URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Дворяткина С.Н., Ляхов Л.Н. Лекции по классической теории вероятностей
Id: 166604
 
219 руб.

Лекции по классической теории вероятностей. Изд.2, испр. и доп.

URSS. 2013. 184 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-03422-7.

 Аннотация

Настоящее учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями, предъявляемыми квалификационной характеристикой ФГОС ВПО по направлению подготовки "Техника и технологии" (УГС 090000, 200000--230000). Пособие предназначено для закрепления теоретических знаний по курсу "Теория вероятностей" дисциплин математического и естественно-научного цикла.

В основе данного курса лекций лежит классический подход, заключающийся в представлении материала с нарастающей глубиной заключений, что обеспечивает одновременно и высокий научный уровень, и простоту его восприятия. Вводимые понятия объяснены с точки зрения истории развития вопроса, что делает чтение лекций увлекательным занятием.

Пособие предназначено для преподавателей, студентов и аспирантов физико-математических, информационных, технологических, инженерных и других специальностей.


 Оглавление

Предисловие
Введение
1. Случайные события и их вероятности
 § 1.Пространство элементарных исходов
 § 2.Алгебра событий
  2.1.Равновозможные исходы. Классическая вероятность
  2.2.Применение элементов комбинаторики
  2.3.Геометрическая вероятность
  2.4.Статистическая вероятность
 § 3.Аксиоматика теории вероятностей
 § 4.Условные вероятности. Независимость
  4.1.Условная вероятность и теоремы умножения
  4.2.Независимость событий
  4.3.Формула полной вероятности и формулы Байеса
 § 5.Последовательность испытаний
  5.1.Понятие цепи Маркова
  5.2.Схема испытаний Бернулли
  5.3.Предельные теоремы в схеме испытаний Бернулли
2. Случайные величины и функции распределения
 § 6.Случайные величины
  6.1.Функция распределения вероятности
  6.2.Плотность распределения вероятности
 § 7.Числовые характеристики случайных величин .
  7.1.Математическое ожидание
  7.2.Моменты. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
  7.3.Мода. Медиана
 § 8.Наиболее известные законы распределения
  8.1.Равномерное распределение
  8.2.Нормальное или гауссовское распределение
  8.3.Биномиальное распределение
  8.4.Показательное распределение
 § 9.Системы случайных величин
  9.1.Понятие системы случайных величин
  9.2.Функция распределения системы Х[2]
  9.3.Плотность вероятности системы Х[2]
  9.4.Зависимые и независимые случайные величины
  9.5.Моменты, математическое ожидание и дисперсия системы Х[2]
  9.6.Ковариация случайных величин. Коэффициент корреляции
 § 10.Предельные теоремы теории вероятностей
  10.1.Неравенство Чебышева
  10.2.Теорема Чебышева
  10.3.Закон больших чисел
  10.4.Усиленный закон больших чисел
3. Элементы теории случайных процессов
 § 11.Введение в теорию случайных процессов
  11.1.Определение случайного процесса
  11.2.Классификация случайных процессов
 § 12.Математический аппарат дискретных марковских цепей
  12.1.Классификация марковских случайных процессов
  12.2.Вероятностные характеристики цепей Маркова
  12.3.Примеры цепей Маркова
  12.4.Классификация состояний цепей Маркова
  12.5.Предельная теорема для конечных цепей Маркова
 § 13.Дискретный случайный марковский процесс
  13.1.Вероятностные характеристики марковских процесов
  13.2.Система дифференциальных уравнений Колмогорова
  13.3.Эргодические свойства однородных марковских случайных процессов
  13.4.Пуассоновский процесс
  13.5.Процесс чистого рождения
  13.6.Процесс рождения и гибели
ДОПОЛНЕНИЕ 1
 Delta-распределение Дирака
 Дифференцирование распределений
ДОПОЛНЕНИЕ 2. ТАБЛИЦЫ
 Значения плотности нормального распределения
 Значения функции нормального распределения
 Значения плотности распределения Пуассона
 Значения плотности и функции показательного распределения
Список литературы

 Предисловие

Настоящий курс лекций возник из желания авторов создать краткий лекционный курс по теории вероятностей, который обладал бы классической безупречностью, классической строгостью и, одновременно, краткостью, позволившей читать этот курс не только на математических и физических факультетах. Разумеется, коротко и подробно -- не бывает. Но некий компромисс, на мой взгляд, достигнут по следующей причине. Используется терминология теории функций действительного переменного, обычно редко применяемая для чтения лекций студентам откровенно не математических специальностей вузов. В результате курс лекций обладает необходимой строгостью. Добиться же его понимания неподготовленной аудитории, даже дав все необходимые определения, практически невозможно, по крайней мере потребуется дополнительное время. Поэтому в курсе не только приводятся простые (даже в некоторых случаях -- "бытовые") пояснения, но и объясняется сама необходимость введения соответствующих математических терминов и понятий. Такой подход должен сделать курс не только "для знающих", но и легко читаемым и понятным для аудитории, имеющей уровень математической подготовки технических, технологических и инженерных специальностей академий и университетов.

Предлагаемый курс лекций содержит интересные исторические сведения, не приведенные или мало приводимые в широко используемой учебной литературе. Это позволяет надеяться, что он окажется интересным для студентов и полезным для преподавателей.

Авторы выражают глубокую благодарность научному редактору А.В.Глушко и рецензентам: Г.И.Лозгачеву, С.В.Щербатых, взявшим на себя труд по ознакомлению с рукописью, сделавших ряд полезных и ценных замечаний. В техническом оформлении книги большую и неоценимую помощь нам оказал С.О.Собченко, и авторы ему очень благодарны.

Л.Н.Ляхов

 Введение

Лишь случай -- закон, а закон всегда случаен.
Эрих Мария Ремарк

При исследовании многих проблем, научных, социальных, производственных, военных и даже бытовых, часто приходится встречаться с особым типом явлений, которые принято называть случайными. Примерами таких случайностей могут служить траектории полета самолетов, случайные появления преград на железнодорожных путях, случайные отказы навигационных приборов и прочие. Случайность -- это альтернатива закономерности. Закономерные (или детерминированные) явления изучаются в рамках классических научных теорий. Возникает вопрос, можно ли изучать случайности? Согласно логике и теории познания ответ очевидный -- конечно, нет. Интуиция и угадывание исключаются. Ответ неочевидный -- можно, но только в том случае, когда в случайностях присутствует закономерность.

Теория вероятностей -- математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Базовым понятием этой теории является событие -- всякий исход некого опыта (испытания), наблюдаемого исследователем. Классическими примерами являются события из области азартных игр (игры в монетку, кости, карты) -- выпадение любой грани игральной кости, выпадение "орла" или "решки" и другие. Меры случайных событий, применяемые на бытовом уровне, хорошо известны (шанс, возможность, процент удачи, все равно и др.) Мерой события на математическом языке является вероятность. Это одна из числовых характеристик возможности появления случайного события, которая меняется от 0 до 1. Известны испытания, поставленные в одних и тех же условиях, которые всегда приводят к определенному событию (подброшенный камень всегда падает на землю). Такие события называются достоверными и их вероятность равна 1. А известны опыты, которые показывают, что события никогда не наступят (монета, брошенная на стол, никогда не станет на ребро). Такие события называются невозможными, и их вероятность равна 0. Таким образом, случайные события всегда лежат между двумя крайностями -- быть достоверными и невозможными, следовательно, их вероятностная мера лежит между 0 и 1.

Вопросы вероятностного характера возникали во многих сферах человеческой деятельности. Но главным стимулом развития теории вероятностей служили задачи, которые возникали в статистике, практике страховых обществ, при обработке результатов астрономических наблюдений. Большинство первых задач теории вероятностей было связано с азартными играми. Сегодня эти задачи не представляют никакой практической значимости, но с методической точки зрения -- актуальны и полезны, так как позволяют избежать ошибок при построении вероятностных моделей и изучении вероятностных характеристик. В XVII веке появляются изящные решения отдельных задач, связанных с исследованием вероятности появления одного из равновозможных, исключающих друг друга событий. Самые простые примеры таких равновозможных событий дают игры в монетку, игральную кость, карты. Поэтому выделение в опыте (игре, процессе) набора простейших (элементарных) равновозможных исходов оказывалось наиболее важным, поскольку они сразу дают вероятность в виде величины обратной количеству всех равновозможных исходов. Но как оказалось, вопрос о равновозможности не обязательно простой. Наиболее поучительной и хорошо описанной в современной литературе является задача де Мере [2], (обобщения и многие тонкости которой можно найти в книге Ю.Неймана [13]). История этой задачи такова. В конце семнадцатого века один французский вельможа шевалье де Мере (известный своим современникам как любитель азартных игр, и в частности, игры в кости), заинтересовался математическими возможностями прогнозирования удачных ставок. Он заметил, что при бросании трех игральных костей комбинация, дающая в сумме 11 очков, появляется чаще, чем 12, хотя вероятность появления обеих сумм казалась ему одинаковой, поскольку и ту, и другую комбинации можно получить одним и тем же числом способов:

11 = 6 + 4 + 1 = 6 + 3 + 2 = 5 + 5 + 1 =
= 5 + 4 + 2 = 5 + 3 + 3 = 4 + 4 + 3;
12 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 5 + 5 + 2 =
= 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4.

Проведя длинную серию опытов и убедившись, что его математические рассуждения не согласуются с эмпирическими выводами, де Мере шлет гневное послание своему современнику, знаменитому философу, математику и механику Б.Паскалю (1623--1662), где обвинил науку и ученых в полной оторванности от мира и бессмысленности научного труда.

Влез Паскаль решил эту загадку следующим образом. Он предположил, что при бросании игральных костей комбинации очков (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), где а, b, с -- фиксированные числа, следует считать разными и равновозможными, т.е. равновероятными следует считать (взаимоисключающие) исходы, описываемые упорядоченными тройками чисел, а не исходы, описываемые просто тройками чисел, как это предполагалось в (*). Ясно, что если верно предположение Б.Паскаля, то количество комбинаций выпавших очков на трех игральных костях, определяемых тремя фиксированными числами, зависит от количества неодинаковых цифр в этой тройке. Например, комбинация из цифр 6,4,1 может выпасть 6 различными способами: (6,4,1), (6,1,4), (1,4,6), (1,6,4), (4,1,6), (4,6,1); из набора цифр, содержащих две одинаковые цифры -- 3 способами, например: (5,5,1), (5,1,5), (1,5,5); и наконец, набор, содержащий все одинаковые числа, например, (4,4,4), может выпасть только одним способом. Теперь мы предоставим читателю возможность пересчитать в (*) количество различных "равновозможных" исходов для суммы 11 и для суммы 12. Результат, соответственно -- 27 и 25, что и позволило Б.Паскалю объяснить парадокс де Мере.

Из этой истории мы должны сделать два очень важных вывода.

Первый: для одной задачи можно построить различные "вероятностные модели ", и в каждой модели будут получены неодинаковые ответы на один и тот же вопрос. При этом совершенно необходимо ответить и на другой вопрос: какая из этих "моделей" справедлива (или справедливее) с точки зрения теории вероятностей? Этим и обусловлено то, что современные курсы теории вероятностей начинаются с построения "вероятностного пространства" или некоторой вероятностной модели, в рамках которой справедливы соответствующие результаты исследования данной вероятностной задачи.

Второй: случайные события и случайные процессы подчинены неким объективным законам, которые удается наблюдать только при достаточно большом количестве опытов. Эти законы такие же объективные, как закон всемирного тяготения или закон сохранения энергии, массы, вещества и т.д.

Второй вывод, по-видимому, сделали многие ученые, волей судьбы вынужденные заниматься задачами "о возможности". Примерами таких задач являлись задачи о подсчете количества исходов при бросании игральных костей, задачи о разделении ставки между двумя игроками, если игра прерывалась до выигрыша одним из игроков и др. Так число различных исходов при бросании трех игральных костей было впервые определено в 965 году французским епископом В.Виболдом, но результатам опыта он придавал религиозную трактовку. Первое решение задачи о разделении ставки между двумя игроками предложил Лука Пачоли в 1494 году. Частные случаи правильного решения этой задачи были предложены позже Дж.Кардано (1501--1575). Следует упомянуть, что Дж.Кардано и Н.Тарталья были правильно решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением того или иного числа очков. Однако верное решение задачи о разделении ставки игроков и описанного выше парадокса де Мере было впервые найдено в 1654 году Б.Паскалем (1623--1662) и П.Ферма (1601--1665) в ходе их знаменитой переписки. Наиболее же полный анализ задачи был проведен Г.Галилеем (1564--1642) в работе "Рассуждения об игре в кости" (опубликованная только в 1718 г.). Дальнейшее формирование основ теории вероятностей, основных ее методов и теоретико-вероятностных понятий осуществлялось при исследовании частных задач и вопросов в практике статистики и страхования в работах Э.Галлея (1656--1742 гг.), Х.Гюйгенса (1629--1695), Д.Граунта (1620--1674), В.Петти (1623--1687).

Новый этап в истории теории вероятностей начался с исследований Я.Бернулли (1654--1705). Основополагающие открытия в области теории вероятностей были изложены в работе "Искусство предположений" (1713 г.), где он доказывает первую предельную теорему (закон больших чисел), которая в дальнейшем послужит основой всех исследований о закономерностях появления случайных событий в массовых явлениях. Тем самым теория вероятностей получила важное практическое приложение и стала отдельной научной дисциплиной. Название новой науки впервые было предложено Паскалем, а в употребление вошло в 1718 году в связи с изданием книги Муавра "Учение о случаях". Непосредственным развитием закона больших чисел Я.Бернулли являются предельные теоремы, доказанные А.Муавром (1667--1754). К основным заслугам А.Муавра в области теории вероятностей можно также отнести вывод нормального закона распределения и разработку на основе азартных игр аналитического аппарата -- теории возвратных последовательностей, которая была продолжена Л.Эйлером, Ж.Лагранжем и П.Лапласом.

