книгу включен краткий исторический очерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней.

Рекомендуется математикам, механикам, физикам-теоретикам --- студентам, аспирантам, преподавателям и научным работникам.


 Оглавление

Предисловие
ВВЕДЕНИЕ
 § 1.Определение кривой на плоскости
  1. Простая дуга кривой. 2. Параметрическое представление линии. 3. Касательная и нормаль. 4. Уравнение F(x, y) = 0. 5. Касательная к кривой, заданной уравнением в неявной форме. 6. Полярная система координат. Упражнения 1-7.
 § 2.Определение пространственной кривой
  7. Простая дуга пространственной кривой. 8. Регулярный кусок кривой. 9. Уравнение касательной. 10. Длина дуги. 11. Задание кривой двумя уравнениями между текущими координатами. 12. Касательная к кривой, заданной уравнениями в неявной форме. Упражнения 8-13.
 § 3.Определение поверхности
  13. Простой кусок поверхности. 14. Регулярный кусок поверхности. 15. Касательная плоскость к поверхности. Упражнения 14-17.
 § 4.Особые точки кривых F(x, у) = 0. 16. Касательные в двойной точке. 17. Изолированная точка, узел*. 18. Случай дискриминанта, равного нулю. Упражнение 18
 § 5. Особые точки поверхности F(x, у, z) = 0 19. Особые точки. Конус касательных. 20. Изолированная точка. Коническая точка
 § 6.Методы и задачи дифференциальной геометрии
  21. Инвариантность относительно группы движений. 22. Содержание курса дифференциальной геометрии. 23. Инварианты и инвариантные векторы. 24. План курса дифференциальной геометрии. 25. Кривые, имеющие касание я-го порядка. 26. Дифференциальная окрестность п-то порядка

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
 § 1. Касательная к кривой
  27. Параметрическое представление кривой. 28. Величины, инвариантные относительно группы движений пространства 29. Векторы дифференциальной окрестности первого порядка 30. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
 § 2.Длина дуги 31. Длина дуги как особый инвариантно выбранный параметр кривой. 32. Введение понятия длины дуги. Упражнения 19-22
ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
 § 1.Сопровождающий трехгранник
  33. Инвариантные векторы дифференциальной окрестности второго порядка. 34. Бинормаль. *35. Вычисление основных векторов tau, nu, beta в функциях произвольного параметра. Упражнения 23-27
 § 2.Соприкасающаяся плоскость
  36. Соприкасающаяся плоскость как плоскость, имеющая с кривой касание второго порядка. 37. Соприкасающаяся плоскость как плоскость, проходящая через три бесконечно близкие точки кривой. 38. Расположение кривой относительно соприкасающейся плоскости. 39. Положительное направление главной нормали. 40. Уравнение соприкасающейся плоскости. Упражнения 28-30
 § 3.Кривизна кривой
  41. Первый инвариант кривой. 42. Кривизна кривой. *43. Сферическая индикатриса касательных. *44. Формула для радиуса кривизны кривой. Упражнения 31-34. 45. Соприкасающаяся окружность
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
 § 1.Формулы для производных основных векторов сопровождающего трехгранника
  46. Инварианты дифференциальной окрестности третьего порядка 47. Производные основных единичных векторов кривой 48. Винтовая линия
 § 2.Кручение кривой
  49. Второй инвариант кривой. 50. Геометрический смысл знака кручения. 51. Кручение кривой. *52. Сферическая индикатриса бинормалей. *53. Формула для кручения кривой в функциях произвольного параметра. Упражнения 35-39. *54. Полная система инвариантов
 § 3.Движение сопровождающего трехгранника
  55. Инфинитезималыюе перемещение трехгранника. 56. Поступательное и вращательное движения трехгранника. 57. Вращение трехгранника Т. 58. Компоненты скорости вращения трехгранника Т. 59. Кинематический смысл кривизны и кручения *
 § 4.Расположение кривой относительно основного трехгранника в окрестности обыкновенной и особой точек 60. Канонические разложения кривой. 61. Проекции кривой на грани основного трехгранника в обыкновенной точке, 62. Особенные точки кривой. 63. Особые точки кривой
ГЛАВА IV. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
 § 1.Кривые с кручением, равным нулю
  64. Натуральные уравнения кривой. 65. Интегрирование натуральных уравнений плоской кривой. 66. Кривая постоянной кривизны. Упражнения 40, 41
 § 2.Формулы инфинитезимальных перемещений репера плоской кривой 67. Вектор нормали плоской кривой. 68. Кривизна плоской кривой. 69. Формула для кривизны 1/R, определяющая ее знак
 § 3.Эволюта
  70. Центр кривизны. 71. Касательная и длина дуги эволюты. *72. Особые точки эволюты. *73. Кривизна эволюты. *74. Эвольвента. *75. Параллельные кривые. *76. Эвольвента окружности. Упражнения 42-45 '
 § 4.Особые точки кривой 77. Точка возврата. 78. Случай нечетного р. 79. Пример. Упражнения 46-49
ГЛАВА V. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ
 § 1.Теорема существования
  80. Постановка задачи. 81. Существование решения. 82. Ортогональность матрицы решений. 83. Единственность решения * 2, Общие винтовые линии 84. Интегрирование натуральных уравнений общих винтовых линий. 85. Линии постоянной кривизны и постоянного кручения *
 § 3.Эволюты
  86. Определение эволюты кривой в пространстве. 87. Интегрирование уравнений эволюты
 § 4.Соприкасающаяся сфера 88. Порядок касания сферы с кривой. 89. Сферы, имеющие касание первого порядка. 90. Сферы, имеющие с кривой касание второго порядка. 91. Соприкасающаяся сфера. Упражнения 50-66
ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ
 § 1.Огибающая семейства кривых на плоскости
  92. Плотность семейства кривых. 93. Характеристические точки кривой семейства. 94. ОгибающаяЖ Пример. *96. Геометрическое место особых точек. *97. Предельная точка пересечения кривых семейства. Упражнения 67-71
 § 2.Огибающая однопараметрического семейства поверхностей
  98. Характеристика поверхности семейства. 99. Пример. *100. Характеристика как предельное положение линии пересечения. 101. Огибающая. *102. Ребро возврата как геометрическое место точек возврата. Упражнения 72-75 *
 § 3.Огибающая семейства поверхностей с двумя параметрами
  103. Плотность семейства в точке. 104. Однопараметрические подсемейства. 105. Огибающая как общая касательная всех поверхностей семейства. Упражнения 76-78
 § 4.Огибающая семейства плоскостей
  106. Огибающая однопараметрического семейства плоскостей, 107. Развертывающаяся поверхность. *108. Полярное преобразование развертывающейся поверхности. *109. Приложение к теории кривых. Огибающая нормальных плоскостей. *110. Огибающая спрямляющих плоскостей. Упражнения 79-84

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
 § 1.Касательная плоскость и нормаль к поверхности 111. Параметрическое представление поверхности. 112. Существование поверхности, заданной уравнениями в параметрической форме. 113. Координатная сеть линий на поверхности. 114. Инвариантный вектор дифференциальной окрестности первого порядка. 115. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 116. Положительная сторона поверхности. 117. Уравнения касательной плоскости и нормали. *118. Особые точки. 119. Развертывающаяся поверхность. Упражнения 85-92
 § 2.Линейный элемент поверхности
  120. Первая инвариантная квадратичная форма. 121. Примеры. 122. Дифференциал длины дуги кривой на поверхности. 123. Коэффициенты линейного элемента. 124. Угол двух линий на поверхности. 125.'Условие ортогональности. 126. Площадь поверхности. Упражнения 93-98
 § 3.Изгибание поверхностей
  127. Налагающиеся поверхности. 128. Наложение катеноида на геликоид. 129. Наложение развертывающейся поверхности на плоскость. *130. Развертывающаяся винтовая поверхность. *131. Изгибание поверхности вращения. *132. Изгибание сферы. 133. Конформное отображение одной поверхности на другую. *134. Конформное отображение поверхности вращения на плоскость. Упражнения 99-101
ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
 § 1.Вторая квадратичная форма
  135. Инвариантные формы дифференциальной окрестности второго порядка. 136. Коэффициенты второй квадратичной формы, 137. Примеры. 138. Сфера. 139. Развертывающаяся поверхность
 § 2.Нормальная кривизна кривой на поверхности
  140. Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности. 141. Кривизна нормального сечения поверхности 142. Кривизна произвольной кривой на поверхности
 § 3.Главные направления и главные радиусы кривизны
  143. Стационарные значения нормальной кривизны в точке поверхности. 144. Главные направления. 145. Формула Эйлера
 § 4.Эллиптические, гиперболические и параболические точки поверхности
  146. Индикатриса нормальной кривизны. 147. Эллиптические точки поверхности. 148. Гиперболические точки поверхности. 149. Параболические точки. 150. Пересечение поверхности с ее касательной плоскостью
 § 5.Полная и средняя кривизны поверхности
  151. Абсолютные инварианты поверхности. *152. Третья квадратичная форма поверхности. 153. Сферическое изображение поверхности. 154. Полная кривизна поверхности. 155. Поверхности постоянной полной или средней кривизны. *156. Поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны
 § 6.Линии кривизны
  157. Определение линий кривизны. 158. Второе определение линий кривизны. 159. Поверхности центров кривизны
 § 7.Асимптотические линии
  160. Асимптотические направления поверхности. 161. Определение асимптотических линий. * 162. Кручение асимптотических линий. *163. Поведение асимптотических линий в окрестности параболической точки. *164. Асимптотические линии на поверхности вращения
 § 8.Сопряженная система линий
  165. Сопряженные направления на поверхности. 166. Сопряженные семейства линий. 167. Сопряженная система плоских и конических линий. Упражнения 102-132
ГЛАВА III. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
 § 1.Геодезическая кривизна кривой на поверхности
  168. Геодезическая кривизна координатной линии. 169. Кривизна проекции кривой на касательную плоскость. 170. Геодезическая кривизна как компонент скорости вращения. 171. Развертывание линий на плоскость
 § 2.Геодезические линии
  172. Геодезическая как прямейшая линия поверхности. 173. Уравнение геодезической линии.*174. Семейство геодезических на поверхности. 175. Геодезическая как кратчайшая линия на поверхности. 176. Семейство геодезически параллельных линий. *177, Проблема проведения геодезической через две точки поверхности. *178. Геодезические на поверхности вращения. 179. Течение геодезических на поверхности вращения. Упражнения 133-140
ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
 § 1.Теорема существования
  180. Скорости перемещений прямоугольного трехгранника 181. Теорема существования решения вполне интегрируемой системы. 182. Определение поверхности по заданным векторам еъ еъ ез трехгранника Т. 183. Определение векторов e1, e2, e3 трехгранника Т. 184. Ортогональность и единичность векторов трехгранника. 185. Определение поверхности двумя квадратичными формами "
 § 2.Изгибание поверхностей
  186. Критерий наложимости пары поверхностей. 187. Наложимость поверхностей вращения. 188. Наложимость поверхностей постоянной кривизны
 § 3.Параллельный перенос вектора
  189. Скорости перемещений репера на плоскости вдоль линии, полученной развертыванием линии L поверхности. 190. Обход с вектором по замкнутому контуру. 191. Кривизна линейного элемента. 192. Интеграл геодезической кривизны
 § 4.Геометрия на псевдосферической поверхности
  193. Отображение псевдосферы на плоскость. 194. Отображение на плоскость геодезических окружностей псевдосферы. 195. Классификация геодезических окружностей. 196. Угол параллельности
ОЧЕРК ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
  197. От Лейбница до Эйлера. 198. Монж. 199. Гаусс 200. К.М.Петерсон и московская школа. 20L Геометрия кривого пространства. 202. Пространство с фундаментальной группой. 203. Новые геометрические дисциплины

ПРИЛОЖЕНИЯ 

I. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
  1. Неявная функция, определяемая одним уравнением. 2. Система уравнений. 3. Аналитические функции
II. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
 § 1.Переменные векторы
  4. Обозначения. 5. Вектор как функция скаляра. Упражнения 1-3. 6. Бесконечно малые векторы. 7. Предел переменного вектора. 8. Непрерывность
 § 2.Производная вектора
  9. Понятие производной. 10. Геометрическое значение производной от вектора. 11. Механическое значение производной от вектора
 § 3.Правила дифференцирования
  12. Производная суммы. 13. Производная произведения 14. Производная единичного вектора
 § 4.Вторая производная
  15. Производные высших порядков. Упражнения 4-5 16. Дифференциал
 § 5.Основные теоремы дифференциального исчисления
  17. Теорема о конечном приращении. 18. Теорема Тэйлора
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
  19. График явной функции. Упражнения 1-4. 20. График неявной функции. Упражнения 5-13. 21. Параметрическое задание кривой. Упражнения 14-15
Алфавитный указатель

 Предисловие

Предлагаемый курс дифференциальной геометрии написан по программе физико-математических и механико-математических факультетов университетов, но отличается некоторыми особенностями.

Поскольку в курсе анализа бесконечно малых обычно рассматриваются элементарные свойства кривых на плоскости, я счел возможным плоские кривые рассматривать как специальный случай пространственных. Зато первая часть введения сразу же знакомит читателя с элементарными геометрическими понятиями простой дуги кривой (плоской и пространственной), простого куска поверхности. Кроме основных определений здесь рассматриваются простейшие свойства их, зависящие от производных первого порядка.

Параметрическое задание кривой или определение уравнением, не разрешенным относительно одной из текущих координат, приводит к теоремам существования неявных функций. Для удобства читателя эти теоремы приведены (без доказательства) в приложении, на них строится весь курс. Точно так же в приложение вынесена вся теория дифференцирования векторных функций, которая несомненно составляет часть анализа, но широко используется в дифференциальной геометрии.

В двух параграфах введения дано изложение методов исследования особых точек кривых на плоскости (или поверхностей), заданных одним неразрешенным уравнением. Естественным приложением этой теории является задача построения кривой на плоскости средствами дифференциальной геометрии. Я ограничиваюсь тремя подробно разобранными примерами в конце книги.

Исследование особых точек кривой, заданной параметрически, рассматривается позднее, одновременно для плоских и пространственных кривых, методом инвариантных векторов, что необычайно упрощает все исследование. Понятие инвариантных векторов (и скаляров) имеет основное значение для всего курса. Можно сказать, что курс дифференциальной геометрии строится как теория дифференциальных инвариантов относительно группы движений пространства и допустимых преобразований параметров.

При этом естественно возникает понятие дифференциальной окрестности того или другого порядка точки кривой (или поверхности). Как известно, дифференциальные инварианты делятся на порядки в зависимости от порядка производных от текущих координат по параметру, с помощью которых эти инварианты могут быть записаны. Дифференциальные инварианты до n-го порядка включительно определяют дифференциальную окрестность n-го порядка. Кривые, имеющие касание n-го порядка, имеют в точке касания общую дифференциальную окрестность n-го порядка.

Другой особенностью книги является широкое использование кинематических соображений при рассмотрении перемещений трехгранника, присоединенного к точке кривой или поверхности. Это не только делает более наглядным изучение кривой или поверхности, но и позволяет дать вывод основных уравнений теории поверхности вполне обозримым. Эти уравнения и в особенности теорема о гауссовой кривизне прилагаются к исследованию наложимости поверхностей. При этом выделяются поверхности постоянной кривизны, как допускающие в своей геометрии понятие конгруэнтных фигур. Общее учение о геометрии на поверхности заканчивается наброском построения геометрии на псевдосферических поверхностях и на плоскости Лобачевского.

После этого следует краткий исторический очерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней и, в частности, развития дифференциальной геометрии в Московском университете.

В заключение мне особенно приятно вспомнить те советы и указания, которые я получал со всех сторон от своих товарищей, когда я работал над этой книгой. Так, весьма существенную помощь оказал мне Д.И.Перепелкин, который был рецензентом моей рукописи и передал мне тетрадь больших и малых замечаний. Необходимо также отметить участие С.А.Яновской и А.П.Юшкевича, без дружеской помощи которых едва ли я сумел бы составить исторический очерк.

* * *

Читателя, не знакомого с дифференцированием векторных функций, следует предупредить о том, что, приступая к изучению теории кривых (часть первая), он должен будет ознакомиться с содержанием приложения II (стр.317). К приложению I (Теоремы существования неявных функций) можно обращаться каждый раз, когда в том будет надобность. Что же касается приложения III (Дополнительные задачи), то его полезно рассмотреть одновременно с чтением введения.

Звездочкой отмечены параграфы или пункты, которые можно опустить при первом чтении.


 Об авторе

Сергей Павлович Фиников (1883--1964)

Известный отечественный математик. Окончил Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова в 1906 г. С 1918 г. -- профессор МГУ. Получил ряд фундаментальных результатов в классических задачах изгибания поверхностей, в метрической и проективной теории конгруэнций; построил проективную теорию расслояемых пар конгруэнций; разработал метод канонизации репера и независимых параметров, являющийся развитием метода Дарбу--Картана. Cоздатель современной проективно-дифференциальной геометрии. Основатель школы советских геометров.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце