URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Райгородский Ф.М. Экстремальные задачи теории графов и интернет
Id: 165988
 
596 руб.

Экстремальные задачи теории графов и интернет

2012. 104 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-91559-127-0.

 Аннотация

Настоящая брошюра посвящена изучению различных экстремальных задач теории графов, (хотя бы частичное) решение которых может быть полезно при анализе данных. Она возникла на основе семестрового курса лекций, прочитанных автором в Школе Анализа Данных Яндекса.

Рассмотрим одну естественную конструкцию, которая послужит своего рода мотивировкой для всей нашей дальнейшей деятельности. Современный Интернет — это огромная и крайне нетривиально устроенная сеть, состоящая из миллионов сайтов и миллиардов страниц. Многие сайты при этом ссылаются друг на друга, и в результате образуется весьма сложный (ориентированный) граф, вершинами которого служат как раз сайты, а ребрами — ссылки. Разумеется, точные определения упоминаемых объектов мы дадим позже, но и сейчас обладающий минимальной подготовкой читатель понимает, о чем идет речь.

Изучение свойств упомянутого графа («веб-графа», просто «веба» и пр.) — увлекательная и трудная работа. Вот, например, одна из возможных важных и далеко еще полностью не решенных проблем. Некоторые владельцы сайтов, желая в определенных целях искусственно повысить рейтинг своей продукции, договариваются между собой и создают так называемые «ссылочные кольца» сайтов. В простейшем случае участники ссылочного кольца попарно цитируют друг друга. Поисковая система априори воспринимает членов такого кольца как обладателей высокого индекса цитирования и автоматически повышает их статус, так что в ответ на какой-либо запрос, связанный с тематикой, которая объединяет представителей кольца, с большой вероятностью в первую очередь появится информация именно о недобросовестных «заговорщиках»; однако, как показывает опыт, наиболее содержательные данные лежат отнюдь не на сайтах, принадлежащих к пресловутым кольцам: индекс цитирования по-хорошему еще заслужить нужно!

Продвинутая поисковая система должна каким-то образом вылавливать ссылочные кольца и не повышать, а, напротив, понижать статус их создателей.

Первая (и наименее, впрочем, значительная) трудность состоит в том, что заговорщики, будучи, конечно, отнюдь не глупыми людьми, стараются организовать более сложные схемы взаимного цитирования, нежели та, которую мы привели в качестве примера выше. Дело в том, что при попарном цитировании возникает то, что называется полным подграфом в графе или кликой в нем, а с такими «опухолями» бороться худо-бедно умеют. Гораздо хуже, коль скоро, вместо клики, спамеры организуют нечто значительно более «разреженное»: с одной стороны, стандартные алгоритмы поиска перестают работать; с другой стороны, разреженность ссылок не так уж велика, и спамеры все равно получают приоритет.

Вторая трудность еще тоньше первой. Оказывается, что в исключительно сложных системах зачастую просто по необходимости или же с очень большой вероятностью возникают образования, которые сильно напоминают «разреженные» ссылочные кольца и в то же время таковыми, вообще говоря, не являются. Как сколь-нибудь достоверно различать образования-паразиты от естественных подграфов? Требуется, по-видимому, очень хорошо понять вероятностную природу веб-графа, дабы затем построить сильные (статистические) критерии, позволяющие аккуратно выбирать между кольцами и схожими с ними, но не зловредными объектами.

Как видно, работы невпроворот. По существу, есть две важнейшие составляющие деятельности. Первая из них — алгоритмическая: необходимо уметь максимально быстро вылавливать те или иные экстремальные (наибольшие, наименьшие и пр.) структуры в графе; например, наибольшую клику или наибольший подграф с данным отношением числа ребер к числу вершин. Вторая — вероятностная: нужно создать максимально достоверную модель веб-графа — так сказать, «случайного», — и, исходя из этой модели, научиться оценивать вероятности возникновения в таком графе тех или иных конфигураций. Вокруг этих двух составляющих мы и построим наши лекции.