"Классический" этап развития теории вероятностей завершается работами П.С.Лапласа (1749--1828). Были заново доказаны предельные теоремы, получены важные результаты в теории ошибок наблюдений, которые нашли широкие приложения в обработке результатов экспериментов. Но, справедливости ради, надо отметить, что в естествознании по-прежнему господствовали теории, порождаемые исследованием дифференциальных уравнений, а не вероятностные методы.

Классическая вероятность посвящена изучению множества событий, которые можно представить как объединение некоторого набора равновозможных и взаимоисключающих друг друга событий. Основные законы классической теории были открыты к середине XIX века, но оставался главный вопрос, имеет ли эта наука практическое применение. То, что теория вероятностейматематическая наука с огромными приложениями в физике, химии, генетике, биологии, социологии, медицине, экономике, стало ясно лишь в начале XX века, благодаря усилиям русских ученых П.Л.Чебышева (1821--1894), А.А.Маркова (1856--1922), А.Н.Колмогорова (1903--1987) и др.

П.Л.Чебышев ввел в рассмотрение случайную величину, доказал закон больших чисел в общей форме. А.А.Марков продолжает работу своего учителя П.Л.Чебышева. Он восполнил пробел в доказательстве основной предельной теоремы, тем самым дал полное и строгое доказательство этой теоремы в общих условиях, доказал предельные теоремы для последовательности зависимых величин, что привело к схеме "испытаний, связанных в цепь" (теория цепей Маркова). А.Н.Колмогоров построил систему аксиоматического обоснования теории вероятностей. Аксиоматический подход позволил распространить методы равновозможных на произвольные события и в ряде случаев объяснить, каким образом можно получить разные ответы одной задачи. Кроме того, А.Н.Колмогоровым введена аксиома непрерывности, позволившая рассматривать бесконечное (счетное) число исходов.

Надо отметить, что некоторые теоремы теории вероятностей весьма необычны по сравнению со всеми утверждениями других математических дисциплин. Несколько иронизируя, можно сказать, что теория вероятностей содержит утверждения, справедливые с некоторой вероятностью, в то время как другие математические дисциплины содержат утверждения, справедливые с вероятностью либо 1, либо 0. Выступая в московском математическом обществе, известный американский математик Дж.Дуб заметил в этой связи: "Всем специалистам по теории вероятностей хорошо известно, что математика представляет собой часть теории вероятностей" [11]. Далее читатель увидит, что с точки зрения "закона больших чисел" эта шутка выглядит всего лишь "некоторым преувеличением".

Сегодня теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований, которые представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес.

Основные объекты изучения теории вероятностей:

1) случайное событие и его вероятность;

2) случайная величина и функции распределения;

3) случайный процесс и его вероятностная характеристика.

В данном пособии рассматриваются эти три части, разумеется, лишь в рамках программы для технических специальностей университетов и технологических вузов. При составлении учебного пособия использовались известные учебники "Курс теории вероятностей" В.П.Чистякова [19], "Курс теории вероятностей и математической статистики" Б.В.Севастьянова [16] и классический учебник по теории вероятностей для математических специальностей университетов и педагогических институтов "Курс теории вероятностей" Б.В.Гнеденко [4]. В настоящем пособии используются delta-функционалы Дирака для задания плотности случайных величин, заданных дискретно. В связи с тем, что теория функционалов не входит в программу многих технических вузов, в приложении 2 дается краткое описание delta-функционалов Дирака и производных от разрывных функций (типа функций Хевисайда) на языке функционалов.

В заключении хотелось бы отметить, что сегодня вопрос изучения случайностей предстает во всей ясности как завещание целой эпохи. Его решение является и исходной точкой, и перспективой -- задачей для будущих поколений.


 Об авторах

Светлана Николаевна ДВОРЯТКИНА

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. После окончания университета преподавала на кафедре высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Московского педагогического университета им. Н. К. Крупской; стаж ее научно-педагогической деятельности составляет 19 лет. Область исследований -- теория и методика преподавания математики в вузе (теории вероятностей и математической статистики). Занимается реализацией современных педагогических и информационных технологий в процессе обучения студентов. Результаты исследований С. Н. Дворяткиной отражены более чем в 40 научных публикациях и методических пособиях, обсуждались на всероссийских и международных конференциях.

Лев Николаевич ЛЯХОВ

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета и кафедры высшей математики Воронежской государственной технологической академии. Известен своими работами в области весового гармонического анализа, создателем которого является известный русский математик И. А. Киприянов. Занимается разработкой математического аппарата, приспособленного для исследования задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями. Им введены понятия "весовая сферическая функция" и "преобразование Радона-Киприянова". Л. Н. Ляхов -- автор более 100 научных работ, в том числе двух монографий, посвященных изложению основ весового гармонического анализа.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце