Белотелов Н.В., Бродский Ю.И., Павловский Ю.Н. СЛОЖНОСТЬ.
Математическое моделирование. Гуманитарный анализ. Исследование ИСТОРИЧЕСКИХ, ВОЕННЫХ, СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПОЛИТИЧЕСКИХ процессов. № 46. Изд. стереотип.

Содержание

Имитационное моделирование, синергетика, будущее (Г. Г. Малинецкий)

Научные достижения, концепции и идеи являются важнейшей частью культуры человечества. Традиционной темой поэтов является долговечность поэтического слова в противовес тленному материальному (пушкинское "Нет, весь я не умру – душа в заветной мире мой прах переживет... ", ахматовское "Всего прочнее на земле печаль и долговечней – царственное слово", булгаковское "Рукописи не горят!"). Однако научные идеи и проблемы еще долговечней и понятней через много веков, в отличие от художественного творчества.

Человек быстро меняется. В сфере рационального, надличностного перемены происходят гораздо медленнее. Трагедии Эсхила сейчас достаточно трудно воспринимать, не представляя контекста того общества и эпохи, сатиры Аристофана оценить почти невозможно – юмор стареет очень быстро. В то же время теорему о пересечении высот треугольника мы понимаем точно так же, как древние греки. Евклид знал, что утверждение верно, но не умел доказывать. Эйлер доказал и завещал соответствующий чертеж высечь на своем памятнике. Сейчас же это стало достоянием любого успевающего девятиклассника.

Книга, которую вы держите в руках, отражает важную часть той научной культуры, которая в течение многих десятилетий создавалась в Академии наук, в Вычислительном центре, который ныне носит имя академика А. А. Дородницына. Создание элемента научной культуры не является автоматическим или естественным процессом. Здесь необходимо сочетание личности, эпохи, коллектива, больших значимых задач, на которых этот коллектив мог вырасти. Личностью – творцом, генератором идей, без которого эта книга не могла бы появиться, был выдающийся математик, мыслитель, организатор науки академик Никита Николаевич Моисеев.

Немногие организации могут гордиться тем, что в их стенах работали исследователи, наложившие отпечаток на состояние умов и научные приоритеты своей эпохи. Немногие могут похвастаться тем, что сохранили и приумножили наследство, оставленное им выдающимся ученым. Вычислительный центр в этом ряду.

Один из основоположников теории самоорганизации – синергетики – в нашей стране, третий директор Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (ИПМ) член-корр. РАН Сергей Павлович Курдюмов часто говорил о важности научной культуры. "Таких организаций, как ВЦ и ИПМ, в мире единицы. Приложение математики, пусть даже со всеми компьютерами в придачу, к стратегически важным задачам, к большим значимым делам – это и наука, и искусство, и школа, и судьба. Такие организации надо беречь и развивать. Именно в них создается будущее, а не там, где доказываются теоремы, которые могут подождать сотню-другую лет", – говорил он. Важные работы, делавшиеся в институте, связанные с совершенствованием ядерного оружия, баллистическим сопровождением всех вошедших в историю советских космических проектов, с созданием основ системного программирования, робототехники, компьютерной графики, дистанционного зондирования заставляли именно так судить о роли прикладной математики в современном мире.

Никита Николаевич часто говорил в благополучные времена, что освоение, осознание и внедрение рекомендаций ученых позволило бы продвинуть страну более, чем выполнение очередного пятилетнего плана. Эти два замечательных человека были очень дружны, много лет были соседями, по многим вопросам развития науки и России высказывали схожие суждения и придерживались одинаковых принципов.

Имитационное моделирование – дитя компьютерной эры. Выдающийся математик ХХ века Джон фон Нейман, работая над расчетами атомной бомбы, обнаружил, что для расчета цепной реакции нет хороших, простых уравнений, описанных в курсах математической физики. Поэтому проще имитировать процесс, считая, что с вероятностью частица исчезает, с вероятностью – порождает одну частицу, – две и т. д. Чтобы "разыгрывать" такой процесс с соответствующими вероятностями можно не бросать кости или монету, а использовать компьютер. Так родился метод Монте-Карло, который связан с простейшими алгоритмами имитации, а с ним большой раздел прикладной математики, который развивается до сих пор.

Однако в новой ипостаси имитационное моделирование оказалось тогда, когда ученые начали исследовать сложные системы. Это могло быть производство или командование войсками, маневры космической группировки или лечение больного. О прогрессе компьютерных наук можно судить по тому, какие имитационные задачи им оказались посильны.

Пройденный путь огромен. Тест Тьюринга, предложенный основоположником компьютерных наук Аланом Тьюрингом в книге "Может ли машина мыслить" для искусственного интеллекта, был поразительно прост по сегодняшним меркам. Классик считал, что искусственный интеллект "состоится", если по ответам на дисплее нельзя будет сказать, кто ведет диалог с человеком – другой человек или компьютер. Множество компьютерных программ с легкостью проходят тест Тьюринга при беседах на общие или узкие профессиональные темы. И в последнее время почему-то кажется, что интервью и диалоги многих звезд шоу-бизнеса генерируется не самыми лучшими компьютерными программами.

Можно сказать, что сегодня имитация, в том числе и компьютерная, стала символом нашего времени. Подлинность, естество в дефиците, а симулякры, муляжи, фантомы преследуют на каждом шагу.

Эта глубокая и интересная книга обобщает опыт использования имитационных моделей в научной и образовательных сферах.

По сути, сегодня имитационные системы позволяют создать цельный, достаточно сложный и живущий своей жизнью мир. Но чтобы его выстроить, задав тысячи, а иногда и сотни тысяч параметров, определив сотни переменных и взаимосвязи между ними, построив интерфейс, позволяющий людям следить за событиями в этом зазеркалье, требуется высокая квалификация и огромный опыт. Зачастую это ближе к искусству, чем к рациональному, скрупулезному отражению каких-то черт нашей реальности. И, конечно, это огромная работа. Ее можно сравнить с постановкой огромного спектакля, в котором нужно не только представить декорации и роли действующих лиц, но и задать "правила игры", вместе с тем предоставив ее участникам большой простор для импровизации. Поэтому даже в жизни ведущих специалистов в данной области, посвятивших такой работе десятилетия, больших имитационных систем немного. В настоящее время исследования в этом направлении в ВЦ возглавляет ученик Н. Н. Моисеева, ведущий специалист в этой области в России, член-корр. РАН Ю. Н. Павловский.

Книга говорит сама за себя. Поэтому читатель сам узнает, как авторы строили одни из первых в России и мире модели исторических процессов, как создавали инструменты для моделирования вооруженных конфликтов и политических решений, какова роль имитационных систем в развитии и внедрении идей устойчивого (точнее, самоподдерживающегося, – sustainable) развития.

Книга издается в серии "Синергетика: от прошлого к будущему", которая с успехом выпускается издательством URSS с 2002 года. И глубокую, важную связь между современным имитационным моделированием и теорией самоорганизации – синергетикой, и стоит обсудить.

В самом деле, на первый взгляд, кажется, что эти подходы противоположны. В имитационном моделировании мы обычно имеем дело с большой, детально сконструированной системой, в которой детали, подробности, настройка параметров исключительно важны. Один неудачный "блок" может полностью испортить всю систему. Кроме того, имитационное моделирование сплошь и рядом порождает человеко-машинные системы, в которых компьютер "отыгрывает" действия одного человека или целой команды. И тут есть место для игры, импровизации, неожиданных парадоксальных решений игроков.

В синергетике акцент делается на самоорганизации, на возникновении упорядоченности в большой системе, на простоте, рождающейся из сложности, из огромного количества потенциальных возможностей. Поэтому одной из ключевых в синергетике является концепция параметров порядка – ведущих переменных, к которым в процессе самоорганизации подстраиваются остальные величины, характеризующие динамику сложной системы. К счастью, во многих важных случаях таких параметров немного, что открывает путь к пониманию исследуемых процессов, а соотношения между ними допускают подробное компьютерное, а то и аналитическое исследование.

На лекциях в МФТИ, которые читал С. П. Курдюмов, он иногда вспоминал единственную фразу Исаака Ньютона, которую тот счел необходимым зашифровать в виде анаграммы: "Полезно изучать дифференциальные уравнения". По мысли Сергея Павловича, такая фраза, связанная с синергетикой или нелинейной наукой, звучала бы примерно так: "Простые нелинейные модели важны и содержательны". В самом деле, именно они и дают во многих случаях понимание, которое и является конечной целью многих вычислений.

Кажется, что имитационные модели, учитывающие множество деталей, а то и решений, принимаемых игроками, которые их используют, и очень простые на этом фоне модели синергетики представляют собой противоположности. Может быть, это противоположные полюса в мире математических моделей?

Работа и с теми, и с другими моделями показывает, что это, скорее, две стороны одной медали. На эту неочевидную связь стоит обратить внимание.

Имитационные модели позволяют проверить, правильно ли мы понимаем процессы в исследуемом объекте, и выявить в различных конкретных случаях параметры порядка. Знание последних и дает возможность строить простые модели сложных явлений.

Один из важнейших вопросов в развитии науки – поиск "удобного объекта", динамика которого определяется исследуемыми закономерностями в наиболее "чистом" и "простом" виде. В классической механике это движение планет (впрочем, осознание того, что этот объект удобен, и путь к получению достаточно точных и достоверных данных потребовал у исследователей более 15 веков), мысленный эксперимент Галилея с бросанием шаров с Пизанской башни, движение шарика по наклонной плоскости. В генетике это наследование признаков мухами-дрозофилами и т. д.

На моделирование и поиск удобных объектов у современных исследователей нет ни веков, ни даже десятилетий. Но зато есть "искусственные миры", которые порождают имитационные системы. Анализируя их, можно увидеть те "модельные ситуации", где имеют место наиболее простые, ясные и важные взаимосвязи. Именно тут и стоит строить простые модели, дающие понимание определенных свойств объекта.

Поясним это несколькими простыми примерами. В настоящее время природные и техногенные риски стали серьезным фактором, влияющим на государственную политику (сюда следует добавить и террористические угрозы). Ждать бедствий и катастроф, чтобы потом извлекать уроки и принимать меры по предупреждению следующих бед, неразумно. Естественно было бы иметь имитационные модели для наиболее важных угроз. На основе их анализа можно было бы строить простые модели и методики, позволяющие парировать соответствующие опасности. И, конечно, хорошо бы было учитывать результаты анализа этих "виртуальных катастроф" так же серьезно, как опыт уже произошедших бед.

Инициативу проведения таких работ в связи с созданием национальной системы научного мониторинга опасных явлений и процессов в России выдвинули ИПМ, ВЦ и еще десяток академических институтов в 2001 году. Пока поддержку таких программ со стороны государственных органов можно назвать весьма скромной.

Сейчас это особенно очевидно. Привлечь внимание к надвигающемуся системному кризису мировой социально-экономической системы ряд ученых РАН пытались уже лет 5 – выступали, публиковали статьи, выпускали книги. И, конечно, призывали к построению моделей (в первую очередь имитационных), которые позволяли бы просчитывать последствия принимаемых решений хотя бы "на несколько ходов вперед". К сожалению, их голоса не были услышаны ни в то время, ни сейчас.

Еще один пример, казалось бы, далекий от компьютерного моделирования. Вспомним шахматы и военное искусство. На основе обобщения гигантского опыта удалось выделить "стандартные ситуации" и "принципы стратегии". Первые легли в основу дебютов и эндшпилей, вторые – в основу методик обучения и повышения уровня игроков, командиров, руководителей. Здесь путь от сложности и имитационного моделирования к "новой простоте" был успешно пройден. Создание шахматных программ, выигрывающих у чемпионов мира – свидетельство высокого уровня понимания, достигнутого в данной области (тут "понимаю, следовательно, могу формализовать").

Моделирование сложных систем требует построения иерархии математических моделей. Опыт реализации ряда больших проектов, связанных с моделированием климата, биосферы, вселенной, анализом систем вооружений, показал важные ограничения "компьютерной математики".

Выдающийся математик ХХ века Джон фон Нейман считал, с одной стороны, что после появления компьютеров многие важные задачи будут решены в течение нескольких лет (среднесрочный – на 2–3 недели – прогноз погоды, моделирование турбулентных потоков, описание самовоспроизведения, убедительный анализ биологической эволюции), а также полагал, что "искать общие свойства в поведении нелинейных систем так же неразумно, как строить теорию неслонов".

В обоих случаях он ошибался. Опыт показал, что не удается сложить модель сложных систем как мозаику, поручая отдельные "блоки" разным коллективам и исследователям, а затем "сшивая" все это воедино. Обобщая опыт ВЦ и других коллективов, академик Н. Н. Моисеев выдвинул концепцию построения иерархии упрощенных математических моделей. Вначале строится достаточно сложная и общая модель с большой областью применимости (в частности имитационная). Затем она упрощается с уменьшением и числа переменных, и, естественно, сферы приложений. Затем это делается еще и еще раз, до тех пор, пока не получатся модели, которые мы понимаем. И после этого начинается восхождение на новом уровне, с учетом достигнутого понимания к исходному объекту. Успехи ряда проектов, основанных на этой методологии, показывают ее большое значение. Там, где удается в полной мере пройти путь от имитации к простым моделям и от них вновь к имитации, научное знание и основанные на нем технологии моделирования приобретают новое качество.

Одним из ключевых результатов прикладной математики ХХ века стало понимание внутреннего единства множества нелинейных систем (сценарии перехода от порядка к хаосу, универсальный набор бифуркаций и катастроф и т. д.). Такое понимание оказалось очень важным. Оно показывает, чего можно ждать в сложных системах, а также какие объекты могут быть сконструированы на основе этого анализа простейших нелинейных сущностей.

Имитационное моделирование как ключ к новой образовательной реальности. Будущее мира определится, в конечном счете, системой образования и воспитания. В свое время, будучи в Аризоне, в университете г. Феникс, я поинтересовался, через сколько лет будущие медики, решившие получить специальность кардиохирурга, начнут сами оперировать на сердце. "В среднем через пятнадцать", – последовал ответ. Это почти предел. Значительная часть активной жизни проходит не в работе или творчестве, а в освоении сделанного предшественниками. Во многих сферах человечество подошло к образовательному барьеру – к невозможности за разумный срок и при приемлемых вложениях подготовить специалистов, способных поддерживать или развивать существующие технологии. Это важнейшая проблема экономики знаний, инновационного пути развития и прочих траекторий, связанных с высокими технологиями. Можно сделать значительную часть работы по поддержанию функционирования общества примитивной, доступной недоучившемуся школьнику или студенту. Но без творцов все равно не удастся обойтись.

И здесь имитационному моделированию может принадлежать важнейшая роль. В самом деле, сейчас невозможно представить себе обучение пилота без первоклассных тренажеров, без компьютерной поддержки, позволяющей "проигрывать" самые разные ситуации, с которыми он может столкнуться в воздухе. А управление городом? Регионом? Страной? Развитием человечества, в конечном счете? Эта деятельность не менее ответственна и цена ошибки тут может быть гораздо выше. И тут должны быть системы, с которыми будущие руководители будут набираться опыта. Дело в том, что мы сегодня не представляем в должной степени, чему и как следует учить, что должно "остаться, когда все выученное забыто". Остается опыт. Имитационные системы могут многократно ускорить его наработки.

Авторы – большие энтузиасты такого подхода к делу образования. Их имитационная система в течение многих лет используется в Российском химико-технологическом университете им. Д. И. Менделеева. Работая с этой программой, студенты осваивают стратегию и политику устойчивого развития.

Но этого мало! Система такого типа должна была бы жить, развиваться, вбирать опыт экспертов, учитывать ее использование студентами, идти вровень с быстро меняющимся миром. С грустью приходится констатировать, что этого пока нет.

В 1971 году американский исследователь Дж. Форрестер предложил модель развития города и мирового сообщества. Вторая модель вошла в учебники, получила развитие, сыграла важную роль в изменении алгоритмов развития человечества. Она гораздо проще и наглядней "городской", которая должна была бы явиться имитационной в полном смысле этого слова. Но мир у нас один, а городов много. Поэтому крайне полезно было бы научить будущих градоначальников, министров, многих других руководителей, принимающих решения в данной сфере, сначала научить обращаться с "игрушечным" городом или регионом. Эта идея должна стать очевидной очень многим. И с этой точки зрения выход данной книги очень важен.

За этим должен был бы следовать серьезный этап анализа. Не только "разбор полетов" для учащихся с выявлением "критических ситуаций", "удачных стратегий", "когнитивных тупиков". И тут синергетика, активно ищущая в последние годы принципы и механизмы самоорганизации в пространстве информации, знаний, стратегий может оказаться очень полезной.

Важность всего этого сейчас явно недооценивается. Опыт преподавания в Академии государственной службы при Президенте РФ, куда группа энтузиастов из академических институтов, развивающих идеи синергетики, пришла вместе с С. П. Курдюмовым, наводит на грустные размышления. Имитационные системы – прекрасные средства для достижения многих важных значимых целей (в частности в образовании). Но сначала эти цели должны быть поставлены... И для того, чтобы эти цели начали продумываться руководителями, преподавателями, учеными, настоящая книга может быть очень полезна.

Достигая своих целей, человечество обратилось к технике и создало "вторую природу", облегчившую взаимодействие с "первой" и ее использование. Сейчас создается развитая информационная сфера, включающая связь, мониторинг, анализ, поддержку принятия решений – "третья природа". Именно она облегчает взаимодействие с первой и второй, экономит наши усилия и снижает риски. И здесь имитационное моделирование в образовательной, научной, управленческой сферах играет огромную роль. Эта роль пока недооценивается. Но кризис – хороший учитель.

Многое может быть сделано. Но это требует профессиональной коллективной работы. И тогда результаты многократно окупят вложенные усилия.

Пожалуй, стоит привести еще один пример, позволяющий "приземлить" обсуждаемую проблему и показывающий, что имитационное моделирование сегодня является важнейшей частью многих высоких технологий. В Австралии имеет место своеобразный культ медицины – многоступенчатая система аттестации врачей, вынуждающая последних постоянно повышать квалификацию.

Для уже практикующих врачей – терапевтов используется, к примеру, такой прием. Неожиданно бригаде из троих (обычно ранее незнакомых врачей) предлагается "поддержать жизнь" в манекене, имитирующем тяжелое заболевание или травму в течение 45 минут. Степень имитации очень высока, здесь можно мерить давление, пульс, снимать кардиограмму, брать анализы, колоть уколы. Имитатор максимально приближен к реальности. Его основа – компьютерная программа имитации состояния больного, воспринимающая действия врачей и адекватно реагирующая на них. Задание подобрано так, что один человек, даже мгновенно разобравшись в ситуации и умея все необходимое, сам с ситуацией не справится. Нужна коллективная работа. От такого теста напрямую зависит оценка квалификации врача и его будущая профессиональная траектория.

Полагаю, что такой полномасштабный имитатор очень дорог. Но австралийцы считают, что жизни людей, попавших в беду, намного дороже. И, наверно, они правы. Развитие имитационного моделирования – огромный ресурс в области образования, исследований, высоких технологий. Осталось лишь начать его использовать в России в значимых масштабах.

Анализ и моделирование принимаемых решений. Важнейшие успехи имитационного моделирования связаны с пониманием и анализом того, как действуют субъекты. В ВЦ были проведены имитационные игры, касающиеся Карибского кризиса, взаимодействия геополитических субъектов, другие работы. Это результат ежедневной многомесячной работы коллектива талантливых людей. В ходе этой работы оказалось, что ошибки, допускаемые игроками, "ловушки", которые их поджидают, и комбинации, которые разыгрывают партнеры со схожими интересами, поразительно схожи, независимо от того, действуют ли реальные политики, профессора или студенты. Эти игры, организованные по инициативе Н. Н. Моисеева, стали частью научной культуры ВЦ и Академии.

На мой взгляд, подобных исследований остро не хватает в нынешней кризисной и для России, и для мира ситуации. Казалось бы, естественно, чтобы ученые думали и искали пути, не позволяющие кризису перерасти в катастрофу. Многие аналитики сравнивают нынешнюю конфигурацию на мировой шахматной доске с 1910 годом – 4–5 лет до возможной большой войны. И тут научный анализ мог бы очень пригодиться лицам, принимающим решения.

И вновь мы имеем дело с синергетикой и самоорганизацией. Казалось бы, поле возможных решений огромно. И тот ход можно сделать, и этот, и на одни факторы обратить внимание, и на другие. Но... давайте вспомним азы психологии. Человек может принимать во внимание динамику 5–7 величин, медленно меняющихся во времени. Он может принять во внимание, продумывая решение, не более 5–7 факторов (к сожалению, мы не оперируем в пространстве более высокой размерности). Конкретно мы можем эффективно взаимодействовать не более, чем с 5–7 людьми. Как же нам удается действовать в нашем сложном, быстро меняющимся мире?

И вновь ключ к ответу – самоорганизация. На этот раз в пространстве информации, знаний, стратегий, решающих правил или, как говорят в синергетике, субъективная самоорганизация.

Имитационное моделирование показывает, что было решено и к каким последствиям это привело. Синергетика или другие подходы, используемые в теории принятия решений, показывают, как это было сделано. Опыт моделирования решений действующего врача, накопленный в ИПМ, показывает, что и здесь есть и своя логика, и своя простота, и понимание, которое может быть формализовано и использовано в системах поддержки принятия решений.

Хочется надеяться, что для многих – студентов, аспирантов, исследователей, инженеров – эта книга откроет огромную интереснейшую область, где есть место для синтеза, где сочетание разных подходов может открыть двери в сказку и принести новое знание о природе, человеке, обществе. Сейчас такое знание было бы особенно важно.

Н. Н. Моисеев и С. П. Курдюмов были большими оптимистами, считая, что культура ВЦ и ИПМ не только разовьется, но вновь окажется значимой и для России, и для мира. Хочется, чтобы их надежды оправдались.

Из введения

Книга посвящена обсуждению проблемы разработки и внедрения технологий, объединяющих математические и гуманитарные средства при исследовании сложных систем (процессов, явлений). В ней рассматривается один из способов такого объединения. Он состоит в составлении математической модели некоторой системы из интересующего нас класса систем (процессов, явлений), выполнении прогноза и анализа свойств этой системы математическими средствами, а затем в повторном гуманитарном анализе того класса систем, к которому относится подвергшаяся математическому моделированию система. Составлению всякой математической модели некоторой системы (процесса, явления) предшествует его анализ на гуманитарном уровне, поскольку нужно "понимать" то, что подвергается моделированию. Поэтому к схеме "гуманитарный анализ" "построение модели" "анализ результатов моделирования", которая всегда реализуется при использовании математических средств анализа и прогноза, предлагается добавить еще один элемент. В результате схема примет вид "гуманитарный анализ" "построение модели" "анализ результатов моделирования" "гуманитарный анализ". Существенно то, что при повторном гуманитарном анализе используются понятия и представления, возникшие в процессе математического моделирования. Это позволяет "выйти" за пределы возможностей математического моделирования, т. е. получить прогноз развития системы и ее свойств, который нельзя получить математическими средствами, с одной стороны, а с другой – позволяет по-новому взглянуть на изучаемую систему на гуманитарном уровне. Класс систем, которые можно анализировать таким способом, расширяется. Однако выводы о значениях прогнозируемых характеристик и свойствах анализируемых систем становятся более "расплывчатыми", "приближенными", "ориентировочными". Но при этом возникает новое видение исходной системы.

Попробуем объяснить некоторые употребленные термины. Эти объяснения будут носить гуманитарный характер. Однако трактовки содержания объясняемых терминов будут более узкими, чем в обычном словоупотреблении. В процессе объяснений возникнут новые термины, которые также будут поясняться. В этих пояснениях могут появляться возникшие ранее термины. Тем самым будет возникать языковая среда, используемая в книге. Читателю предлагается принять к сведению словосочетание языковая среда, которое далее будет появляться неоднократно, так что в некоторый момент семантика этого словосочетания, как надеются авторы, станет достаточно ясна.

Если кто-то правильно прогнозирует свойства, характеристики некоторой системы (процесса, явления) и этот факт достоверно установлен, то это означает, что в его распоряжении имеется (адекватная в определенном отношении) модель этой системы, которая включает в себя совокупность понятий, характеристик, описывающих систему, отношения между ними, а также процедуры измерений характеристик.

Формы, в которых адекватные модели существуют (реализуются), могут быть различны. Тот, кто правильно прогнозирует развитие некоторого процесса, может не иметь никакого представления о том, как он это делает. В этом случае форму реализации модели, с помощью которой осуществляется прогноз, нельзя "передать" кому-либо для использования. Математическое моделирование является одной из форм, позволяющих создавать адекватные модели, причем эти модели можно объяснить всякому, кто обладает достаточным уровнем образованности (другими словами, владеет необходимыми для этого языковыми средами). Приведем несколько цитат известных ученых, имеющих отношение к обсуждаемым проблемам:

"Математики изучают не предметы, а лишь отношения между ними; поэтому для них безразлично, будут ли одни предметы замещены другими, лишь бы только не менялись их отношения" (А. Пуанкаре) [57].

"Когда мы говорим о системе понятий, мы имеем в виду просто-напросто однозначное логическое отображение соотношений между опытными данными. Это понятно также и в свете исторического развития, в ходе которого перестали резко отличать логику от семантических исследований и даже от филологического синтаксиса. Математика, так решительно содействовавшая развитию логического мышления, играет особую роль; своими четко определенными абстракциями она оказывает неоценимую помощь при выражении стройных логических зависимостей. Тем не менее в нашем обсуждении мы не будем рассматривать чистую математику как отдельную отрасль знаний; мы будем считать ее скорее усовершенствованием общего языка, оснащающим его удобным средством для отображения таких зависимостей, для которых обычное словесное выражение оказалось бы неточным или слишком сложным. В связи с этим можно подчеркнуть, что необходимая для объективного описания однозначность определений достигается при употреблении математических символов именно благодаря тому, что таким способом избегаются ссылки на сознательный субъект, которыми пронизан повседневный язык" (Н. Бор) [7].

"Сейчас решению линейных и квадратных уравнений обучают в средней школе. Но пока не появились буквенные обозначения, знаменитые a, b и c, все квадратные уравнения записывались словами. Представьте, что квадратное уравнение записывается так: "возьми известное количество, два раза умноженное на неизвестное количество, добавь к этому второе количество, умноженное на неизвестное количество, добавь к этому третье известное количество, в сумме получишь ничто". Вот вам такая задачка, и будьте любезны найти это неизвестное количество. Древние египтяне имели дело с этой задачей именно в такой формулировке. Они не использовали появившиеся значительно позже правила алгебраических преобразований. Правда, учили этому много лет". Этот пример в какой-то мере иллюстрирует полезность перехода в ряде случаев от гуманитарного описания проблемы к формальному математическому описанию [18].

Все математические модели, которые составляются и изучаются в этой книге, являются совокупностью соотношений между характеристиками изучаемой системы (процесса, явления). Характеристики, присутствующие в модели (т. е. в ее соотношениях), разбиты на две части: внешние и внутренние. Внутренние характеристики – это те, которые желают узнать, обращаясь к средствам математического моделирования. Внешние характеристики – это те, от которых внутренние зависят, но обратная зависимость в пределах необходимой точности не имеет места. Модель обладает свойством давать прогноз внутренних характеристик, если при известных внешних характеристиках внутренние характеристики можно определить (вычислить) из соотношений модели. Такие модели в настоящей книге будут называться "замкнутыми".

Факт независимости внешних характеристик от внутренних будет называться гипотезой об инвариантности, лежащей в основе модели. Процесс определения внешних характеристик, необходимый для получения прогноза значений внутренних характеристик модели, называется ее идентификацией или калибровкой. Не все системы (процессы, явления) поддаются адекватному математическому моделированию. В настоящей книге те системы (процессы, явления), для которых существуют (общепризнанные) адекватные математические модели, будут называться простыми. Те системы (процессы, явления), для которых таковых не существует, однако их адекватный прогноз могут осуществлять "имеющие с ними дело" специалисты (эксперты), будут называться сложными. Методы (не являющиеся математическими), использующиеся такими специалистами для прогноза поведения сложных систем, будут называться гуманитарными. Мы не будем пока вдаваться в более подробные объяснения, что такое "гуманитарные" методы анализа и прогноза. Пояснения по этому поводу будут даны ниже. Обратим внимание читателя на то, что введенные понятия (внешние и внутренние характеристики математической модели, соотношения модели, гипотеза об инвариантности, лежащая в основе модели, замкнутая модель, простые и сложные системы, процессы, явления) вместе с пояснениями их содержания являются элементами формируемой в книге языковой среды. В данном месте изложения для более подробных пояснений содержания понятия "гуманитарные методы анализа и прогноза" отсутствуют необходимые элементы формируемой языковой среды, которые появятся позже. В этой языковой среде применение средств математического моделирования можно трактовать как изучение "простого" в реальных системах (процессах, явлениях), гуманитарных методов – как изучение "сложного" в них.

Предложенное деление систем на простые и сложные не является исчерпывающим. Имеются системы (процессы, явления), которые не поддаются адекватному прогнозу ни математическими, ни гуманитарными средствами. Кроме того, граница между "простыми" и "сложными" системами (процессами, явлениями) не является неподвижной. Факт "вторжения" математических средств в историю, экономику, социологию, медицину очевиден: математическому моделированию, которое совершенствует свои инструменты, становится доступен все более точный прогноз все более сложных систем, т. е. в соответствии со смыслом понятий "простые" и "сложные" системы, определенном выше, тех, которые ранее были им недоступны. Можно сказать и так: развитие математического моделирования превращает "сложное" в "простое", конечно, в том понимании этих терминов, которое определено выше и которое отличается от общеупотребительного смысла этих понятий.

Менее очевиден "обратный" процесс: вторжение гуманитарных методов анализа и прогноза в математические. Чем сложнее система, тем лучше должно быть исходное представление о ней, т. е. ее "понимание" (см. выше), для того чтобы составляемая модель была адекватна. Это "понимание", естественно, является "гуманитарным". Обратим внимание на то, что термин "гуманитарное" тем самым обладает еще одним оттенком содержания, не вполне совпадающим с тем его содержанием, которым оно было наделено выше (как способность давать правильный прогноз развития процессов без использования математических средств).

Авторы книги считают, что имеются отношения "двойственности" (дополнительности) между математическими и гуманитарными средствами анализа и прогноза систем, процессов, явлений. Другими словами, математические и гуманитарные средства анализа и прогноза систем, процессов, явлений друг без друга не существуют и друг друга обеспечивают. Проиллюстрировать это утверждение на данном этапе изложения авторы могут, только обращаясь к художественным средствам. Например, "... какая сказка без обмана, какая Марья без Ивана... " или "... Без меня тебе, любимый мой, лететь с одним крылом". Но если высказанное положение верно, т. е. такая двойственность имеет место, то технологии, объединяющие математические и гуманитарные средства анализа и прогноза систем, процессов, явлений, не только возможны, не только необходимы, но фактически, без явного осознания этого факта, используются. В любом случае, как говорилось выше, математическому моделированию предшествует гуманитарное "осмысление" того, что моделируется.

Авторы надеются, что книга в своей главной части будет доступна не только специалистам по математическому моделированию, т. е. лицам, владеющим в некотором объеме тем, что называют "математическим аппаратом", но и специалистам гуманитарного профиля. Поэтому сейчас будет представлено короткое введение в математическое моделирование. Все объяснения будут основаны на двух примерах математических моделей. Первый пример настолько прост, что его изложение может быть воспринято как издевательство над читателями. Тем не менее советуем ознакомиться с ним, поскольку далее мы будем несколько раз на него ссылаться. Приводимые примеры, в частности, иллюстрируют введенные выше понятия: внутренние характеристики, внешние характеристики, замкнутая (т. е. способная давать прогноз внутренних характеристик) модель, гипотеза об инвариантности, лежащая в основе модели.

Об авторах

Белотелов Николай Вадимович

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Вычислительного центра Российской академии наук (ВЦ РАН), автор более 60 научных работ, в том числе 5 монографий и учебных пособий. Область научных интересов — моделирование сложных систем, моделирование экологических и социально-экономических систем, нелинейные дифференциальные уравнения и теория бифуркаций. В течение последних лет вел учебные курсы математического и компьютерного моделирования в МФТИ и в МГУИЭ.

Бродский Юрий Игоревич

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ВЦ РАН, автор более 70 научных работ, в том числе 9 монографий и учебных пособий. Область научных интересов — моделирование сложных систем, инструментальные средства имитационного моделирования, моделирование социальных систем, распределенные вычисления, оптимальное управление. В течение последних лет вел учебные курсы математического и компьютерного моделирования в МГТУ им. Н. Э. Баумана и в МПГУ.

Павловский Юрий Николаевич

Главный научный сотрудник ВЦ РАН, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН. Специалист в области группового анализа дифференциальных уравнений, теории управления, исследования операций, имитационного моделирования. Лауреат премии Совета Министров СССР. Автор более 140 научных публикаций, в том числе 10 монографий.