Всего лекций будет одиннадцать. Из них десять — основные, а последняя — факультативная. После каждой второй (основной) лекции в специально выделенном разделе будут предложены задачи.


 Оглавление

Лекция 1.

1.1. Введение

1.2. Основные объекты теории графов

1.2.1. Графы, орграфы и пр.

1.2.2. Маршруты в графах

1.2.3. Связность

1.2.4. Независимые множества и клики

1.3. Двудольные графы

1.3.1. Определение и мотививировка

1.3.2. Связь с задачей о покрытии

Лекция 2.

2.1. Алгоритм Хопкрофта–Карпа

2.2. Алгоритм Дейкстры

2.3. Алгоритм Беллмана–Форда

2.4. Реализация последовательностей чисел степенями вершин графа

Задачи к лекциям 1 и 2

Лекция 3.

3.1. Определение системы общих представителей

3.2. Верхняя оценка для размера минимальной с.о.п.

3.3. Доказательство теоремы 3.2.1.

3.4. Нижняя оценка для размера минимальной с.о.п.

3.5. Доказательство теоремы 3.4.1

3.6. Уточнения теоремы 3.4.1

Лекция 4.

4.1. Размерность Вапника–Червоненкиса: определение и примеры

4.2. Постановка задачи об -сетях

4.3. Формулировки результатов

4.4. Идея доказательства теоремы 4.3.1 и комментарии

4.5. О покрытии графов более простыми графами

Задачи к лекциям 3 и 4

Лекция 5.

5.1. Числа Рамсея: определения и формулировки результатов

5.2. Доказательство теоремы 5.1.2

5.3. Доказательство следствия 5.1.2

5.4. Конструктивные оценки чисел Рамсея

5.5. Доказательство теоремы 5.4.1

5.6. Доказательство следствия 5.4.1

5.7. Двудольные числа Рамсея

Лекция 6.

6.1. Случайные графы: определение

6.2. Случайные графы: простейшие свойства

6.3. Связность случайного графа

6.4. Хроматическое число случайного графа

6.5. Законы нуля и единицы

Задачи к лекциям 5 и 6

Лекция 7.

7.1. О задачах отыскания хроматического числа, числа независимости и кликового числа

7.2. Алгоритм Кривелевича–Ву: формулировки результатов

7.3. Доказательство теоремы 7.2.1

7.3.1. Вспомогательные определения и факты

7.3.2. Построение алгоритма

7.3.3. Пояснения к работе алгоритма

Лекция 8.

8.1. Еще об отыскании клик

8.2. Несколько слов о Рамсеевском алгоритме

8.3. Уточнение Рамсеевского алгоритма

Задачи к лекциям 7 и 8

Лекция 9.

9.1. Эйлеровы графы

9.2. Эйлеровы графы и последовательности де Брейна

9.3. Гамильтоновы графы

9.3.1. Определение гамильтновости и связь с эйлеровостью

9.3.2. Необходимые и достаточные условия гамильтоновости

9.3.3. Алгоритмы поиска гамильтоновых циклов

9.3.4. Гамильтоновы циклы в турнирах

9.3.5. Гамильтоновы циклы в случайных графах

Лекция 10.

10.1. Графы пересечений

10.1.1. Постановка задачи и формулировки результатов

10.1.2. Доказательство теоремы Эрдеша–Ко–Радо

10.1.3. Доказательство гипотезы Кнезера

10.2. Проблема изоморфизма графов

10.2.1. Определение изоморфизма и несколько слов об истории вопроса

10.2.2. Проблема изоморфизма «почти наверное»: формулировка результата

10.2.3. Проблема изоморфизма «почти наверное»: вспомогательное утверждение

10.2.4. Доказательство теоремы 10.2.2.1

Задачи к лекциям 9 и 10

Лекция 11.

11.1. Курсовые проекты

Литература

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце